第14講 “代數(shù)與幾何的綜合問(wèn)題”復(fù)習(xí)精講

王鋒

專題精講

代數(shù)與幾何的綜合問(wèn)題是指代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)相互交融渾然一體的一類綜合題.這類問(wèn)題通常以幾何圖形（或?qū)D形坐標(biāo)化）及函數(shù)圖象為背景，輔助于圖形的運(yùn)動(dòng)與變換（平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱）手段，融人函數(shù)（包括銳角三角函數(shù)）、方程、不等式等代數(shù)的核心知識(shí)，來(lái)綜合考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、掌握的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.題型大致可分為：（1）數(shù)、式與幾何圖形的綜合問(wèn)題；（2）平面直角坐標(biāo)系中的幾何運(yùn)算問(wèn)題；（3）方程、不等式與幾何圖形的綜合問(wèn)題；（4）函數(shù)與幾何圖形的綜合問(wèn)題，

解決代數(shù)與幾何綜合問(wèn)題的基本思路：第一，要認(rèn)真審題弄清問(wèn)題的條件與結(jié)論.盡可能分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題中的顯性條件，挖掘問(wèn)題中的隱含條件.第二，充分關(guān)注幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮幾何直觀的導(dǎo)航作用.對(duì)復(fù)雜圖形我們要學(xué)會(huì)識(shí)圖，從中發(fā)現(xiàn)并分離出能夠幫助解決問(wèn)題的基本圖形，或添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造基本圖形，以便聯(lián)想基本圖形的性質(zhì)去解決問(wèn)題.第三，根據(jù)綜合題設(shè)計(jì)的結(jié)論分步探究的特點(diǎn)，我們要學(xué)會(huì)從題目中尋找代數(shù)與幾何這兩部分知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)，進(jìn)行“肢解”.轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)或幾何問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的突破口.從而“化整為零，各個(gè)擊破”.最后，要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想和方法的引領(lǐng)作用.分析與綜合、分類討論、函數(shù)、方程、數(shù)形結(jié)合、歸納與猜想等都是解決這類問(wèn)題有效的數(shù)學(xué)思想和方法，特別是數(shù)形結(jié)合思想——由形導(dǎo)數(shù)、以數(shù)促形，可以架起連接代數(shù)與幾何的橋梁，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，幫助我們另辟蹊徑，曲徑通幽.

歷年來(lái)，全國(guó)多數(shù)地區(qū)中考試卷的“代數(shù)與幾何的綜合問(wèn)題”大部分是以“解答題”的形式出現(xiàn)在最后三、四道題，難度較大，從河南省的近三年試卷來(lái)看更是如此.2015年我們既要注意通過(guò)探究線段長(zhǎng)度滿足的數(shù)量關(guān)系判斷構(gòu)成的特殊形狀的幾何圖形（如等腰三角形、矩形、菱形、正方形）的開(kāi)放性問(wèn)題或解決有關(guān)幾何圖形的周長(zhǎng)與面積的計(jì)算問(wèn)題，更要關(guān)注平面直角坐標(biāo)系中幾何圖形的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題以及以三種函數(shù)圖象為背景與幾何圖形融合于一體，判斷點(diǎn)、等腰三角形、特殊四邊形的存在性問(wèn)題.

重點(diǎn)題型例析

一、數(shù)、式與幾何圖形的綜合問(wèn)題

這類問(wèn)題通過(guò)給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、幾何圖形或給出與圖形有關(guān)的操作變化過(guò)程，要求通過(guò)觀察、分析、推理發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論.

解決與幾何圖形有關(guān)規(guī)律的問(wèn)題，我們應(yīng)從分析圖形結(jié)構(gòu)的形成過(guò)程人手，從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜進(jìn)行歸納猜想從而獲得隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，并用代數(shù)式描述出來(lái)，進(jìn)而解決相關(guān)的問(wèn)題.

例1 （2014.荊門）如圖1，在第1個(gè)△A1BC中，∠B=300，A 1 B=CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到

二、坐標(biāo)系中的幾何運(yùn)算

由于新課標(biāo)對(duì)邏輯推理能力的要求有所削弱，一些高難度的純幾何問(wèn)題被命題專家摒棄，取而代之出現(xiàn)了一類“坐標(biāo)幾何問(wèn)題”，這類題目巧妙地將幾何圖形置于平面直角坐標(biāo)系中，將圖形坐標(biāo)化，通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)體現(xiàn)圖形中線段的長(zhǎng)度，或給出圖形中線段的長(zhǎng)度來(lái)確定圖形頂點(diǎn)的坐標(biāo)或滿足某種條件的特征點(diǎn)的坐標(biāo)，并輔助于圖形的折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等變換手段，巧妙地將幾何和代數(shù)知識(shí)糅合在一起.解決這類問(wèn)題要掌握?qǐng)D形變換的基本特征，關(guān)注動(dòng)點(diǎn)與靜點(diǎn)之間形成的特殊關(guān)系，挖掘幾何圖形的性質(zhì)，進(jìn)而利用直角三角形的勾股定理、銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，或運(yùn)用三角形的全等、相似構(gòu)造方程求解.

例2（2014.攀枝花）如圖2，以點(diǎn)P（-l，0）為圓心的圓，交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），交y軸于A、D兩點(diǎn)（A在D的下方），A D=2、/3，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)1800，得到△MCB.

（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段MB、MC，并判斷四邊形ACMB的形狀（并說(shuō)明理由），求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

（3）動(dòng)直線l從與BM重合的位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時(shí)停止，設(shè)直線2與CM的交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥ BC于G，連接MQ、QC.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小是否變化？若不變，求出∠MQG的度數(shù)：若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

反思：本題是將人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)教材第24章“圓”復(fù)習(xí)題第122頁(yè)第1題垂徑定理的基本圖形與第80頁(yè)的例題1巧妙融合在一起，然后放到平面直角坐標(biāo)系中，并通過(guò)給出圓心的坐標(biāo)與弦長(zhǎng)，改編成探究直徑端點(diǎn)的坐標(biāo)及中心對(duì)稱圖形頂點(diǎn)的坐標(biāo).第（3）問(wèn)則是命題專家為考查同學(xué)們?cè)谶\(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中探究問(wèn)題的思維能力而利用直線旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)的一個(gè)角度“變與不變”的問(wèn)題.

本題考查了垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、特殊角的銳角三角函數(shù)、圖形的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)，其中滲透了中心對(duì)稱的思想，證明四點(diǎn)共圓的方法.

解決本題的關(guān)鍵是能在較復(fù)雜的圖形中識(shí)圖，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題所需要的基本圖形，如本題第（1）問(wèn)垂徑定理的基本圖形及由圓心到弦的垂線段、半弦、圓的半徑組成的Rt△POA.

第（3）問(wèn)探究∠MQG的大小是否變化，是本題的難點(diǎn)，難在直線l旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致∠MQG的頂點(diǎn)的位置始終在變化，干擾了同學(xué)們的解題視線，為突破這一難點(diǎn)我們應(yīng)抓住變化中的不變量——兩個(gè)直角三角形且有公共的斜邊BE，從而利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”獲得點(diǎn)E、M、B、G到點(diǎn)Q的距離相等，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)圓心角∠MQC與圓周角∠MBG的關(guān)系，為定值的發(fā)現(xiàn)掃清了障礙.

三、方程、不等式與幾何的綜合問(wèn)題

以幾何圖形為背景融人點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與圖形變換的一類問(wèn)題，巧妙把代數(shù)中的方程與不等式“鑲嵌”其中構(gòu)成了中考?jí)狠S題的另一道風(fēng)景線.解決此類問(wèn)題要學(xué)會(huì)辯證看待“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”的相互關(guān)系，利用運(yùn)動(dòng)過(guò)程中某一瞬間靜止的位置，動(dòng)中窺靜，以靜制動(dòng)，抓住圖形的特殊位置，明晰圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系.當(dāng)探究有關(guān)圖形中變量之間的關(guān)系時(shí)，可建立函數(shù)模型或不等式模型求解；當(dāng)探究特殊位置關(guān)系或數(shù)值時(shí)，可建立方程模型求解.其中直角三角形的勾股定理、相似三角形中的比例線段、等腰三角形、特殊四邊形的邊之間的相等關(guān)系都為我們構(gòu)建方程提供了有效的等量關(guān)系.

例3 （2013.蘇州）如圖6，點(diǎn)0為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB=10 cm，BC=12 cm，點(diǎn)E.F、G分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為l cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3 cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5 cm/s，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是△EB’F設(shè)點(diǎn)E.F、G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）.

（1）當(dāng)t=______ s時(shí)，四邊形EBFB’為正方形.

（2）若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F.C.G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值.

（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)0重合？若存在，求出￡的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

反思：本題以矩形為載體設(shè)計(jì)了三個(gè)質(zhì)點(diǎn)在三邊上運(yùn)動(dòng)的情形，其中滲透了軸對(duì)稱的思想、方程思想，融合了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、一元一次方程、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn).第（1）問(wèn)需要應(yīng)試者實(shí)現(xiàn)從三角形到正方形的思維跨越，即只有等腰直角三角形沿斜邊翻折才能構(gòu)成正方形，從而順利發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)涵的棚等關(guān)系.第（2）問(wèn)由于給出的相似三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)頂點(diǎn)小確定，應(yīng)分類求解，更應(yīng)引起同學(xué)們注意的是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)問(wèn)的取值范圍不可忽視，這也是解決這類問(wèn)題對(duì)求的結(jié)果進(jìn)行取舍的一個(gè)重要依據(jù)，否則將會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，第（3）問(wèn)是探索存在型問(wèn)題，解決這類問(wèn)題一般先假設(shè)滿足條件的實(shí)數(shù)、圖形（點(diǎn)、線等）存在，然后結(jié)合題目提供的條件與圖形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算與推理，如果導(dǎo)出互相矛盾的結(jié)論，就可判定不存在，反之則成立.

四、函數(shù)與幾何的綜合問(wèn)題

幾何圖形與函數(shù)巧妙地融合滲透的學(xué)科內(nèi)綜合問(wèn)題，把“形”與“數(shù)”達(dá)到了完美結(jié)合，被推向中考?jí)狠S題的位置.

這種題型命制方向有兩個(gè)：

其一，兇為幾何圖形中一些量可以度量，線段的長(zhǎng)度之問(wèn)、線段與圖形的周長(zhǎng)或面積的大小之間隱含著內(nèi)在的對(duì)應(yīng)變化關(guān)系，這個(gè)關(guān)系可用函數(shù)的解析式來(lái)表示.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠洞察圖形特有的結(jié)構(gòu)特征，充分挖掘幾何圖形所具有的性質(zhì)，列出包含兩個(gè)變量的相等關(guān)系式，再變形為相應(yīng)的一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)，進(jìn)而利用函數(shù)的性質(zhì)求得問(wèn)題的答案.

其二，幾何圖形常以函數(shù)圖象間的交點(diǎn)、圖象與橫、縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、原點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成，隱蔽性、迷惑性較強(qiáng)，但其幾何圖形所反映出的性質(zhì)卻對(duì)解決問(wèn)題具有至關(guān)重要的作用，解決此類問(wèn)題我們要學(xué)會(huì)識(shí)圖適當(dāng)添線使隱含的特殊三角形、四邊形、圓等撥“云”見(jiàn)“日”，充分發(fā)揮兒何的直觀作用，利用數(shù)形結(jié)合思想溝通函數(shù)與圖形的性質(zhì)，并輔助于方程思想，準(zhǔn)確計(jì)算與推理、分析判斷與取舍，進(jìn)而達(dá)到問(wèn)題的最終獲解.

例4 （2014.綿陽(yáng)）如圖8，矩形ABCD中，AB=4，∠AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE

反思：本題來(lái)源于人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第3章《軸對(duì)稱》“等腰三角形”一節(jié)第79頁(yè)的一道練習(xí)題及人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第27章《相似》“復(fù)習(xí)鞏固”第58頁(yè)“拓廣探索”的第11題，同時(shí)將課本中銳角三角形變?yōu)橹苯侨切?，將?nèi)接正方形拓展為內(nèi)接矩形，巧妙地將兩道習(xí)題拓展后的圖形融合到一個(gè)矩形的折疊的情境中，改編成探究?jī)?nèi)接矩形面積的最值問(wèn)題，

本題從紙片折疊的角度考查了軸對(duì)稱，三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定，勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及二次函數(shù)最值問(wèn)題，解決問(wèn)題的過(guò)程中滲透了方程思想、配方法、數(shù)形結(jié)合思想等，本題難點(diǎn)是圖形復(fù)雜，嚴(yán)重干擾同學(xué)們由圖形聯(lián)想性質(zhì)進(jìn)行探究的思路，所以突破的關(guān)鍵是平時(shí)對(duì)所研究的一些重要的基本圖形的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)應(yīng)爛熟于心，這樣才能從較復(fù)雜的圖形中分離出解決問(wèn)題的基本圖形，并利用其性質(zhì)快速地獲得問(wèn)題的答案，本題求高EG時(shí)運(yùn)用了“從不同視角求解同一個(gè)三角形的面積，利用面積的不變性列出方程”，這是常用的一種解題策略.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是運(yùn)用PE的長(zhǎng)表示線段PN的長(zhǎng)時(shí)，不能準(zhǔn)確地利用“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”得出（），從而導(dǎo)致計(jì)

算失誤.