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    基本不等式中幾種常見題型剖析

    2014-11-24 11:07董文娟
    考試周刊 2014年82期
    關(guān)鍵詞:基本不等式構(gòu)造定值

    董文娟

    摘 要: 不等式在高考試題中占有非常重要的地位,與其他數(shù)學(xué)知識存在密切聯(lián)系,在近幾年的高考中是考查熱門。如何用好基本不等式,學(xué)生需要理解并掌握三個原則:一正二定三相等,并能在解題中靈活運(yùn)用,特別是“等”的檢驗(yàn).

    關(guān)鍵詞: 基本不等式 最值 定值 構(gòu)造

    近年基本不等式在求函數(shù)的最值、求參數(shù)范圍的過程中頻頻出現(xiàn),且形式靈活,是重點(diǎn);指對不等式、絕對值不等式、含參不等式成為小題中的考查熱點(diǎn);函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合題中不等式結(jié)合參數(shù)討論是永恒的主題,包括在圓錐曲線中不等式也是無處不在.根據(jù)新課標(biāo)的要求,本節(jié)重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法理解基本不等式,并能從不同的角度探索基本不等式的證明過程,難點(diǎn)主要是讓學(xué)生明白如何運(yùn)用基本不等式求最值.下面結(jié)合課本中的例題及課后習(xí)題,給出以下幾種常見題型的解析.

    一、直接利用基本不等式求解最值

    例1:已知x>0,y>0,且2x+5y=20,求lgx+lgy的最大值.

    思路分析:由于lgx+lgy=lgxy,因此只需尋找xy的最大值即可.

    解:∵x>0,y>0,由基本不等式可得2x+5y≥2■,

    ∴xy≤10,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=■時取到等號.

    ∵lgx+lgy=lgxy≤lg10=1,∴l(xiāng)gx+lgy的最大值為1.

    變式1:已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.

    思路分析:由基本不等式ab≤(■)■,可知2xy≤(■)■,因此x+2y+2xy=8可構(gòu)造出關(guān)于x+2y的二次不等式.

    解:∵2xy≤(■)■,∴x+2y+2xy≤(x+2y)+(■)■,

    即(x+2y)+(■)■≥8.又∵x>0,y>0,解得x+2y≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=2,y=1,∴x+2y的最小值為4.

    二、構(gòu)造和或積為定值,再利用不等式求解最值

    例2:已知0

    思路分析:由基本不等式ab≤(■)■可知,需構(gòu)造某個和為定值,可考慮把括號內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù).

    解:∵00.

    ∴y=x(1-3x)=■·3x(1-3x)≤■[■]■=■,

    當(dāng)且僅當(dāng)3x=1-3x,即x=■時,等號成立.∴x=■時,函數(shù)取得最大值■.

    變式1:當(dāng)x>-1時,求f(x)=x+■的最小值.

    思路分析:因?yàn)閤>-1可得x+1>0,變x=x+1-1時構(gòu)造出x+1與■的積為常數(shù).

    解:∵x>-1,∴x+1>0.∴f(x)=x+■=x+1+■-1≥2■-1=1.

    當(dāng)且僅當(dāng)x+1=■,即x=0時,取得等號.∴f(x)■=1.

    三、利用“1”的代換構(gòu)造出和的定值

    例3:已知x>0,y>0,且■+■=1,求x+y的最小值.

    思路分析:要求x+y的最小值,由基本不等式a+b≥2■,應(yīng)構(gòu)建某個積為定值,這需要對條件進(jìn)行必要的變形,所以利用“1”的代換是本題型基本的方法.

    解:∵■+■=1,∴x+y=(x+y)·(■+■)=10+■+■.

    ∵x>0,y>0,∴■+■≥2■=6.當(dāng)且僅當(dāng)■=■,即y=3x時,取等號.

    又■+■=1,∴x=4,y=12.∴當(dāng)x=4,y=12時,x+y取得最小值16.

    變式1:設(shè)x,y是正實(shí)數(shù),且x+y=1,求■+■的最小值.

    思路分析:由于x+y=1,發(fā)現(xiàn)兩個分式的分母相加(x+2)+(y+1)=3,因此本題可轉(zhuǎn)化為例3同類型題目.

    解:令m=x+2,n=y+1,則m+n=4,x=m-2,y=n-1

    ∴■+■=■+■=m+n-6+■+■=■+■-2.

    又∵m+n=4,∴(■+■)(m+n)×■=■(5+■+■)≥■(5+2■)=■

    當(dāng)且僅當(dāng)■=■,即m=■,n=■時,即x=■,y=■時,∴■+■的最小值為■.

    變式2:設(shè)0

    思路分析:由于■+■≥k恒成立,只需求■+■的最小值即可.

    解:∵00,

    ∴■+■=(2m+1-2m)(■+■)=4+■+■.

    又∵■+■≥4,當(dāng)且僅當(dāng)m=■時取得等號,

    ∴■+■的最小值為8,∴k≤8,即得k的最大值為8.

    四、基本不等式的應(yīng)用

    例4:若x,y,z>0,證明:(x+y)(x+z)(y+z)≥8xyz.

    思路分析:由基本不等式可知x+y≥2■,同理可得x+z≥2■,y+z≥2■,所得不等式可證.

    解:由基本不等式可得x+y≥2■,x+z≥2■,y+z≥2■.

    由不等式性質(zhì)可得(x+y)(x+z)(y+z)≥8■■■,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z取得等號即得(x+y)(x+z)(y+z)≥8xyz.

    變式1:若x,y,z>0,且x+y+z=1,證明:(1-x)(1-y)(1-z)≥8xyz.

    思路分析:由題意可知x+y+z=1,可得1-x=y+z,1-y=x+z,1-z=x+y,結(jié)合例4的證明可得結(jié)論.

    解:∵x+y+z=1,∴1-x=y+z,1-y=x+z,1-y=x+z,1-z=x+y,

    所以(1-x)(1-y)(1-z)=(y+z)(x+z)(x+y)≥8xyz,

    當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z取得等號,所以得證.

    變式2:若0

    思路分析:觀察目標(biāo)式子的分子可得m+n+(1-m-n)=1,式子暗含變式1中的條件.

    解:令x=m,y=n,z=1-m-n,從而有x+y+z=1.

    并有m+n=1-z,1-m=1-x,1-n=1-y,

    所以原式■轉(zhuǎn)化為■.

    由(1-x)(1-y)(1-z)≥8xyz,得到■≤■,

    當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1-m-n取得等號,即m=n=■時取到等號,

    從而得到■的最大值為■.

    由以上幾個典例分析可知,對于很多函數(shù)求最值問題,我們都可以直接運(yùn)用基本不等式或者構(gòu)造出和或積為定值再利用基本不等式進(jìn)行求解,但是必須遵循基本不等式的三個原則:一正二定三相等,否則通過函數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行求解.

    參考文獻(xiàn):

    [1]張振華,李平.如何求基本不等式的最值[J].第二課堂(高中),2010(12).

    [2]周倦寶,黃愛民.運(yùn)用基本不等式解題常見問題對策[J].第二課堂(高中版),2008(02).

    [3]張書樓.正確運(yùn)用基本不等式[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2009(11).

    [4]王新星.利用基本不等式求最值六個策略[J].新高考(高一版),2009(05).

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