基于過(guò)程教育的“多邊形”課例及點(diǎn)評(píng)

周?！∴w云德

[摘 要] 本文根據(jù)“多邊形（第2課時(shí)）”的教學(xué)目標(biāo)，通過(guò)“過(guò)程教育”指導(dǎo)下的多次螺旋式教學(xué)探索與反思，以及初步的理論求證與實(shí)踐驗(yàn)證表明，探索中形成的教學(xué)操作方法能落實(shí)其全面、和諧的教學(xué)目標(biāo).

[關(guān)鍵詞] 過(guò)程教育；多邊形；教學(xué)探索；教學(xué)點(diǎn)評(píng)

課例背景

“過(guò)程教育”是旨在滿足學(xué)生全面、持續(xù)、和諧發(fā)展的需要，關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)果形成、應(yīng)用的過(guò)程和獲得數(shù)學(xué)結(jié)果（或解決問(wèn)題）之后反思過(guò)程的育人活動(dòng). 浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)“4.1多邊形（第2課時(shí)）”是認(rèn)識(shí)多邊形的繼續(xù)——從三角形、四邊形的內(nèi)角和與外角和定理到n邊形（n≥5）的內(nèi)角和與外角和定理，其主要教學(xué)目標(biāo)是：探索多邊形的內(nèi)角和；能發(fā)現(xiàn)并證明多邊形內(nèi)角和與外角和公式；能感悟蘊(yùn)涵的類比思想、歸納思想、化歸思想等；參與嘗試知識(shí)應(yīng)用的活動(dòng)；會(huì)用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題；能積淀用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 那應(yīng)選擇怎樣的載體和運(yùn)用怎樣的方法以落實(shí)其全面、和諧的教學(xué)目標(biāo)呢？筆者在過(guò)程教育指導(dǎo)下多次螺旋式教學(xué)探索與反思的基礎(chǔ)上，將形成的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)在象山縣骨干教師帶徒活動(dòng)中進(jìn)行了再實(shí)踐，得到了同仁的認(rèn)可，現(xiàn)將其整理出來(lái)，以饗讀者.

教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷提出問(wèn)題的過(guò)程——明確研究的問(wèn)題

師：我們知道，三角形的內(nèi)角和是180°，外角和是360°；四邊形的內(nèi)角和是360°，外角和是360°. 那n邊形（n≥5）的內(nèi)角和與外角和分別是多少呢？這節(jié)課我們就來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題（揭示課題）.

環(huán)節(jié)2：探索多邊形的內(nèi)角和——形成多邊形的內(nèi)角和定理

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家用適當(dāng)?shù)姆椒ㄌ骄坎⑻顚懕?.

（約3分鐘后）

師：大家從表中能得到什么結(jié)論？

生1：n邊形從某頂點(diǎn)出發(fā)有（n-3）條對(duì)角線.

生2：n邊形能劃分成（n-2）個(gè)三角形.

生3：n邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180°（n≥3）.

生4：n邊形的外角和是360°.

師：好的. 但從特殊到一般歸納得到的結(jié)論不一定正確，需要用推理的方法來(lái)證明. 誰(shuí)能類比證明四邊形內(nèi)角和定理的方法來(lái)證明n邊形內(nèi)角和的命題？

生5：如圖1，對(duì)于n邊形，從某一頂點(diǎn)出發(fā)的（n-3）條對(duì)角線把n邊形劃分成（n-2）個(gè)三角形，所以n邊形的內(nèi)角和就等于這（n-2）個(gè)三角形所有內(nèi)角之和，即n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°（n≥3）.

師：好的. 你運(yùn)用了化歸思想——把多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題.

生6：也可用圖2、圖3、圖4的方法，把多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題.

師：非常好！這說(shuō)明化歸的方法具有多樣性.

師：這樣，我們就證明了這個(gè)命題是真命題——n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°（n≥3）.

師：這個(gè)定理（也稱公式）以后會(huì)經(jīng)常用到.

師：n邊形（n≥3）的外角和是多少？為什么？

生7：n邊形（n≥3）的外角和為360°，因?yàn)槊恳粋€(gè)外角與和它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，所以n邊形的外角和（每一個(gè)頂點(diǎn)只取一個(gè)外角）為n×180°-（n-2）×180°=360°.

師：好的. 這個(gè)定理也可以利用圖5來(lái)進(jìn)行直觀解釋……

師：n邊形的n個(gè)內(nèi)角中最多有幾個(gè)銳角？為什么？

生8：n邊形最多有三個(gè)銳角，因?yàn)閚邊形的外角和是360°.

師：你的推理完全正確！

環(huán)節(jié)3：參與嘗試知識(shí)應(yīng)用的活動(dòng)——合作解答有代表性的問(wèn)題

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家解答下列問(wèn)題.

問(wèn)題1：（1）十邊形的內(nèi)角和是多少？外角和呢？

（2）若n邊形的內(nèi)角和是1800°，則n=______.

（3）若n邊形的每個(gè)外角都等于72°，則n=______.

（約2分鐘后）

師：誰(shuí)來(lái)回答第（1）問(wèn)？

生9：1440°；360°.

師：好的，誰(shuí)來(lái)回答第（2）問(wèn)？

生10：12.

師：好的，誰(shuí)來(lái)回答第（3）問(wèn)？

生11：5.

師：好的，解答上述問(wèn)題的依據(jù)是什么？

生12：解題的依據(jù)是多邊形的內(nèi)角和與外角和定理.

師：不錯(cuò)，下面請(qǐng)大家合作解答下列問(wèn)題（課本中的例2）.

問(wèn)題2：如圖6，若AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，則∠A+∠C+∠E是多少度？

師：請(qǐng)大家先分析解決這個(gè)問(wèn)題的策略.

生13：要求∠A+∠C+∠E的度數(shù)，只要分別求出這三個(gè)角的度數(shù)即可.

生14：不行，因?yàn)閳D形的變化會(huì)引起角度的變化.

師：有道理，這條常規(guī)思路不能用于解決本題.

生15：由于6個(gè)角的和已知，可以尋找角與角的關(guān)系.

師：不錯(cuò)，這是一種思考的方向.

生16：將六邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題.

師：值得思考，這是化歸思想——化復(fù)雜圖形為簡(jiǎn)單圖形.

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家用生15或生16的思路來(lái)嘗試解決這個(gè)問(wèn)題.

（約3分鐘后）

師：誰(shuí)來(lái)交流解題過(guò)程？

生17：如圖7，連結(jié)AD，因?yàn)锳B∥DE，CD∥AF（已知），所以∠1=∠3，∠2=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）. 所以∠1+∠2=∠3+∠4，即∠FAB=∠CDE. 同理，∠B=∠E，∠C=∠F. 因?yàn)椤螰AB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=（6-2）×180°=720°，所以∠FAB+∠C+∠E=×720°=360°.

生18：如圖8，分別延長(zhǎng)AB，CD，EF三邊構(gòu)成△PQR，因?yàn)镈E∥AB，所以∠1=∠R，同理，∠2=∠R，所以∠1=∠2. 所以∠CDE=∠FAB. 同理，∠AFE=∠BCD，∠ABC=∠DEF. 因?yàn)椤螰AB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠AFE=（6-2）×180°=720°，所以∠FAB+∠BCD+∠DEF=×720°=360°.endprint

生19：如圖9，分別延長(zhǎng)AB，CD，EF三邊構(gòu)成△PQR，因?yàn)镈E∥AB，所以∠2=∠R，同理∠1=∠P，∠3=∠Q. 因?yàn)椤螰AB=∠Q+∠1，∠DEF=∠P+∠2，∠BCD=∠R+∠3，∠P+∠Q+∠R=180°，所以∠FAB+∠BCD+∠DEF=2（∠P+∠Q+∠R）=2×180°=360°.

師：好的. 在求解上述問(wèn)題的過(guò)程中，你獲得了哪些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？

生20：解題之前的分析是發(fā)現(xiàn)解題思路的關(guān)鍵；利用平行線的性質(zhì)能實(shí)現(xiàn)角之間的相互轉(zhuǎn)化（或能發(fā)現(xiàn)角之間的關(guān)系）；將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形是解題的基本策略.

師：非常好！解題之前分析、利用輔助線作橋梁、運(yùn)用化歸思想等是解題的基本經(jīng)驗(yàn).

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動(dòng)——合作進(jìn)行反思與總結(jié)

首先，教師出示下列“問(wèn)題清單”，并要求學(xué)生圍繞“問(wèn)題清單”進(jìn)行回顧與思考.

（1）本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？我們是怎樣研究的？

（2）獲得多邊形內(nèi)角和定理經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

（3）證明多邊形內(nèi)角和定理的基本策略是什么？

（4）你在學(xué)習(xí)過(guò)程中有何感觸？

其次，教師組織學(xué)生進(jìn)行合作交流，同時(shí)教師進(jìn)行評(píng)價(jià).

第三，在此基礎(chǔ)上，教師總結(jié)本節(jié)課的研究方法：發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和定理采用了特殊到一般的歸納方法；證明多邊形內(nèi)角和定理運(yùn)用了化歸思想——化未知為已知；化復(fù)雜為簡(jiǎn)單.

教學(xué)點(diǎn)評(píng)

根據(jù)過(guò)程教育的含義，基于過(guò)程教育的數(shù)學(xué)教學(xué)需要全面的教學(xué)內(nèi)容、完整的認(rèn)知過(guò)程、和諧的教學(xué)方法，本節(jié)課的教學(xué)操作符合基于過(guò)程教育的數(shù)學(xué)教學(xué)基本條件，對(duì)促進(jìn)學(xué)生全面、和諧發(fā)展有積極的影響.

首先，教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)了全面的教學(xué)內(nèi)容觀. 基于過(guò)程教育的數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)全面——不僅包括數(shù)學(xué)結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成與應(yīng)用的過(guò)程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法. 本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)了全面的教學(xué)內(nèi)容觀，其教學(xué)內(nèi)容不僅包括多邊形內(nèi)角和與外角和定理，也包括定理的形成與應(yīng)用的過(guò)程，蘊(yùn)涵的類比思想、歸納思想、化歸思想等，以及用定理解決幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 這是落實(shí)其全面、和諧的教學(xué)目標(biāo)的前提.

其次，認(rèn)知過(guò)程體現(xiàn)了完整的認(rèn)知過(guò)程觀. 基于過(guò)程教育的數(shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)知過(guò)程應(yīng)當(dāng)完整——既有認(rèn)知過(guò)程“前半段”，也有認(rèn)知過(guò)程“后半段”. 對(duì)整節(jié)課來(lái)說(shuō)，認(rèn)知過(guò)程前半段的主要任務(wù)是獲得數(shù)學(xué)結(jié)果；認(rèn)知過(guò)程后半段的主要任務(wù)是用獲得的數(shù)學(xué)結(jié)果解決具體問(wèn)題. 對(duì)于每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)來(lái)說(shuō)，認(rèn)知過(guò)程前半段是感性到理性的認(rèn)識(shí)過(guò)程，以獲得數(shù)學(xué)結(jié)果（或解決問(wèn)題）；認(rèn)知過(guò)程后半段是理性認(rèn)識(shí)的加深過(guò)程，以欣賞數(shù)學(xué)結(jié)果和感悟蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法和積淀蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 本節(jié)課體現(xiàn)了完整的認(rèn)知過(guò)程觀——既有多邊形內(nèi)角和與外角和的探索與證明認(rèn)知過(guò)程，以獲得多邊形內(nèi)角和與外角和定理；也有獲得定理之后反思的認(rèn)知過(guò)程，以欣賞定理和感悟蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想等；既有用獲得的定理解決具體問(wèn)題的認(rèn)知過(guò)程，以鞏固定理和發(fā)展智慧技能；也有解決問(wèn)題之后反思的認(rèn)知過(guò)程，以積淀用定理解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 這是落實(shí)其全面、和諧的教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵.

第三，教學(xué)方法體現(xiàn)了和諧的教學(xué)方法觀. 基于過(guò)程教育的數(shù)學(xué)教學(xué)方法應(yīng)當(dāng)和諧——不僅包括教師準(zhǔn)確、清晰、富有啟發(fā)性的講解，也包括有助于學(xué)生經(jīng)歷實(shí)質(zhì)性思維過(guò)程的價(jià)值引導(dǎo)（以好的“題材”為載體、有導(dǎo)學(xué)味的問(wèn)題引導(dǎo)、有啟發(fā)性的語(yǔ)言點(diǎn)撥、設(shè)置認(rèn)知提示語(yǔ)、必要的辨析與干預(yù)、適時(shí)評(píng)價(jià)與追問(wèn)等），以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、引發(fā)學(xué)生的思考、培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法. 本節(jié)課的教學(xué)方法體現(xiàn)了和諧的教學(xué)方法觀，例如，課本中例2的教學(xué)（由于上節(jié)課的鋪墊，探索并證明多邊形的內(nèi)角和不是教學(xué)難點(diǎn)，求解課本中的例2是教學(xué)難點(diǎn)），首先，教師引導(dǎo)學(xué)生分析求解策略，以獲得求解思路；其次，教師組織學(xué)生探索并交流求解方法，以獲得多樣化的解題方法；第三，教師在總結(jié)性講解的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生反思，以積累解題經(jīng)驗(yàn)和感悟蘊(yùn)涵的化歸思想等，這是落實(shí)其全面、和諧的教學(xué)目標(biāo)的可靠保證.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要實(shí)現(xiàn)知識(shí)、技能、能力、態(tài)度的完美統(tǒng)一，需要教師增強(qiáng)揭示數(shù)學(xué)結(jié)果所蘊(yùn)涵的思維活動(dòng)過(guò)程的自覺(jué)性，而引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷實(shí)質(zhì)性思維過(guò)程需要教師貫徹啟發(fā)式教學(xué)思想——以符合“最近發(fā)展區(qū)”理論的題材為載體，運(yùn)用教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的教學(xué)方法，使學(xué)生經(jīng)歷“過(guò)程”中的思維“站點(diǎn)”，從而促進(jìn)學(xué)生全面、和諧的發(fā)展.endprint