這樣用微積分求解圓錐的側(cè)面積為什么不對

趙翠英　張冰濤

【摘要】圓錐的體積和側(cè)面積公式在中小學就已經(jīng)學習了，大家對它也很熟悉.下面從微積分的角度推導它的公式，通過這一實例意在說明在利用微積分解決實際問題時應該注意的事項.它的本質(zhì)是把實際問題化為定積分問題的一種方法，在物理學、力學和工程技術(shù)上廣泛采用.

【關(guān)鍵詞】微元；定積分；高階無窮小

如圖所示的圓錐：底面半徑為r，圓心為O，高為h，母線為L.現(xiàn)用無數(shù)個平行于底面的平面截取圓錐，得到無數(shù)個圓臺.設圓臺的高為dx.當dx很小時將圓臺視為圓柱，得到在離底面高x處的圓柱的體積：

上面的結(jié)果與我們已知的公式相比較，便知求得的體積是對的，而側(cè)面積是錯的.為什么用的方法相似，而得到的結(jié)果卻是一個對而另一個錯了呢？

下面是張志軍在《微元法在利用定積分解決實際問題中所起的作用》中，（互聯(lián)網(wǎng)上）從“微元法”的角度對這一問題的闡述：

將底半徑為r，高為h的正圓錐的側(cè)面，看作是由xOy平面上的直線y=kxk=r[]h繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的，為了求其體積V，先求體積微元dV=πk2x2dx，即當dx很小時將圓臺視為圓柱，故V=πk2∫h0x2dx=1[]3πr2h.

若求側(cè)面積S時，也將小圓臺視為圓柱，那么得到的側(cè)面積微元將是dS=2πkxdx，從而S=πrh.

上面的結(jié)果與我們已知的公式相比較，便知求得的體積是對的，而側(cè)面積是錯的.為什么用的近似的方法，而得到的結(jié)果卻是一個對而另一個錯了呢？

關(guān)鍵在于所找的微元是不是待求量A的微分dA，即ΔA-dA是不是比dx高階的無窮小，這一步是必須檢查的.

1.關(guān)于體積有

因此dV的確是V的微分，故積分的結(jié)果符合實際.

2.關(guān)于側(cè)面積，我們利用中學數(shù)學中關(guān)于圓弧的長和圓扇形的面積公式，可求得小圓臺的側(cè)面積為

容易看出，這個差不是高階無窮小量（當dx→0）.故上述dS不是S的微分，積分得出結(jié)果當然不對了.從（1）式可以看出，S的微分應當是dS=2πkx1+k2d這個結(jié)果才是正確的.通過這個問題的分析，主要是加深我們對“微元法”的理解.關(guān)鍵是所得到的微元一定要是待求量的微分，然后再積分，才不會錯.

張志軍通過微元法和嚴格的計算找出了錯誤，下面我從利用定積分解決實際問題時的積分對象、積分路徑來證明這一問題.

難道不能用小圓柱的側(cè)面積近似小圓臺的側(cè)面積嗎？

有的資料上說：雖然dl→0，dh→0，但dh不是dl的線性近似，所以不能相互代替.這一說法不準確，不能揭示出事物的本質(zhì)特性.為什么求側(cè)面積時，不能用dh代替dl？從計算結(jié)果上看：兩者存在著數(shù)量關(guān)系dl=lrdh，但兩者都是極小量，為什么不能相互代替？如果單從計算結(jié)果上比較很難解釋清楚，還得從體積、面積的本質(zhì)上來考慮.

1.體積是面積在高上的連續(xù)疊加，上例中，小圓臺、小圓柱的高相同.

2.圓錐側(cè)面積是周長在母線L上的不斷疊加，而非在高上的疊加.（求體積與側(cè)面積時的積分對象或積分路徑不同，V→h，S→l）所以圓錐側(cè)面積的積分式為：

我們可以用生活中的一個實例來說明：試想用一寬度為a（a→0）的細膠帶纏繞圓錐側(cè)面，每一匝都與底面平行，一共能纏繞多少匝？顯然是la匝（貼在側(cè)面上），非ha匝.（與側(cè)面成了θ角，θ=arcsinrl）