第12講 “開放探索型問題”復(fù)習(xí)精講

田紹坤 馮金芳

專題精講

“探索”型試題一般是指命題中缺少一定的題設(shè)條件或未給出明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷、補(bǔ)充并加以證明的命題，由此，“探索”型的試題不像傳統(tǒng)的解答題或證明題那樣，在條件和結(jié)論給出的情境中只需進(jìn)行由因?qū)Ч蛴晒麑?dǎo)因的求解，從而定格于“條件——推理——結(jié)論”這樣一個封閉的求解模式之中，而是要我們靈活運用所學(xué)知識，依據(jù)題設(shè)條件大膽地猜想、分析、比較、歸納、推理，或由條件去探索不明確的結(jié)論；或由結(jié)論去探索未給出的條件；或去探索存在的各種可能性以及發(fā)現(xiàn)所形成的客觀規(guī)律.探索型問題由于它的題型新穎、涉及面廣、綜合性強(qiáng)，不僅能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，而且能考查學(xué)生的創(chuàng)新意識以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題的能力，因而備受關(guān)注，越來越成為熱點和亮點考題.

主要特點：開放型試題的特征很多，如條件的不確定性，它是開放題的前提；結(jié)果的多樣性，它是開放題的目標(biāo)：思維的多向性，它是開放題的實質(zhì)；解答的層次性，它是開放題的表象；過程的探究性，它是開放題的途徑：知識的綜合性，它是開放題的深化.

基本類型：規(guī)律探索型、條件開放型、結(jié)論開放型、條件與結(jié)論都開放型、解題策略的開放、探索存在型等.

重點題型例析

一。規(guī)律探索型

規(guī)律探索型試題就是在一定的條件狀態(tài)下，要求我們?nèi)ヌ剿靼l(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性的題目.

例1 （2014.婁底）如圖1是一組有規(guī)律的圖案，第1個圖案由4個▲組成，第2個圖案由7個▲組成，第3個圖案由10個▲組成，第4個圖案由13個▲組成，…，則第n（n，為正整數(shù)）個圖案由____個▲組成.

分析：仔細(xì)觀察圖形，結(jié)合圖案每條“邊”上的▲的個數(shù)與圖形的序列數(shù)之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)圖形的變化規(guī)律，利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求解即可.

解：觀察發(fā)現(xiàn)：第一個圖形有（3x2-3+1）=4（個）▲，第二個圖形有（3x3-3+1）=7（個）▲，第三個圖形有（3x4-3+1） =10（個）▲，…，第n個圖形有[3（n，+l）-3+1] =3n+1（個）▲.故答案為3 n，+l.

反思：對于找規(guī)律的題目應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，圖形的變化過程中往往蘊(yùn)涵著數(shù)字變化，所以本題既可從圖形的變化過程中尋找規(guī)律，也可從圖形數(shù)字變化過程中尋找規(guī)律.

二、條件探索型

條件開放探索題是指結(jié)論給定，條件未知或不全，或滿足結(jié)論的條件不唯一，需探求與結(jié)論相對應(yīng)的條件.解答這類問題的一般思路是：由已知的結(jié)論反思題目應(yīng)具備怎樣的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，逆向追索，逐步探求.

例2 （2014.巴中）如圖2，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F(xiàn)，連接BE，CF

（1）請你添加一個條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是____，并證明.

（2）在問題（1）中，當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時，四邊形BFCE是矩形？請說明理由.

分析（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，可得出當(dāng)

三、結(jié)論探索型

給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性.要求解題者充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，這類題主要考查解題者的發(fā)散性思維和所學(xué)基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.解決此類問題的一般思路是：從剖析題意人手，充分捕捉題設(shè)信息，通過由因?qū)Ч樝蛲评砘蚵?lián)想類比、猜測等得到結(jié)論.

例3 （2014.淄博）如圖3，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點F，M分別是AB.BC懿中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB=A C=BD.連接MF ，NF.

（1）判斷△BMN的形狀，并證明你的結(jié)論.

（2）判斷△MFN與△BDC之間的關(guān)系，并說明理由.

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AM是高線、頂角的平分線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠EA B+∠EBA =90。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案.（2）根據(jù)i角形中位線的性質(zhì)，可得MF與AC的關(guān)系：根據(jù)等量代換，可得MF與BD的關(guān)系；根據(jù)等腰直角三角形，可得BM與NM的關(guān)系；根據(jù)等量代換，可得NM與BC的關(guān)系；根據(jù)同角的余角相等，可得∠CBD與∠NMF的關(guān)系；根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得答案.

解：（1）△BMN是等腰直角三角形，

證明：因AB=AC，點M是BC的中點，故AM⊥BC，AM平分∠BAC.

因AC⊥BD.故∠AEB=90。.

反思：此題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵，

綜上所述，由于“探索”型試題的題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮：一是利用特殊值，如特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律；二是假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致；三是分類討論法，當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果；四是類比猜想法，即由一個問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密論證.總之，在具體操作時，應(yīng)更注重數(shù)學(xué)思想方法的綜合運用.