第11講 “動(dòng)手操作問題”復(fù)習(xí)精講

劉頓

專題精講

所謂“操作”，是指人用手活動(dòng)的一種行為，也是一種技能，含義很廣泛.一般是指勞動(dòng)、勞作，或者按照一定的規(guī)范和要領(lǐng)操縱動(dòng)作，數(shù)學(xué)中的操作題一般是需要對數(shù)的設(shè)置或?qū)D形的變換、剪拼等，由于此類試題既可以有效地鞏固數(shù)學(xué)知識，又可以提高同學(xué)們的動(dòng)手能力，所以中考中頻頻“上演”此類問題.

重點(diǎn)題型例析

一、對數(shù)的操作

例1（2014.婁底）按照下面所示的操作步驟，若輸入值為3，則輸出的值為________.

分析：由操作程序可知，32=9<10，來確定運(yùn)算程序，按“加上2”再“乘以5”輸出.

解：由32=9<10.可知應(yīng)選擇“是”的運(yùn)算程序計(jì)算，（9+2）x5=55，即輸出的值為55.

反思：解此類題時(shí)，應(yīng)正確地選擇運(yùn)算操作程序，避免：①錯(cuò)選“否”的運(yùn)算程序；②錯(cuò)把10作為一個(gè)結(jié)果參與運(yùn)算；③不按每一步的結(jié)果得數(shù)進(jìn)行計(jì)算，如32+2x5=19.

二、對式的操作

例2 （2014.臺州）有一個(gè)計(jì)算程序，每次運(yùn)算都是把一個(gè)數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，多次重復(fù)進(jìn)行這種運(yùn)算的過程如下：

則第n次的運(yùn)算結(jié)果=________.（用含字母x和n的代數(shù)式表示）

分析：要探究操作的第n次運(yùn)算結(jié)果，可分別將第2、3、4次的分式計(jì)算、化簡，再將化簡后的分式列表分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

解：依題意，可列表如表1.

四、閱讀與操作

例4 （2014.山西）閱讀下列材料，按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

幾何中，平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四邊形，大家對于它們的性質(zhì)都非常熟悉，生活中還有一種特殊的四邊形——箏形，所謂箏形，它的形狀與我們生活中風(fēng)箏的骨架相似.

定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形，稱之為箏形，如圖4，四邊形∠ABCD是箏形，其中AB=AD，CB=CD.

判定：①兩組鄰邊分別相等的四邊形是箏形.②有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形.

顯然，菱形是特殊的箏形，就一般箏形而言，它與菱形有許多相同點(diǎn)和不同點(diǎn).如果只研究一般的箏形（不包括菱形），請根據(jù)以上材料完成下列任務(wù)：

（1）清說出箏形和菱形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)各兩條.

（2）請仿照如圖5的畫法，在如圖6所示的8x8網(wǎng)格中重新設(shè)計(jì)一個(gè)由四個(gè)全等的箏形和四個(gè)全等的菱形組成的新圖案，具體要求如下：①頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上；②所設(shè)計(jì)的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；③將新圖案中的四個(gè)箏形都涂上陰影（建議用一系列平行斜線表示陰影）.

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)以及結(jié)合圖形得出箏形的性質(zhì)分別得出異同點(diǎn)即可.（2）利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義結(jié)合題意得出答案，顯然答案不唯一.

解：（1）相同點(diǎn)：①兩組鄰邊分別相等；②有一組對角相等；③有一條對角線垂直平分另一條對角線：④有一條對角線平分一組對角；⑤都是軸對稱圖形；⑥面積等于對角線乘積的一半.不同點(diǎn)：①菱形的對角線互相平分，箏形的對角線不互相平分；②菱形的四邊都相等，箏形只有兩組鄰邊分別相等；③菱形的兩組對邊分別平行，箏形的對邊不平行；④菱形的兩組對角分別相等，箏形只有一組對角相等；⑤菱形的鄰角互補(bǔ)，箏形的鄰角不互補(bǔ)；⑥菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，箏形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形.（2）答案不唯一，如圖7所示中的任意一種情形.

反思：求解此類問題時(shí)，一定要充分借助網(wǎng)格特點(diǎn)進(jìn)行作圖，解題的關(guān)鍵是正確理解平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)以及中心對稱圖形、軸對稱圖形的意義.

五、裁剪操作

例5 （2014.寧波）用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個(gè)盒子由3個(gè)矩形側(cè)面和2個(gè)正三角形底面組成，硬紙板以如圖8所示的兩種方法裁剪（裁剪后邊角不再利用）.

A方法：剪6個(gè)側(cè)面：B方法：剪4個(gè)側(cè)面和5個(gè)底面，

現(xiàn)有19張硬紙板，裁剪時(shí)x張用A方法，其余用B方法.

（1）用含x的代數(shù)式分別表示裁剪出的側(cè)面和底面?zhèn)€數(shù).

（2）若裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，則能做多少個(gè)盒子？

分析：（1）根據(jù)一張硬紙板用A方法剪6個(gè)側(cè)面 ，B

六、對圖形的分割操作

例6 （2014.漳州）如圖9，△ABC中，AB=AC，∠A=36。，稱滿足此條件的三角形為黃金等腰三角形.請完成以下操作（畫圖不要求使用圓規(guī)，以下問題所指的等腰三角形個(gè)數(shù)均不包括△ABC）：

（1）在圖9中畫1條線段，使圖中有2個(gè)等腰三角形，并直接寫出這2個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)分別是______度和______度.

（2）在圖10中畫2條線段，使圖中有4個(gè)等腰三角形.

（3）繼續(xù)按以上操作發(fā)現(xiàn)：在△ABC中畫n條線段，則圖中有______個(gè)等腰三角形，其中有______個(gè)黃金等腰三角形.

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及∠A的度數(shù)，進(jìn)而得出這兩個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù).（2）利用（1）中思路進(jìn)而得出符合題意的圖形.（3）利用畫1條線段可得到2個(gè)等腰三角形，畫兩條線段可得到4個(gè)等腰三角形，畫3條線段可得到6個(gè)等腰三角形，進(jìn)而得出規(guī)律求出答案.

解：（1）如圖9所示AB=AC，∠A =36。，故當(dāng)AE=BE時(shí)，∠A= ∠ABE=36。，則∠AEB=108。，則∠EBC=36。，故這兩個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)分別是108度和36度.

（2）畫法不唯一，如圖10所示，四個(gè)等腰三角形分別是：△ABE，△BCE，△BEF，△CEF

（3）如圖11.畫1條線段可得到兩個(gè)等腰三角形，畫兩條線段可得到4個(gè)等腰三角形，畫3條線段可得到6個(gè)等腰三角形，…，在△ABC中畫n條線段，則圖中有2n個(gè)等腰三角形，其中有n個(gè)黃金等腰三角形.

反思：本題既是一道操作題，又是一道問題的探究題，求解時(shí)應(yīng)注意作圖技巧，靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，其中探究出分割圖形的規(guī)律是解題關(guān)鍵.另外，在（2）中當(dāng)畫出線段BE時(shí)，余下的也可以過C作∠C的平分線交BE于點(diǎn)F

七、折疊操作

例7 （2014 臨沂）對一張矩形紙片ABCD進(jìn)行折疊，具體操作如下：

第一步：先對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開，

第二步：再一次折疊，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)A’處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BE，同時(shí)，得到線段BA’，EA’，展開，如圖12.

第三步：再沿EA’所在的直線折疊，點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B'處，得到折痕EF，同時(shí)得到線段B’F，展開，如圖13.

（1）證明：∠A BE=300.

（2）證明：四邊形BFB’E為菱形.

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)判斷出A’是EF的中點(diǎn)，然后判斷出BA'垂直平分EF，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BE=BF，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠A’BE=∠A 'BF，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠ABE= ∠A 'BE，然后根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角計(jì)算即可得證.（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BE=B'E，BF=B'F，然后得出BE=B'E=B'F=BF，再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形證明.

解：（1）由對折AD與BC重合，折痕是MN，故點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，故A’是EF的中點(diǎn)，因∠BA’E= ∠A =90。，故BA’垂直平分EF，故BE=BF，故∠A' BE= ∠A 'BF，由翻折的性質(zhì)，∠ABE=∠A'BE，故∠ABE= ∠A 'BE=∠A，BF，故∠ABE（）×90。=30。.

（2）沿EA’所在的直線折疊，點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B’處，故BE=B'E，BF=B'F因BE=BF，故BE=B'E=B'F=BF，故四邊形BFB'E為菱形.

反思：本題通過操作，意在考查矩形、菱形、線段垂直平分線等知識.解答折疊問題的一般思路：分清折疊前后的對應(yīng)邊、對應(yīng)角、對稱軸，利用對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線尋找相等的線段或角，進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或證明.

中考命題預(yù)測

1.在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l有____條.

2.如圖14，將網(wǎng)格中的三條線段沿網(wǎng)格線平移后組成一個(gè)首尾相接的三角形，至少需要移動(dòng)____格.

3.如圖15，將一副七巧板拼成一只小動(dòng)物，則∠AOB=____.

4.如圖16，小亮拿一張矩形紙如圖16 （1），沿虛線對折一次得圖16 （2），將對角兩頂點(diǎn)重合折疊得圖16（3）.按圖16（4）沿折痕中點(diǎn)與重合頂點(diǎn)的連線剪開，得到三個(gè)圖形，這三個(gè)圖形分別是（）.

A.都是等腰梯形

B.都是等邊三角形

C.兩個(gè)直角三角形，一個(gè)等腰三角形

D.兩個(gè)直角三角形，一個(gè)等腰梯形

5.在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過程是：

第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖17）：

第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖l8）.

請解答以下問題：

（1）如圖18，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結(jié)論.

（2）在圖18中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出{符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP？

6.現(xiàn)有一張長和寬之比為2：1的長方形紙片，將它折兩次（第一次折后也可以打開鋪平再折第二次）.使得折痕將紙片分為面積相等且不重疊的四個(gè)部分（稱為一個(gè)操作），如圖19（虛線表示折痕）.

除圖19外，請你再給出三個(gè)不同的操作，分別將折痕畫在圖20（1）至圖20（3）中（規(guī)定：一個(gè)操作得到的四個(gè)圖形，和另一個(gè)操作得到的四個(gè)圖形，如果能夠“配對”得到四組全等的圖形，那么就認(rèn)為是相同的操作.如圖19（2）和圖19（1）是相同的操作）.（上接第26頁）點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)P 出發(fā)，點(diǎn)A以5 cm/s的速度沿射線PM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)問為t（s）.

（1）求PQ的長.

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，直線AB與00相切？

3.如圖8，在平行四邊形ABCD中.AD=4 cm，∠A=60。，BD ⊥AD.一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒l cm的速度沿A→B→C的路線勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作直線PM，使PM⊥AD.

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2 s時(shí)，設(shè)直線PM與AD相交于點(diǎn)E，求△APE的面積.

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運(yùn)動(dòng)，且在AB上以每秒l cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，在BC上以每秒2 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng).過Q作直線QN，使QN∥PM.設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)問為t（0≤t≤10）s，直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S（ cm2）.求S關(guān)于￡的函數(shù)關(guān)系式.