平面幾何最值問(wèn)題解法探析

趙庭標(biāo)

【摘要】平面幾何中最值問(wèn)題綜合性強(qiáng)、能力要求高.解題時(shí)要善于運(yùn)用特殊與一般、轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用特殊位置法、軸對(duì)稱法、平移法、旋轉(zhuǎn)法、構(gòu)造三角形法、判別式法、配方法等各種數(shù)學(xué)方法，找到幾何最值取得時(shí)的位置;或?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化成基本最短路徑模型;或建立方程、函數(shù)模型，再求解.

【關(guān)鍵詞】平幾最值;解題策略;思想方法

近年來(lái)，中考對(duì)平面幾何最值問(wèn)題的考查呈現(xiàn)出最值模式的多樣化和綜合化，題型也由選擇、填空題向解答題變化.本文結(jié)合近幾年中考試題，將蘊(yùn)涵在其中的各種最值問(wèn)題顯現(xiàn)出來(lái)，并探析一些常見(jiàn)最值問(wèn)題的解題方法.

一、運(yùn)用特殊與一般的思想—找到幾何最值取得時(shí)的位置

1. 特殊位置法

特殊位置法就是利用幾何特征找到幾何最值取得時(shí)的位置，然后再求.

例1 如圖1，已知點(diǎn)P是半徑為1的⊙A上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AP到C，使PC=AP，以AC為對(duì)角線作ABCD.若AB=3，則ABCD面積的最大值為

解析 如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，則ABCD的面積為AB×CE，因?yàn)锳B是定值，要使其面積最大，須使CE最大，而CE≤AC，由已知條件可知AC=2，所以CE的最大值為2，ABCD的面積最大值為23.此時(shí)CE與CA重合，AB⊥AC.

本題是運(yùn)用以退求進(jìn)的辦法，找到最值取得時(shí)的特殊位置.有時(shí)要找特殊點(diǎn)、特殊圖形等尋找突破口.

二、運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想—將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成基本的最短路徑模型

1. 軸對(duì)稱法

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可通過(guò)作出定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)來(lái)剖析動(dòng)點(diǎn)的位置，稱這種方法叫軸對(duì)稱法.

例2 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.頂點(diǎn)B 的坐標(biāo)為（3，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為12，0，點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為（ ）.

A.132 B.312 C.3+192 D.27

解析 如圖4，作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD交OB于P，連接AP，過(guò)D作DN⊥OA于N，則此時(shí)PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD，∵B（3，3），∴AB=3，OB=23，由三角形面積公式得：AM=32，∴AD=2×32=3，∴AN=12AD=32，由勾股定理得：DN=323，∵C12，0，∴CN=3-12-32=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC= 12+3232=312，即PA+PC的最小值是312.

本題是過(guò)定點(diǎn)作一條定直線的一次對(duì)稱，通過(guò)軸對(duì)稱將直線“同側(cè)”的兩點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”的兩點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是求出P點(diǎn)的位置，有時(shí)要過(guò)定點(diǎn)作兩條定直線的兩次對(duì)稱

2.平移法

平移法就是根據(jù)需要，在平面內(nèi)把一個(gè)圖形沿著一定的方向移動(dòng)一定的距離.通過(guò)平移，將無(wú)公共端點(diǎn)的兩條線段轉(zhuǎn)化為有公共端點(diǎn).

例3 如圖5，已知直線a//b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB=230.試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長(zhǎng)度和最短，則此時(shí)AM+NB=（ ）.

A.6B.8C.10D.12

解析 本題是途經(jīng)一條線段的兩點(diǎn)之間最短路程問(wèn)題，由于MN表示直線a與直線b之間的距離，是定值，由此只要滿足AM+NB的值最小即可，AM、BN是兩條沒(méi)有公共端點(diǎn)的線段，我們可以通過(guò)平移把它們接起來(lái)，形成“兩點(diǎn)之間線段最短”基本模型.如圖6，把點(diǎn)A沿垂直于直線a的方向向直線b平移4（等于MN的長(zhǎng)）到點(diǎn)A′，接下來(lái)只要在b上找一點(diǎn)N，使A′N+NB最短即可.因?yàn)榘腰c(diǎn)A沿垂直于直線a的方向向直線b平移4（等于MN的長(zhǎng)）到點(diǎn)A′，其實(shí)就是把AM平移到A′N的位置.因?yàn)辄c(diǎn)A到直線a的距離為2，所以點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′也是點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)，所以本題也可以用對(duì)稱法解決.

此例通過(guò)平移變換，將平行線“外側(cè)”的兩點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行線“內(nèi)側(cè)一點(diǎn)”和“外側(cè)一點(diǎn)”的問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”基本模型.

3.旋轉(zhuǎn)法

旋轉(zhuǎn)法是一種用旋轉(zhuǎn)變換來(lái)解題的方法.此法主要應(yīng)用在以下兩個(gè)方面：一是在題設(shè)

條件和結(jié)論關(guān)系不明顯或條件不易集中利用的情形下，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，起到鋪路架橋的作用;二是圖形錯(cuò)綜復(fù)雜，但圖形中的量與量之間的關(guān)系多，這時(shí)也可以看能否使用旋轉(zhuǎn)法，移動(dòng)部分圖形，使題目中隱藏的關(guān)系明朗起來(lái)，從而找到解題途徑.

例4 在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△A1BC1.如圖7，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P₁，直接寫出線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值.

解析 如圖7，因?yàn)锽E是定值，根據(jù)“垂線段最短”，所以過(guò)點(diǎn)B 作BD⊥AC，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D時(shí)，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最?。鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)到A1C1⊥AB時(shí)，此時(shí)A1C1與AB的交點(diǎn)P1到點(diǎn)E距離最?。?如圖8，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP₁最大（逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到BC₁與AB在同一條直線上時(shí)，即點(diǎn)A，B，C₁共線時(shí)，此時(shí)P1到點(diǎn)E距離最大），即可求得線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值，分別為8和 1.

此例用到了“垂線段最短”這個(gè)基本模型，這里是通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，找到最值取得時(shí)的特殊位置.

三、運(yùn)用模型思想—建立方程、函數(shù)模型

1.判別式法

當(dāng)一個(gè)問(wèn)題是確定圖形之間的特殊位置關(guān)系或者一些特殊的值時(shí)，通常利用幾何圖形的性質(zhì)，建立一元二次方程模型，用根的判別式求解.

例5 如圖9，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，當(dāng)M，N分別在BC，CD上，使得△CMN的周長(zhǎng)為2，則△AMN的面積的最小值為

解析 如圖10，延長(zhǎng)CB至L，使BL=DN，則Rt△ABL≌Rt△ADN，故AL=AN，又∵CM+CN+MN=2，CN+DN+CM+BM=1+1=2，∴MN=DN+BM=BL+BM=ML，進(jìn)而求證△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°設(shè)CM=x，CN=y，MN=z，根據(jù)x2+y2=z2，和x+y+z=2，得（2-y-z）2+y2=z2，整理得 2y2+（2z-4）y+（4-4z）=0.由△=4（z-2）2-32（1-z）≥0，得（z+2-22）（z+2+22）≥0，又因?yàn)閦>0，所以z≥22-2，此時(shí)，s△AMN=S△AML=12ML·AB=12Z，因此，當(dāng)z=22-2時(shí)，s△AMN取得最小值2-1.

2.配方法

當(dāng)一個(gè)問(wèn)題是確定有關(guān)圖形的變量之間的關(guān)系時(shí)通常建立函數(shù)模型通過(guò)配方求解.

例6 如圖11，直線l與半徑為4的⊙O相切于點(diǎn)A，P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)P作PB⊥l，垂足為B，連接PA.設(shè)PA=x，PB=y，則（x-y）的最大值是

.

解析：本題若用幾何方法，通過(guò)幾何模型，用幾何的手段對(duì)動(dòng)點(diǎn)的位置展開研究很難找到解題突破口，我們不妨考慮用代數(shù)的方法，利用函數(shù)的有限區(qū)間或二次函數(shù)性質(zhì)求最值.如何用函數(shù)的手段刻畫“線長(zhǎng)”的解析式呢？如圖12，由題意，作直徑AC，連接CP，得出△APC∽△PBA，利用APAC=BPAP得出y=18x2，所以x-y=x-18x2=-18x2+x=-18（x-4）2+2.

當(dāng)x=4時(shí)，x-y有最大值是2.

通過(guò)以上各例的剖析我們不難發(fā)現(xiàn)平面幾何中最值問(wèn)題形式較多，但大致可分為求線段的長(zhǎng)度、角的度數(shù)、圖形的面積這三類，解題方法也比較多，概括起來(lái)主要是運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想、模型思想、特殊與一般的思想.如“最短距離問(wèn)題”，我們?cè)谘芯繒r(shí)常常利用軸對(duì)稱、平移等變換，將諸多如“將軍飲馬問(wèn)題”、“造橋選址問(wèn)題”、三角形周長(zhǎng)最小、四邊形周長(zhǎng)最小等問(wèn)題轉(zhuǎn)化成基本最短路徑模型（點(diǎn)與點(diǎn)的距離或點(diǎn)與線的距離），還有一些幾何最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題去解決，其關(guān)鍵是根據(jù)幾何性質(zhì)建立關(guān)系式，利用完全平方公式、一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)性質(zhì)從數(shù)與形結(jié)合的角度求解.有時(shí)要注意取值范圍的限制.這也可以說(shuō)是一種“模型思想”;另一種是根據(jù)特殊與一般的思想，利用幾何特征找到幾何最值取得時(shí)的位置，然后再求.常見(jiàn)的幾何最值模型有：兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短、三角形三邊關(guān)系、平行線間的距離最短，直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，弧的中點(diǎn)到弧所對(duì)弦的距離最長(zhǎng)等.對(duì)于個(gè)別特殊的幾何最值問(wèn)題，可根據(jù)周長(zhǎng)與面積的關(guān)系，利用以下兩個(gè)重要結(jié)論求解：邊數(shù)相同周長(zhǎng)相等的多邊形中以正多邊形的面積最大.反過(guò)來(lái)，面積相等的平面圖形中以圓的周長(zhǎng)最小.

【參考文獻(xiàn)】

[1]馬小為.中學(xué)數(shù)學(xué)解題思想方法技巧[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2009.

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