改善和提高參數(shù)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)教學(xué)效果的實(shí)踐與探索

＼[作者簡(jiǎn)介＼]李景和（1963），男，天津人。副教授，主要研究方向?yàn)楣た茢?shù)學(xué)教學(xué)。

＼[摘要＼]

分析了參數(shù)單側(cè)假設(shè)

檢驗(yàn)教學(xué)的現(xiàn)狀和存在的問題，提出和論證在該部分內(nèi)容的教學(xué)中應(yīng)注意講好思想方法、確定好小概率事件和適當(dāng)介紹參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)中原假設(shè)的確立原則。通過加強(qiáng)這三個(gè)方面的工作，以期緩解學(xué)生學(xué)習(xí)的畏難情緒，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而有效改善和提高參數(shù)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的教學(xué)效果。

＼[關(guān)鍵詞＼]單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn);思想方法;小概率事件;原假設(shè);備擇假設(shè)

＼[中圖分類號(hào)＼]O212.1＼[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼＼]A＼[文章編號(hào)＼]10054634（2015）03008403

1參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)教學(xué)的現(xiàn)狀和存在的問題以及存在問題的原因分析

總體未知參數(shù)的單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)是工科數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)的正式內(nèi)容，但該部分內(nèi)容的教學(xué)現(xiàn)狀不盡人意，學(xué)生對(duì)單側(cè)檢驗(yàn)的思想和方法掌握不佳，一些學(xué)生反映聽不懂，跟不上，作業(yè)完成不理想。由于目前期末考試假設(shè)檢驗(yàn)部分的考題一直是以一個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的雙側(cè)檢驗(yàn)為主，很少涉及單側(cè)檢驗(yàn)，因此教師在教學(xué)中對(duì)未知參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)遠(yuǎn)不如對(duì)雙側(cè)檢驗(yàn)重視，參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)的教學(xué)處于一種尷尬的境地。造成學(xué)生學(xué)習(xí)困難的一個(gè)主要原因是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概念多、結(jié)論多、公式多、記憶壓力較大。未知參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)包含一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的、兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的和非正態(tài)總體參數(shù)的三個(gè)大方面，而這三個(gè)大方面又各自分若干種情況，就河北工業(yè)大學(xué)使用的教材（文獻(xiàn)＼[1＼]）而言，假設(shè)檢驗(yàn)三大方面總共介紹10種情況，每種情況又可以再分成雙側(cè)和兩種單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)，這樣最后推得的結(jié)論共30個(gè)，教學(xué)內(nèi)容顯得枯燥和繁瑣。假設(shè)檢驗(yàn)是教學(xué)的最后一章，一些基礎(chǔ)不太好的初學(xué)者還不能消化和理解前面章節(jié)講過的抽樣分布定理和分位數(shù)等相關(guān)結(jié)論，從而不能將其應(yīng)用到假設(shè)檢驗(yàn)之中，在參數(shù)雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)尚可堅(jiān)持，而在單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)便感到力不從心，甚至放棄學(xué)習(xí)。

2改善和提高參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)教學(xué)效果的內(nèi)容參數(shù)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)是正式的教學(xué)內(nèi)容，面對(duì)教學(xué)中的困難，教師不應(yīng)回避矛盾，應(yīng)當(dāng)積極探索，大膽實(shí)踐，特別是在基礎(chǔ)較好的統(tǒng)招生的教學(xué)中，更應(yīng)嚴(yán)格按照教學(xué)大綱的規(guī)定，認(rèn)真講好每一部分內(nèi)容。筆者以為改善和提高參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)教學(xué)效果應(yīng)從以下三個(gè)方面入手。

2.1講好思想方法

改善和提高參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)教學(xué)效果的最重要環(huán)節(jié)是講好假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法。假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法簡(jiǎn)單概括起來就是：在假定原假設(shè)H0成立的情況下，構(gòu)造一個(gè)小概率事件，看具體抽樣中小概率事件是否發(fā)生，若發(fā)生，則拒絕H0;若沒發(fā)生，則接受H0。其思想方法根據(jù)有兩條，一是“實(shí)際推斷原理”，即認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生，二是概率性質(zhì)的反證法

。具體解題步驟如下。

1） 寫出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1。

2） 假定原假設(shè)H0成立，選擇適宜的統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的分布和分位數(shù)的定義寫出小概率表達(dá)式。

3） 根據(jù)原題給的樣本值，通過計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀察值看小概率事件是否發(fā)生。若發(fā)生，則拒絕H0;否則接受H0。

值得注意的是從參數(shù)雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)到單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)，其思想方法沒變，具體解題步驟沒變，統(tǒng)計(jì)量的選擇也沒變。變化的是H0或H1中的

等式變?yōu)椴坏仁?，小概率表達(dá)式中由統(tǒng)計(jì)量落入兩個(gè)區(qū)間的并變?yōu)榻y(tǒng)計(jì)量落入單個(gè)區(qū)間，即統(tǒng)計(jì)量大于等于某個(gè)數(shù)或小于等于某個(gè)數(shù)的概率是小概率α，從而最后得到的拒絕域由兩個(gè)區(qū)間變?yōu)閱蝹€(gè)區(qū)間。教材中在介紹參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，對(duì)每種情況都將雙側(cè)和單側(cè)檢驗(yàn)一起給出，筆者以為可參考文獻(xiàn)＼[2＼]的順序，先集中介紹雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)，然后再講解單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)更為適宜，這樣可使坡度變緩，利于初學(xué)者循序漸進(jìn)地掌握內(nèi)容。雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)的教學(xué)必須突出假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法，并在一個(gè)正態(tài)總體—兩個(gè)正態(tài)總體—非正態(tài)總體的過程中不斷體會(huì)這一思想，同時(shí)進(jìn)一步加深記憶和理解檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布，為單側(cè)檢驗(yàn)教學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。

2.2確定好小概率事件

改善和提高參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)教學(xué)效果的另一個(gè)重要環(huán)節(jié)是確定好小概率事件。在假定原假設(shè)H0成立的情況下，結(jié)合備擇假設(shè)H1，分析檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值理應(yīng)偏大還是偏小，偏小或偏大不正常，從而寫出小概率表達(dá)式是最直觀簡(jiǎn)便的方法＼[2＼]，下面以一個(gè)正態(tài)

總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)為例說明。

設(shè)X～N（μ，σ2），μ未知，（X1，X2，……，Xn）是來自總體X的樣本，在顯著性水平a下檢驗(yàn)假設(shè)H0：σ2≥σ20，H1：σ2<σ20。取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2=（n-1）S2σ20，樣本方差S2是總體方差σ2的一個(gè)較好的估計(jì)量（是無偏和一致估計(jì)量），S2的觀察值s2比σ2越大，對(duì)H0越有信心，否則s2比σ20越小，傾向于拒絕H0。顯然，若σ2≥σ20，則S2的觀察值s2對(duì)于σ20而言理應(yīng)偏大，即s2使（n-1）s2σ20偏大，否則偏小是不正常的，是小概率事件。當(dāng)σ2=σ20時(shí)，χ2=（n-1）S2σ20～χ2（n-1）。

根據(jù)教材（文獻(xiàn)[1]）中分位數(shù)的定義，有P{χ2≤χ2a（n-1）}=α，H0的拒絕域?yàn)椋?∞，χ2a（n-1）＼]。

需要進(jìn)一步說明的是，這里P{χ2≤χ2a（n-1）}=α是在σ2=σ20時(shí)成立的，事實(shí)上當(dāng)σ2>σ20時(shí)，可證明P{χ2≤χ2a（n-1）}≤α，即當(dāng)σ2>σ20時(shí)，{χ2≤χ2a（n-1）}依然是小概率事件，證明如下：當(dāng)σ2>σ20時(shí)，統(tǒng)計(jì)量χ2=（n-1）S2σ20可計(jì)算其觀察值，但不知其分布，而在此時(shí)已知分布的是，

χ20=（n-1）S2σ2～χ2（n-1），

有：P{χ20≤χ2a（n-1）}=α。由σ2>σ20知：

（n-1）S2σ20>（n-1）S2σ2，

有：

（n-1）S2σ20≤χ20（n-1）

（n-1）S2σ2≤χ2a（n-1）

。

故：

P{χ2≤χ2a（n-1）}=P（n-1）S2σ20≤χ2a（n-1）

≤P（n-1）S2σ2≤χ2a（n-1）

=P{χ20≤χ2a（n-1）}=α。

從而此時(shí)事件{χ2χ2a（n-1）}的概率不超過α，依然是小概率事件。若檢驗(yàn)假設(shè)是H0：σ2=σ20，H1：σ2<σ20，則當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，結(jié)合備擇假設(shè)知χ2=（n-1）s2σ20偏小是

不正常的，是小概率事件，從而拒絕域仍為（-∞，χ2a（n-1）＼]。

所有參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)都可以在假定原假設(shè)成立情況下，結(jié)合備擇假設(shè)，通過分析檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值理應(yīng)偏大還是偏小，偏小或偏大不正常，從而寫出小概率表達(dá)式，這是初學(xué)者確定好參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)小概率事件一個(gè)很好的切入點(diǎn)，同時(shí)在所有參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)中，經(jīng)過分析對(duì)原假設(shè)中等號(hào)成立時(shí)由相應(yīng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和顯著性水平所確定的小概率表達(dá)式，可以證明這個(gè)小概率表達(dá)式中的小概率事件在原假設(shè)中的不等號(hào)（原假設(shè)中的不等號(hào)均含有等號(hào)，即為“大于等于”或“小于等于”）去掉等號(hào)后，仍然是小概率事件，即其概率不超過顯著性水平α。

2.3適當(dāng)介紹參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)中原假設(shè)的確立原則

參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)中如何正確確立原假設(shè)和備擇假設(shè)問題是教學(xué)難點(diǎn)，也是必須面對(duì)的問題，因?yàn)樵诓煌慕滩幕蜉o導(dǎo)書中，同一個(gè)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問題，當(dāng)原假設(shè)和備擇假設(shè)的內(nèi)容交換以后，可能對(duì)檢驗(yàn)的問題會(huì)做出截然相反的結(jié)論，學(xué)生會(huì)對(duì)此感到困惑，甚至一些老師也沒徹底弄明白。事實(shí)上，原假設(shè)和備擇假設(shè)不是對(duì)等的，不能隨意對(duì)換。假設(shè)檢驗(yàn)主要是檢驗(yàn)備擇假設(shè)的，當(dāng)結(jié)論是拒絕原假設(shè)而接受備擇假設(shè)時(shí)理由是比較充分的，應(yīng)當(dāng)說有1-α的把握;當(dāng)結(jié)論是接受原假設(shè)時(shí)，只能說是根據(jù)已得到的數(shù)據(jù)還不能接受備擇假設(shè)而已＼[3＼]，正確的設(shè)立原假設(shè)方使假設(shè)檢驗(yàn)達(dá)到目的，原假設(shè)的確立原則可大

致簡(jiǎn)單歸納如下＼[46＼]。

1） 將有較大信心成立和不能輕易否定的結(jié)論作為原假設(shè)H0。一般來說，把應(yīng)該受到保護(hù)、有足夠證據(jù)時(shí)才能否定的命題或“不證自明”的命題作為原假設(shè)， 拒絕原假設(shè)應(yīng)當(dāng)謹(jǐn)慎，在沒有充分證據(jù)時(shí)不能輕易拒絕原假設(shè)H0。

2） 將希望否定的現(xiàn)象作為原假設(shè)H0。由于假設(shè)檢驗(yàn)拒絕原假設(shè)比接受原假設(shè)的理由更加充分，因此在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)將檢驗(yàn)者希望否定的現(xiàn)象設(shè)定為原假設(shè)，將研究者希望肯定的現(xiàn)象設(shè)定為備擇假設(shè)。例如，要檢驗(yàn)新方法、新材料或新工藝是否比原來的好，則在假設(shè)檢驗(yàn)中將原方法、原材料或原工藝取為原假設(shè)H0，以便有足夠的理由來說明新方法、新材料或新工藝比原來的要好。

3） 原假設(shè)中應(yīng)包含等號(hào)。顯然，檢驗(yàn)時(shí)，小概率的表達(dá)式是在原假設(shè)中等號(hào)成立

時(shí)成立的，此時(shí)未知參數(shù)取常數(shù)，方得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量是不能含有未知參數(shù)的，因此原假設(shè)一定是“等于”、“大于等于”、“小于等于”某值三種情況之一。

4） 使后果嚴(yán)重的錯(cuò)誤為第一類錯(cuò)誤。 此前已向?qū)W生介紹了假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤，在某些情況下， 將造成后果嚴(yán)重的錯(cuò)誤設(shè)置為第一類錯(cuò)誤， 以此確定原假設(shè)，因?yàn)榉傅谝活愬e(cuò)誤的概率是可以通過選取顯著性水平α的大小來控制的，犯第二類錯(cuò)誤的概率β是無法控制的。

5） 根據(jù)建立假設(shè)的角度和側(cè)重點(diǎn)。原假設(shè)的確立有時(shí)和檢驗(yàn)者看問題的角度和側(cè)

重點(diǎn)有關(guān)，比如X是某產(chǎn)品的使用壽命，其數(shù)學(xué)期望是μ，產(chǎn)品合格的標(biāo)準(zhǔn)是μ≥μ0，這時(shí)若將原假設(shè)定為H0：μ≥μ0，則控制犯第一類錯(cuò)誤是控制將合格品當(dāng)作不合格品;若將原假設(shè)定為H0：μ≤μ0，則控制犯第一類錯(cuò)誤是控制將不合格品當(dāng)作合格品。顯然

第二種原假設(shè)是側(cè)重于保護(hù)消費(fèi)者利益的。實(shí)際生活中如何選取原假設(shè)可能比較復(fù)雜，需要在實(shí)踐中去體會(huì)和積累經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)際情況去判斷，而初學(xué)者需要在熟悉基礎(chǔ)概念的基礎(chǔ)上認(rèn)真思考，深入體驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的方法。在教學(xué)中，介紹該部分內(nèi)容應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，立足學(xué)生的基礎(chǔ)和學(xué)時(shí)數(shù)。在做題時(shí)，一般題目中與上面歸納的5條相關(guān)描述是比較清楚的，需仔細(xì)審題，看清題意，從而正確選取原假設(shè)和備擇假設(shè)。

3結(jié)語

假設(shè)檢驗(yàn)作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本方法，其應(yīng)用日益重要，其中參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)在實(shí)際生活中普遍存在，如產(chǎn)品的使用壽命越長(zhǎng)越好，次品率越低越好，方差越小越好等等。參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)是正式的教學(xué)內(nèi)容，是雙側(cè)檢驗(yàn)的繼續(xù)和延伸，通過單側(cè)檢驗(yàn)的學(xué)習(xí)可進(jìn)一步加深體會(huì)假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法。同時(shí)在講好雙側(cè)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上使學(xué)生掌握好單側(cè)檢驗(yàn)是完全可行的，學(xué)習(xí)單側(cè)檢驗(yàn)和學(xué)習(xí)雙側(cè)檢驗(yàn)所需要的基礎(chǔ)知識(shí)完全相同，無需死記硬背結(jié)論與公式，只須掌握思想方法，在理解基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶，并對(duì)規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，比如參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)中表示拒絕域的不等號(hào)的方向總是和備擇假設(shè)中不等號(hào)的方向是一致的等等，通過深入理解思想，熟練掌握方法和總結(jié)結(jié)論中的規(guī)律來緩解記憶壓力。

筆者近幾年在學(xué)校統(tǒng)招生和城市學(xué)院（獨(dú)立學(xué)院）從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)工作，在講授參數(shù)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，按照上面提及的三個(gè)方面進(jìn)行了探索和實(shí)踐，感到學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)的畏難情緒有所減弱，記憶壓力得到緩解，自信心和學(xué)習(xí)興趣有較大提高。這種教學(xué)實(shí)踐特別受基礎(chǔ)較好準(zhǔn)備考研同學(xué)的歡迎。實(shí)踐表明，講好思想方法和確定好小概率事件以及適當(dāng)介紹參數(shù)單側(cè)檢驗(yàn)中原假設(shè)的確立原則是改善和提高參數(shù)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)教學(xué)效果的重要環(huán)節(jié)和有益探索。

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