對一道期中試題的多視角求解

李瑞華

[摘 要]從不同視角給出一道期中考試題的多種求解方法：直接計算長度，運用弦心距、圓的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程等手段解題；通過軌跡方程，借助圓求范圍.

[關(guān)鍵詞]圓 弦心距 基本不等式 軌跡方程

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2015）320044

我校在組織高二期中考試時命制了一道題目，筆者從不同的視角給出該題的多種求解方法，旨在發(fā)散學生思維，開闊學生的視野，培養(yǎng)學生的綜合能力.題目如下：

（2016·南京期中，13）在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x2+y2=16，點P（2，2），M、N是圓O上相異兩點，且PM⊥PN，若PQ

=PM+PN

，則|PQ|的取值范圍是 .

一、計算長度，轉(zhuǎn)移構(gòu)造

方法一（弦心距巧構(gòu)圓）：易知平行四邊形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.設(shè)O到PM、PN的距離分別為d1、d2，則d21+d22=OP2=8，PM=16-d21±8-d21，PN=16-d22±8-d22，|PQ|2=PM2+PN2≤（16-d21+

8-d21）2+（16-d22+8-d22）2，設(shè)x1=

16-d21，y1=16-d22，x2=-8-d21，

y2=-8-d22，則x21+y21=24，22≤x1，y1≤4，x22+y22=8，

-22≤x2，y2≤0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則點A在圓x21+y21=24的第一象限部分的圓弧上，點B在圓x22+y22=8的第三象限部分的圓弧上，如圖1，∴|PQ|≤|AB|≤26+22；

|PQ|2=PM2+PN2≥（16-d21-8-d21）2+（

16-d22

-8-d22）2，如圖2，仿上求得|PQ|≥|AB|≥26-22.當且僅當d1=d2=2時，取等號.

綜上，|PQ|的取值范圍是[26-22，26+22].

圖1圖2

方法二（三角換元巧構(gòu)不等式）：易知平行四邊形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.

設(shè)M（4cosα，4sinα），N（4cosβ，4sinβ），則|PQ|=|MN|=8|cosα-β2|，∵PM⊥PN，∴PM·PN

=0，

∴4（1-2cosα）（1-2cosβ）+4（1-2sinα）（1-2sinβ）=0，

∴4cos2α-β2-2cosα-β2（sinα+β2

+cosα+β2）-1=0.

∵sinα+β2+cosα+β2∈[-2，

2]，∴6-24≤cosα-β2≤6+24，∴

|PQ|∈[26-22，26+22].

方

法三（弦心距構(gòu)造基本不等式）：易知平行四邊形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.

設(shè)O到PM、PN的距離分別為d1、d2，則d21+d22=OP2=8，PM=16-d21±8-d21，PN=16-d22±8-d22，|PQ|2≤32+2×

13×16-d21×（38-d21）+2×13×16-d22

×（38-d22）≤32+13[16-d21+3（8-d21）+16-d22+3（8-d22）]=（26+22）2，∴|PQ|≤26+22.仿上求得|PQ|≥26-22.

綜上，|PQ|的取值范圍是[26-22，26+22].

方法四（直線參數(shù)方程構(gòu)造基本不等式）：易知平行四邊形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.

設(shè)直線PM的參數(shù)方程為

x=2+tcosθ

y=2+tsinθ

，PN的參數(shù)方程為

x=2+tcos（θ+90°）=2-tsinθ

y=2+tsin（θ+90°）=2+tcosθ

，代入圓O的方程，解得t=-2（cosθ+sinθ）±23+sin2θ或t=-2（cosθ-sinθ）±23-sin2θ，

∴|PQ|2=4[8±2（cosθ+sinθ）3+sin2θ±2（cosθ-sinθ）3-sin2θ]≤（26+22）2，∴|PQ|≤26+22；同理，仿上求得|PQ|≥26-22.

綜上，|PQ|的取值范圍是[26-22，26+22].

二、軌跡方程，助力長度

方法五（軌跡方程——定義法）：∵OP2+OQ2-OM2-ON2=（OP-OM）·（OP+OM）+（OQ-ON）·（OQ+ON）=MP·（OP+OM-OQ-ON）=0，∴OP2+OQ2=OM2+ON2，∴OQ=24.下同方法一.

方法六（消參法）：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由PM⊥PN和M、N在圓O上及中點公式知，消去參數(shù)x1，y1，x2，y2得x2+y2=32-8=24，下同方法五.

（責任編輯 鐘偉芳）