引之以思，導之以想

周強

[摘 要] 本文以新課標數(shù)學思想為指導，有意識地選擇一種幾何題型，精心設(shè)計改編，意在引導學生解決時逐漸滲透數(shù)學思想，同時希望一線教師對其予以關(guān)注與思考.

[關(guān)鍵詞] 幾何題型；數(shù)學思想；方法

縱觀近幾年中考幾何題，主要考查幾何圖形、函數(shù)、方程、全等、相似等重要知識與數(shù)學思想的結(jié)合. 通過以下例題的分析，我們發(fā)現(xiàn)在幾何問題中體現(xiàn)的數(shù)學思想方法并不單一，綜合體現(xiàn)了兩到三種不同的數(shù)學思想方法. 如果能熟練掌握數(shù)學思想方法，就會使解決幾何問題更加快捷、簡便、準確. 因此，在教學中為了實現(xiàn)這一難點的突破，筆者有意識地選擇一種幾何題型，精心設(shè)計改編，在引導學生解決時逐漸滲透函數(shù)思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想，以期培養(yǎng)學生運用數(shù)學思想方法解決問題的意識和運用數(shù)學思想方法解決具體問題的能力.

引例 如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，CD邊上的點，EB=3 cm，GC=4 cm，連接EF，F(xiàn)G，GE恰好構(gòu)成一個等邊三角形，則正方形的邊長為______cm.

以下是我們探索該題以不同的數(shù)學思想為指引形成的不同解法：

方程法

法一：

【分析】 通過題目中的已知條件EB=3 cm，GC=4 cm，設(shè)等邊三角形EFG的邊長為a，結(jié)合Rt△BEF，Rt△CFG和Rt△GME，利用勾股定理建立方程，可以求出BF，CF，GM，利用BF+CF=GM建立方程，求得等邊三角形的邊長，從而求得正方形的邊長.

【解答】 過G作GM⊥AB于M，設(shè)EF=FG=GE=a，a>0. ME=CG-BE=4-3=1.

【點評】 此方法輔助線易作，入手簡單，是大多數(shù)學生容易想到的方法，不足之處在于計算起來稍顯煩瑣. 屬于“入門較易，出門較難”的方法.

法二：

【分析】 通過題目中的已知條件EB=3 cm，GC=4 cm，等邊三角形EFG中EF=GF，結(jié)合Rt△BEF和Rt△CFG，利用勾股定理建立方程，求出BF，CF即可求出正方形ABCD的邊長BC.

【點評】 此法是方程思想在幾何問題中的運用，學生易下手，不易求解，對解方程的能力要求較高，特別是 8x2-14xy-15y2=0的分解有一定的難度，所以很多學生在此題上“入門較快，出門較慢”.

構(gòu)造法

【分析】 通過等邊三角形EFG中EF=FG，聯(lián)想到全等三角形，再利用等邊三角形EFG中∠EFG=60°，結(jié)合三角形的外角定理聯(lián)想到構(gòu)造一個60°的角，加上正方形中∠B=∠C=90°，即構(gòu)造一個30°的角便可得到60°的角.

【點評】 此法不易想到，對學生要求很高，要求學生對特殊角的三角函數(shù)、全等三角形以及幾何構(gòu)造思想非常熟悉. 作輔助線是本方法的難點，利用輔助線將長度問題轉(zhuǎn)化到全等圖形中來解決，使計算難度大大降低，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，此方法屬于“入門難，出門易”.

旋轉(zhuǎn)法

【分析】 通過等邊三角形EFG中FE=FG，聯(lián)想到旋轉(zhuǎn)，故將Rt△FCG繞著點F逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到Rt△FPE. 連接CP，F(xiàn)P，可證明△CPF為等邊三角形. 延長EP交BC的延長線于點Q，可得到一個含30°角的Rt△FPQ.

【點評】 此方法難點有三，一是不易想到旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造新的圖形，而是不能及時反應(yīng)出旋轉(zhuǎn)過后的△CPF為等邊三角形，最后不太容易反應(yīng)出△FPQ是一個含30°角的直角三角形. 本方法難于想到，計算復雜，屬于“入門難，出門難”.

近幾年中考幾何題主要通過變換課本原題或模擬題的視角、解題策略編成，主要考查函數(shù)、方程、全等、相似等重要知識點在幾何圖形中的運用. 通過實踐探索，我們發(fā)現(xiàn)，對學生而言，引導其建立數(shù)學思想，將成為突破難點的金鑰匙，通常結(jié)合兩到三種不同的數(shù)學思想方法，連同數(shù)形結(jié)合，滲透、發(fā)展學生利用數(shù)學思想解決問題的能力. 若能熟練掌握數(shù)學思想方法，則使解決幾何問題更加快捷、簡便、準確，也更加能夠使學生做到舉一反三，觸類旁通. 因此，一線教師在教學活動中應(yīng)該有意識地選擇此類題目，在題目中逐漸滲透函數(shù)思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學生運用數(shù)學思想方法解決問題的意識，逐步養(yǎng)成運用數(shù)學思想方法解決具體問題的能力.endprint