經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)發(fā)展幾何直觀

彭忠榮

[摘 要] 幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡稱《課標(biāo)》）提出的數(shù)學(xué)課程核心概念之一，它可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用. 本文以蘇教版九年級數(shù)學(xué)上冊第二章對稱圖形圓的第4節(jié)“圓周角”教學(xué)設(shè)計(jì)為例探討如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀.

[關(guān)鍵詞] 圓周角；圓心角；探究；幾何直觀

“幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡稱《課標(biāo)》）提出的數(shù)學(xué)課程核心概念之一，指出幾何直觀主要是指“利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果. 幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用”. 本文以蘇教版九年級數(shù)學(xué)上冊第二章對稱圖形圓的第4節(jié)“圓周角”教學(xué)設(shè)計(jì)為例就教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析、學(xué)情分析及問題診斷；引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)，歸納定理；應(yīng)用定理，拓展延伸等環(huán)節(jié)進(jìn)行相關(guān)分析、整理，并與更多同行分享研討.

教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析

圓周角這節(jié)課是在學(xué)習(xí)圓、弦、弧、圓心角等概念基礎(chǔ)上，繼而對同弧所對的圓周角與圓心角關(guān)系說理、作圖、計(jì)算.這節(jié)課既是前面知識的繼續(xù)，又是研究圓與其他平面幾何圖形的橋梁和紐帶.教材把圓周角這節(jié)分兩課時(shí)，此文說圓周角第一課時(shí).

教學(xué)目標(biāo)

1. 知識與技能：理解圓周角概念，體會(huì)同弧所對的圓周角與圓心角關(guān)系的發(fā)現(xiàn)、探索、驗(yàn)證過程.

2. 過程與方法：經(jīng)歷操作、觀察、猜想、分析、交流、論證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，體驗(yàn)圓周角定理探索過程，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和運(yùn)用幾何語言的能力.

3. 情感與態(tài)度：通過數(shù)學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生對圖形觀察、探究、添加輔助線，激發(fā)學(xué)生好奇心和求知欲，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：探索同弧所對的圓周角與圓心角關(guān)系.

難點(diǎn)：了解圓周角分類，用化歸思想，合情推理驗(yàn)證圓周角與圓心角的關(guān)系.

學(xué)情分析

九年級學(xué)生有較強(qiáng)的自我發(fā)展意識，對有“挑戰(zhàn)性”的問題比較感興趣，具備一定的邏輯推理能力. 在教學(xué)中應(yīng)建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)一系列具有啟發(fā)性、挑戰(zhàn)性的問題情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光思考問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗(yàn)證猜想.

教學(xué)支持條件設(shè)計(jì)

為幫助學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系，在學(xué)生動(dòng)手操作基礎(chǔ)上，再用幾何畫板度量和動(dòng)畫功能，準(zhǔn)確、全面驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

教學(xué)設(shè)計(jì)

活動(dòng)一 創(chuàng)設(shè)情景、激發(fā)興趣

師：（教師投影足球射門圖片）足球訓(xùn)練場上教練在球門前劃了一個(gè)圓圈，進(jìn)行無人防守射門訓(xùn)練，如圖1，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員分別在C、D兩地，爭論不休，都說自己所在位置對球門AB張角大.如果你是教練，評一評他們兩個(gè)人，誰的位置對球門AB張角大？

設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)系生活中足球射門情境，創(chuàng)設(shè)有挑戰(zhàn)性的問題情境導(dǎo)入新課，激發(fā)學(xué)生探索激情和求知欲，把學(xué)生注意力盡快集中到課堂.

活動(dòng)二 經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展幾何直觀

1. 問題呈現(xiàn)，合作探究

師：復(fù)習(xí)圓心角的概念.

生：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

師：圖中∠C、∠D與我們前面所學(xué)的圓心角有什么區(qū)別？∠C、∠D的邊和頂點(diǎn)與圓的位置有什么特點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：從生活實(shí)例入手選擇新舊知識切入點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、抽象出圖形共同屬性，得出圓周角定義.引出課題——圓周角.

師：仿照圓心角定義給圓周角下定義.

生：定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.

特征：①角的頂點(diǎn)在圓上.②角的兩邊都與圓相交.

練習(xí)：下列與圓有關(guān)的角中，哪些是圓周角？

設(shè)計(jì)意圖：此處并排呈現(xiàn)正例和反例有利于學(xué)生對圓周角概念本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性進(jìn)行比較. 使學(xué)生容易理解概念.

2. 合作探究，歸納定理

師：畫弧AB所對圓心角，再畫弧AB所對圓周角，你能畫多少個(gè)同一條弧所對的圓心角和圓周角呢？

生：動(dòng)手畫圖探究.

師：用幾何動(dòng)態(tài)語言探究圓周角與圓心角的位置關(guān)系，從而分為三種位置關(guān)系.

師：量一量所畫弧AB所對圓周角、圓心角的度數(shù)有何發(fā)現(xiàn)？請驗(yàn)證.

生：有的借助量角器，用度量的方法進(jìn)行驗(yàn)證；有的采用折疊重合方法進(jìn)行驗(yàn)證.

學(xué)生興奮地叫著我發(fā)現(xiàn)了：同弧所對圓周角都相等；同弧所對圓周角度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半.

設(shè)計(jì)意圖：先引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、猜想、分析、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，探索圓周角性質(zhì)，感知基本幾何事實(shí)，體會(huì)兩種數(shù)量關(guān)系：同弧所對圓周角和圓心角關(guān)系；同弧所對圓周角關(guān)系.

師：用幾何畫板度量功能量出∠AOB、∠ACB、∠ADB和∠AEB，發(fā)現(xiàn)∠AOB最大，∠ACB=∠ADB=∠AEB；接著用計(jì)算功能，計(jì)算∠ACB和∠AOB的比值，發(fā)現(xiàn)∠ACB ∶ ∠AOB=1 ∶ 2.再從以下幾個(gè)方面演示，讓學(xué)生觀察圓周角的度數(shù)是否改變，同弧所對圓周角與圓心角的關(guān)系有無變化：①拖動(dòng)圓周角頂點(diǎn)使其在圓周上運(yùn)動(dòng)；②改變圓心角度數(shù)；③改變圓半徑大小.

從而驗(yàn)證猜想：同弧所對圓周角度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半.

設(shè)計(jì)意圖：用幾何畫板演示驗(yàn)證，用幾何動(dòng)態(tài)語言來探究圓周角與圓心角的關(guān)系，在某些量變化過程中使學(xué)生觀察不變的數(shù)量關(guān)系，更好地理解圓周角與圓心角的關(guān)系.

師：請同學(xué)們把發(fā)現(xiàn)的結(jié)論用文字語言表述一下.

生：他的說法不準(zhǔn)確，應(yīng)該是：在同圓或等圓中，同弧所對圓周角相等且都等于這條弧所對圓心角的一半，丟掉了“在同圓或等圓中”和“這條弧所對的”這兩點(diǎn).endprint

設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)手操作和幾何直觀相結(jié)合，使推理論證成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù).

活動(dòng)三 用分類討論的方法證明定理

師：為了說明結(jié)論正確性，下面探究論證：請同學(xué)們在下圖⊙O中畫出圓周角有三種位置關(guān)系，即圓心可能在圓周角的一邊上，可能在圓周角的內(nèi)部，也可能在圓周角的外部.

師：借助計(jì)算機(jī)動(dòng)畫演示，觀察驗(yàn)證學(xué)生發(fā)現(xiàn)的三種位置關(guān)系：

設(shè)計(jì)意圖：以動(dòng)態(tài)演示方式，幫助學(xué)生直觀觀察圓心與圓周角的三種位置關(guān)系，為分情況證明圓周角定理奠定基礎(chǔ).讓學(xué)生通過合作、分類討論進(jìn)行探究，培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性.

師：圓心與圓周角有三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部.

師：在上述三種情況中我們先選擇其中的一種情況證明，如何證明？

生：選擇第一種情況證明，因?yàn)閳A心在圓周角的一邊上是最簡單的一種情況.因?yàn)閳A心角在圓周角的一邊上，AC是圓的直徑，由同圓半徑相等得，OC=OB，所以∠C=∠B，根據(jù)定理“三角形外角等于和它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和”可得∠AOB=∠C+∠B=2∠C，即同弧所對的圓周角等于該弧所對圓心角的一半.

師：當(dāng)圓心在圓周角內(nèi)部時(shí)，圓周角∠ACB的邊AC、BC在直徑CD的兩側(cè)，因此為尋找證明思路帶來了方便，沿CD對折⊙O，展開后你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：很好！請同學(xué)們寫出這種情況的證明過程，再完成最后一種情況的證明.

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察度量、實(shí)驗(yàn)操作、圖形變換、推理論證探索性質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題和解決問題.另外從數(shù)學(xué)語言的三種形態(tài)“文字語言、圖形語言、符號語言”進(jìn)行描述，強(qiáng)化對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)與理解，加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用.

活動(dòng)四 定理應(yīng)用

例1 如圖16，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，點(diǎn)D在⊙O外，CD、BD分別交⊙O于點(diǎn)E、F，比較∠BAC與∠BDC的大小，并說明理由.

例題變式：移動(dòng)點(diǎn)D到⊙O內(nèi)，其他條件不變，此時(shí)∠BAC與∠BDC的大小又如何？并說明理由.

例2 解決導(dǎo)入新課問題，發(fā)展能力.

拓展延伸：比較∠D、∠E、∠F的大小關(guān)系？

活動(dòng)五 鞏固練習(xí)

1. 如圖19，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上，四邊形ABCD的對角線把4個(gè)內(nèi)角分成8個(gè)角，這些角中哪些是相等的角？

2. 如圖20，點(diǎn)A、B、C、D在圓O上，若∠ACB=60°，則∠ADB=______，∠AOB=______.

3. 如圖21，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)都在⊙O上，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，則∠BDC=______.

學(xué)生獨(dú)立思考解決問題，小組討論，教師及時(shí)糾正反饋.

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對定理的理解和應(yīng)用，使學(xué)生從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形的能力.

活動(dòng)六 課堂小結(jié)，鞏固反思

師：請你談?wù)劚竟?jié)課有哪些收獲？

生：這節(jié)課學(xué)習(xí)圓周角的定義和圓周角的定理，知道圓周角有兩個(gè)要點(diǎn)：同弧對圓周角相等關(guān)系，圓心角和圓周角是二倍的關(guān)系.

生：通過學(xué)習(xí)學(xué)到要全面考慮問題，學(xué)會(huì)從特殊到一般解決問題的方法，滲透了分類和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

師：同學(xué)們都反思總結(jié)得很好，希望在今后學(xué)習(xí)能一如既往地養(yǎng)成勤反思、多總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使我們學(xué)習(xí)成績更上一層樓.

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)梳理本節(jié)課的知識，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識.

課后感悟

1. 教學(xué)展示知識背景—知識形成—揭示聯(lián)系的過程

本節(jié)課以經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)、發(fā)展幾何直觀為理念依據(jù)，組織教學(xué)活動(dòng).活動(dòng)1是從足球射門問題情境引入，讓學(xué)生從經(jīng)歷生活數(shù)學(xué)出發(fā)，提出問題導(dǎo)入新課.活動(dòng)2將經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)、發(fā)展幾何直觀過程分為兩個(gè)層次，一是通過幾何直觀尋找位置關(guān)系；二是借助幾何直觀探索數(shù)量關(guān)系，初步感知同弧所對圓周角等于它所對圓心角一半.活動(dòng)3通過師生互動(dòng)，學(xué)生動(dòng)手證明活動(dòng)2的發(fā)現(xiàn)，利用已有知識經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行演繹推理. 活動(dòng)4通過定理應(yīng)用，讓學(xué)生進(jìn)行合理、簡潔的邏輯推理，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，將演繹推理滲透在思維訓(xùn)練中.同時(shí)例2使情境創(chuàng)設(shè)問題得以解決，達(dá)到了首尾呼應(yīng)，再將問題進(jìn)一步拓展延伸.活動(dòng)5通過師生交流和學(xué)生代表的理解，強(qiáng)化訓(xùn)練鞏固定理.在解決問題的過程中發(fā)展學(xué)生邏輯推理能力.活動(dòng)6讓學(xué)生從多方面對本節(jié)課進(jìn)行小結(jié)，使學(xué)生對本節(jié)課的知識形成體系.本節(jié)課各環(huán)節(jié)層層深入、環(huán)環(huán)相扣，過渡自然，構(gòu)成一個(gè)完整的知識生成體系.教學(xué)活動(dòng)的過程體現(xiàn)師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展過程；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性，引發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)了學(xué)生創(chuàng)造性思維；注重學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng).

2. 教學(xué)方法尊重學(xué)生個(gè)體認(rèn)知差異，因材施教，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀

本節(jié)課以《課標(biāo)》核心概念為主線，在教學(xué)方法上尊重學(xué)生個(gè)體認(rèn)知差異，通過幾何直觀培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力.

在探究同弧所對的圓周角、圓心角的數(shù)量和位置關(guān)系時(shí)，先設(shè)置問題情景——足球射門，引入圓周角，本情境與學(xué)生現(xiàn)有生活經(jīng)驗(yàn)相符，學(xué)生對情境理解和圓周角概念導(dǎo)入順其自然.學(xué)生先獨(dú)立思考尋找解決問題的方法，然后組內(nèi)討論，達(dá)成共識，使不同學(xué)生都有發(fā)表自己見解的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、證明同弧所對圓周角圓心角的數(shù)量和位置關(guān)系.

3. 核心概念學(xué)習(xí)與定理證明上的特色

本節(jié)內(nèi)容的核心概念是圓周角定義和圓周角定理. 在教學(xué)方式上，讓學(xué)生先自行探究，然后小組討論，這有利于不同層次學(xué)生的提高，也體現(xiàn)了團(tuán)隊(duì)合作的精神；以實(shí)際情境為載體，運(yùn)用《幾何畫板》的動(dòng)畫、度量與演示功能，以問題串的形式設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)，抽象出概念，通過正、反兩方面的練習(xí)進(jìn)行概念辨析，強(qiáng)化對概念內(nèi)涵的理解. 通過設(shè)計(jì)問題不斷地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，在定理的探究階段，花費(fèi)時(shí)間多一些是值得的，因?yàn)樽寣W(xué)生經(jīng)歷自己探討、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程，能夠逐步提高學(xué)生分析、解決問題的能力.

4. 數(shù)學(xué)思想和方法滲透

教學(xué)中先要求學(xué)生在已知圓中盡可能多地畫出同弧所對的圓周角，并引導(dǎo)學(xué)生初步觀察圓心角與圓周角的位置關(guān)系，接著利用《幾何畫板》的動(dòng)畫演示功能，設(shè)計(jì)了圓周角的頂點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)畫，直觀地展示了圓心與圓周角的三種位置關(guān)系，為圓周角定理的證明創(chuàng)設(shè)了條件，較好地體現(xiàn)了用分類討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力.

總之，本課的教學(xué)設(shè)計(jì)在改革教法、優(yōu)化教學(xué)方法方面做了一些有益的嘗試，較為成功.endprint