圓的生活意蘊與數學理解

石飛虹

[摘 要] 傳統的初中數學教學常常過于抽象，學生理解起來有困難，因而學生容易排斥數學. 在初中數學教學中堅持從生活出發(fā)，讓學生感知數學在生活中的意蘊，可以讓學生發(fā)現數學的基本規(guī)律，可以讓學生親近數學；在學生感知數學的生活意蘊的基礎上，再通過數學教學的設計，讓學生生成豐富的數學理解，可以讓學生的數學思維有豐富的表象，對于提高初中數學教學的有效性大有幫助.

[關鍵詞] 初中數學；生活意蘊；數學理解

不知道從什么時候開始，學生對數學學習的熱情越來越低了，要知道絕大部分學生在小學階段可是常常在數學學習中獲得成就感的，但到了初中，學生對數學排斥了起來. 筆者做過一次努力：從非數學教學的角度來反思初中數學教學. 結果發(fā)現問題多多：數學教師將自己放在數學當中，尤其是“有經驗”的數學教師，其教學生活就是初中的數學內容，沉浸其中時間長了，數學教師就屬于數學了. 一旦進入課堂，數學教師眼中常常只有數學而沒有其他（包括學生）. 但學生卻不是如此，在學生的生活中，且不談其他學科知識的學習，就談生活本身，其對學生的吸引力要比學校學習大很多，在這種情況下，怎么能指望抽象的數學學習還能給大部分學生帶來愉悅呢？

基于這樣的反思，筆者思考如何改變現狀，有所收獲. 盡管筆者的努力還不可能從面上完全革新，但已經能夠讓數學課堂多一點快樂，能夠讓學生的數學學習多一點活力，能夠讓學生對數學知識的構建多一些厚度. 現以“圓”的教學為例，談談筆者的淺顯嘗試.

圓的生活意蘊，為學生構建圓的概念增添感性認識

圓在生活中非常常見，在數學教學中也常常引用生活中圓的例子來幫學生建構圓的概念. 但這樣的引用常常是具有功利性的，常常是用完了就扔了，真正基于“生活圓”的數學問題是極少的，學生面對的仍然是極度抽象的“數學圓”. 這說明生活中的圓還沒有真正成為數學課堂上的有價值的體現. 于是在圓的概念構建過程中，筆者嘗試花相當的精力，來讓學生體驗、感知、認識、理解生活中的圓.

最簡單的問題是：生活中有哪些物體是圓的？初中的學生對這一問題并不是感覺到簡單，而是跳躍發(fā)言. 于是，碗、盤子、車輪、太陽、地球、奧運五環(huán)、硬幣等，就一下子冒出來了. 這說明學生對圓的生活認知是沒有問題的. 但如此就過渡到圓的概念，那就太快了，學生還沒有來得及領略到生活當中圓的意蘊呢！于是筆者向學生拋出第二個問題：為什么這些東西會是圓的呢？這個問題會讓學生感覺到有些突兀，他們知道這些物體是圓的，但卻從來沒有思考過它們?yōu)槭裁磿菆A的. 更大的問題在于，一旦開始思考這個問題，答案反而不那么清晰了. 要說出為什么碗是圓的，還真的不太清楚；要說出為什么太陽和地球是圓的，那更加說不來了.

如果說問題的提出卻得不到解決，那學生自然會有失望的心理，生活的意蘊領略也就談不上了. 但是筆者又不能直接給他們提供答案，于是給了他們一個提示——一個方法上的提示：假設法，假設它們不是圓的，那會出現什么情形？由于考慮到問題的復雜性，譬如天體之所以呈現圓形（實際上是球形），那與天體的自轉有關，但學生此時沒有知識基礎，因此不做過多的研究. 只將問題集中在碗和車輪上. 學生一下子活躍了起來：假設是方的？碗可以是方的嗎？有，但正常都是圓的吧；車輪？那肯定得是圓的，方的怎么走??？……

一個假設性的思維讓學生的思維無限活躍了起來，筆者在此基礎上再引導學生去思考：碗是瓷的，瓷器的制作都是手工的（呈現瓷器的制作過程：制作模具的持續(xù)轉動之下，一個碗的泥胎形成了）. 看來碗的圓形與轉動是相關的，在轉動的過程中，工人可以確保自己手與中間的轉軸距離不需要改變，就能形成一個圓形的碗. 再說車輪，車輪是用來轉動的，而要想轉動，從機械的角度講，其實就是要保證車輪與地面接觸的點與車輪轉軸的距離不變——如果變了的話，車就會出現一會兒高、一會兒低的情形.

于是學生開始總結了，這里面都有個保持距離不變的共性，一個邊上的點與中間的點的距離不變的性質. 發(fā)現了這一點之后，有學生恍然大悟：老師，我知道了，怪不得木匠師傅有時要畫個圓，就用一顆釘子固定在中間，用一根繩系在上面一轉，就畫出了一個圓呢！原來圓是這么形成的……

這一過程大概就是十分鐘左右的時間吧，比傳統教學的先舉例然后得定義多花了七八分鐘的時間，但這個過程如何？筆者以為，學生活躍的思維、智慧的認識、靈光一閃情形下的舉例，都已經說明了這一教學策略是成功的. 在這個過程中，學生對生活中的圓進行了深刻的理解，獲得了對生活中圓的意蘊的感受，且并不影響學生從生活圓走向數學圓.

圓的數學理解，為學生生成圓的認識提供理性思維

有了生活意蘊作為基礎，學生對圓的感覺“親切”了許多，在他們的眼中，圓不再只是那個抽象的圓圈了，而是有了生活中的事物作為理解基礎的，這從學習心理的角度來看，這是學生思維中有了圓的表象，而這又恰恰為學生對圓的形象思維提供了基礎，且為從形象思維向抽象思維的過渡奠定了基礎. 對了，這個過渡，就是從生活圓向數學圓的過渡.

數學圓畢竟不同于生活圓，對其的認識更多的應當是抽象的. 除了基本的圓的符號及表示之外，對于圓的理性認識，教師需要進行什么樣的教學設計呢？以同心圓的教學為例，筆者將教學的重點放在讓學生生成數學理解上. 同心圓從數學的角度來講并不復雜，學生根據同心圓的概念，也能大概地認識到這兩個圓具有“同心”的特征，但很顯然的是，這種從數學下定義出發(fā)的數學理解過于抽象，學生思維中只可能有數學意義上的同心圓，而這樣的理解缺少了形象基礎作為支撐，對后續(xù)的數學學習甚至是其他學科的學習會埋下隱患. 筆者一位教高中物理的同行常常跟筆者說，現在的高中學生在圓周運動中，常常弄不清楚同一圓周運動物體上的兩點的角速度和線速度的關系. 筆者思考，這可能就與初中階段同心圓的教學忽視了豐富學生理解過程有關系.

于是，筆者首先做一個工作：讓學生用課前準備好的大小不同的兩個圓重疊，以確保它們能夠構成同心的關系. 由于筆者讓學生準備圓時不準用圓規(guī)，而是借助于圓形物體描出來的圓. 因此，學生在將兩個圓重疊的時候，盡管不斷努力，但總是對自己的重疊結果沒把握. 怎么辦呢？有學生提出找圓心，這是一個好的思路，怎么找圓心呢？必須結合上述對圓的認識來進行，學生會發(fā)現就是要找到圓周上點距離相等的點. 這個過程并不復雜，但需要強調的是此時生成一個數學教學的契機：確定圓心. 這個工作是否此時完成，看具體情況而定，這里不贅述. 從方法的角度來講，學生已經獲得了一種方法. 這個時候再回到假如使用圓規(guī)作圖的情形上來，學生會發(fā)現此時問題的解決要順利得多. 那么生活中又有哪些同心圓呢？車輪上離圓心距離不同的點的運動軌跡，其實都是一個同心圓.

其實，所謂數學理解，關鍵在于讓學生有一個理解數學的過程，沒有一個過程，是生成不了數學理解的. 而過程的設計則與具體的教學內容密切相關，也與學生的認知基礎密切相關，筆者以為，好的數學理解過程，一定是在對學生的學情有準確的把握的基礎上，再結合具體的數學知識而設計的. 譬如以上的過程，筆者就注意到了學生缺少同心圓的感性認識，然后設計了這一過程. 事實也證明，有了這一過程，學生在后來遇到同心圓時，都會回憶這一情形，他們大腦中已經生成的同心圓表象，可以為后面很多相關數學知識的構建提供基礎.

從生活到數學，初中數學教學需要堅持的重要認識

數學不可能不抽象，不抽象就不叫數學了，但數學教學卻不宜過于抽象，尤其是對于初中數學教學而言，純粹的邏輯推理常常會讓學生感覺數學并不可親. 而基于生活的數學知識構建，與基于數學理解的數學教學，則可以讓學生更好地認識數學. 也正因為如此，筆者才提出了感受數學知識在生活中的意蘊并生成數學理解的教學建議.

事實證明，這一建立對于實際數學教學是有積極意義的，堅持數學概念之前先到生活中尋找相關的事例，并認真研究之，從正反兩個方面思考之，可以讓學生對生活中的數學有超過生活認識深度的感受. 這種感受對于數學知識的構建來說是寶貴的，學生既能發(fā)現其中的數學規(guī)律（盡管這時的發(fā)現還顯得比較粗糙），也能發(fā)現數學與生活并不遙遠. 而數學理解則是在感受生活意蘊的基礎上進行的，其是從生活數學向純粹的數學過渡的重要階段，也是體現數學教師教學水平的重要環(huán)節(jié).

綜上所述，堅持從生活到數學的教學觀念，可以讓初中數學教學更圓潤，更有效.endprint