漫談數(shù)學有何特點

趙登虎

【摘要】本文概括了數(shù)學內(nèi)容抽象性、思想辯證性、語言符號性、推理嚴密性和應(yīng)用廣泛性五個特點，通過研究數(shù)學的特點有助于我們更好了解數(shù)學及應(yīng)用數(shù)學.

【關(guān)鍵詞】抽象性;辯證性;符號性;嚴密性;廣泛性

聯(lián)合國教科文組織確定的七大基礎(chǔ)學科之首是數(shù)學，克勞塞維茨在《戰(zhàn)爭論》一書中指出戰(zhàn)爭的五大要素中數(shù)學就是其一，說明數(shù)學的重要性！數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系或空間形式的科學，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學語言和有效工具.數(shù)學有何特點呢？通過研究數(shù)學的特點有助于我們更好了解應(yīng)用數(shù)學.

一、數(shù)學內(nèi)容的抽象性

唯物辯證法認為，客觀世界的任何事物都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體.數(shù)學也不例外，她是為了從純粹的數(shù)量關(guān)系或空間形式去研究、反映客觀世界，就不得不把事物具體的內(nèi)容暫時拋開，僅僅保留“數(shù)”和“形”及其聯(lián)系，這就決定了其內(nèi)容具有高度抽象性特點.恩格斯指出的，數(shù)學“為了能夠從純粹的狀態(tài)中研究這些形式和關(guān)系，必須使它們完全脫離自己的內(nèi)容，把內(nèi)容作為無關(guān)重要的東西放在一邊”，而“以極度抽象的形式出現(xiàn)”.隨著數(shù)學的發(fā)展，它的原理、概念越來越概括，結(jié)構(gòu)越來越嚴密，體系越來越濃縮，從而使它越來越抽象.例如，在數(shù)的概念的擴充中，引入負數(shù)建立有理數(shù)概念，引入無理數(shù)建立實數(shù)概念，引入虛數(shù)建立復(fù)數(shù)概念等.

二、數(shù)學思想的辯證性

恩格斯指出：“數(shù)學是辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式”，“變數(shù)的數(shù)學……本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學方面的運用”.這就是說，在數(shù)學中辯證法表現(xiàn)的比較充分、豐富，比較典型、深刻.首先，在數(shù)學中，矛盾的辯證法是極其豐富的.馬克思主義哲學告訴我們，對立統(tǒng)一規(guī)律，即矛盾辯證法是辯證法的實質(zhì)和核心.用這個觀點觀察數(shù)學就容易發(fā)現(xiàn)，整個數(shù)學，處處都有典型的、深刻的矛盾辯證法.例如，在我們要學習的微積分中，除了自始至終貫穿著微分與積分的矛盾外，還有常數(shù)與變數(shù)的矛盾等等.可見，沒有矛盾就沒有數(shù)學;否認了矛盾，也就否認了數(shù)學.其次，數(shù)學體現(xiàn)辯證法的特點比較典型.恩格斯所說，辯證法是“關(guān)于普遍聯(lián)系的科學”，數(shù)學則非常典型的體現(xiàn)辯證法這個重要的特征.學數(shù)學，前面的內(nèi)容不學，后面的內(nèi)容就無法學.用公理方法建立的數(shù)學體系，猶如積木，它一級一級，逐級往上;它一層一層，層次清楚;它一環(huán)扣一環(huán)，環(huán)環(huán)扣的很緊;它的每一個概念、原理和命題，都是一個有機體中不可缺少的組成部分;我們無論抓住那一個環(huán)節(jié)，就可以順藤摸瓜，往前，能追溯到它的出發(fā)點，往后，能推導(dǎo)出整個體系.

三、數(shù)學語言的符號性

全面而又系統(tǒng)地使用符號，是數(shù)學又一顯著特點.數(shù)學不僅有數(shù)字符號和運算符號，而且有一系列的關(guān)系符號;不僅有許許多多的專用符號，而且有許多輔助符號.伽利略說：“宇宙這本書是用數(shù)學語言寫成的.除非你首先學懂了它的語言，否則這本書是無法讀懂的”.愛因斯坦說：“牛頓第一個成功地找到了一個用公式清楚表述的基礎(chǔ)，從這個基礎(chǔ)啟發(fā)他用數(shù)學的思維，邏輯地、定量地演繹出范圍很廣的現(xiàn)象并且同經(jīng)驗相符號”.數(shù)學語言之所以需要符號，是因為： 一是計算的要求，數(shù)學雖然不等于計算，但是數(shù)學有相當一部分內(nèi)容離不開計算，要計算，不僅需要計算的工具，而且得有計算的符號.二是邏輯推理的需要，因為數(shù)學除了作計算以外，還作邏輯推理.要對抽象的概念、命題和關(guān)系作由此及彼的推理，就不得不用符號去表示他們，否則邏輯推理無法生行，從而不可能有數(shù)學理論.三是數(shù)學形式簡化的最好途徑.數(shù)學作為工具，當然越簡單明了，越能使人容易掌握越好.

四、數(shù)學推理的嚴密性

列寧指出：“任何科學都是應(yīng)用邏輯”.如果說任何一門科學都離不開邏輯，那末數(shù)學則更是使用邏輯的典型.清數(shù)學家李善蘭：數(shù)學是“由易而難，若階級之漸升”.我們知道，一個數(shù)學命題，它在數(shù)學中能否成立，并不是取決于實驗證明，而是取決于邏輯推理.但作為數(shù)學中的命題，必須是用邏輯論證方式嚴格地證明了的時候，才能在數(shù)學中成立.因為：一是數(shù)學高度抽象的原故;二是數(shù)學中不少命題的提出，只能用邏輯論證的方法證明它們成立，則成為數(shù)學中的定理;三是嚴格的邏輯論證，也是保證數(shù)學命題正確的方法;四是嚴格的邏輯論證，常?？梢垣@得一些在實踐中尚未提出的問題，使數(shù)學走在實踐的前面，為實踐開辟道路.這是數(shù)學發(fā)展不可缺少的手段.

數(shù)學嚴密的邏輯論證結(jié)果，使它的結(jié)論極為確定，主要表現(xiàn)在：數(shù)學由證明（包括計算）得出的結(jié)論總是確定的;凡是數(shù)學中的定理，全是靠得住的，令人非常信服的，數(shù)學中的一切結(jié)論，并不因數(shù)學的發(fā)展而過時.

五、數(shù)學應(yīng)用的廣泛性

數(shù)學應(yīng)用廣泛性是它的第一個特點高度的抽象性的邏輯結(jié)果.越是抽象的東西，應(yīng)用越廣泛.拿破侖 ：“數(shù)學的發(fā)展與至善和國家的繁榮昌盛密切相關(guān).”愛因斯坦說：“只有微分定律的形式才能完全滿足近代物理學家對因果性的要求，微分定律的明晰概念是牛頓最偉大的理智成就之一”.數(shù)學應(yīng)用范圍僅僅次于哲學.根據(jù)馬克思的思想，任何“一門科學，只有當它達到了能運用數(shù)學的時候，才算真正的發(fā)展了.”所以用數(shù)學去武裝各門自然科學和各種技術(shù)科學，是這些科學向更高階段發(fā)展所必需的.在科學發(fā)展史上，數(shù)學是由實驗科學進入理論科學所必須的工具，比如，牛頓把他的微積分方法應(yīng)用于研究力學，使力學面貌為之一新.今天高度發(fā)展的數(shù)學已經(jīng)開始深入到各門科學領(lǐng)域，開始了科學數(shù)學化的新時代.

【參考文獻】

[1]趙樹嫄.微積分[M].北京：中國人民大學出版社，2007.