區(qū)間數(shù)運算法則的研究

董媛媛

【摘要】區(qū)間數(shù)作為一類特殊的模糊數(shù)，其性質(zhì)和運算法則在很多文獻中進行了討論，根據(jù)前人所做的大量的有關(guān)區(qū)間數(shù)運算法則的基礎(chǔ)的研究在此對其運算法則做了系統(tǒng)的研究.

【關(guān)鍵詞】區(qū)間數(shù)；運算法則

【中圖分類號】O159 【文獻標識碼】A

一、引 言

區(qū)間作為實數(shù)的集合在經(jīng)典數(shù)學(xué)中已有明確的含義.近年來隨著模糊數(shù)學(xué)這門新學(xué)科的興起，在其理論完善的諸多方面都用到了有關(guān)區(qū)間模糊數(shù)的四則運算，如利用區(qū)間數(shù)的排序進行的模糊決策，還有在模糊規(guī)劃中將模糊規(guī)劃轉(zhuǎn)化為區(qū)間規(guī)劃來解決等等，而目前對區(qū)間數(shù)的運算法則描述種種，很多學(xué)者提出了廣義區(qū)間數(shù)、正區(qū)間數(shù)、負區(qū)間數(shù)、零區(qū)間數(shù)、標準區(qū)間數(shù)、虛區(qū)間數(shù)等等不同的概念，以便使有關(guān)區(qū)間數(shù)的運算表達式更為簡潔實用.本文將諸多學(xué)者對有關(guān)區(qū)間數(shù)的運算法則做一個系統(tǒng)的研究.

二、區(qū)間數(shù)的運算法則

在文獻[1]中給出了區(qū)間數(shù)的定義：I=[a，b]={x|a≤x≤b，a，b∈R}叫作一個區(qū)間數(shù)，并且給出了區(qū)間數(shù)的運算公式：

這里對0[c，d]時[a，b]÷[c，d]沒有定義，而且在一般情況下分配律是不成立的，加法與減法、乘法與除法不再像實數(shù)的四則運算那樣是互逆的運算.

文獻[2]在區(qū)間數(shù)加法、減法、乘法、除法運算的基礎(chǔ)之上推導(dǎo)出了區(qū)間數(shù)的乘方與開方運算，并給予了嚴格的證明，從而豐富了區(qū)間數(shù)的運算性質(zhì).文獻[2]中關(guān)于區(qū)間數(shù)的加法、減法、乘法、除法同文獻[1].下面直接以兩個定理的形式給出區(qū)間數(shù)的乘方與開方運算：

定理1（區(qū)間數(shù)的乘方運算）：n∈N，[a，b]n=[min{an，bn}，max{an，bn}]，特別的，當a≥0時，n∈N，[a，b]n=[an，bn].

定理2（區(qū)間數(shù)的開方運算）：n∈N，n[][a，b]=[n[]a，n[]b]，a>0.

定理的證明可以參考文獻[2]，在該文獻中還給出了區(qū)間數(shù)乘方與開方運算的應(yīng)用.

文獻[3]給出了廣義區(qū)間數(shù)的定義：將實數(shù)集b]，[a，[a|b]和[a，b]稱為廣義區(qū)間數(shù)，其中[a=limb→+∞[a，b]，b]=lima→-∞[a，b]，[a|b]=b]Y[a，且有當a≤b時有[a|b]=R，以及定義了同符號的廣義區(qū)間數(shù)、不同符號的廣義區(qū)間數(shù)、有限的廣義區(qū)間數(shù)和無窮的廣義區(qū)間數(shù)，在此基礎(chǔ)上給出了廣義區(qū)間數(shù)的四則運算，由于廣義區(qū)間數(shù)的加法、減法的運算較簡單，故在此結(jié)合文獻[4]直接以幾個定理的形式給出廣義區(qū)間數(shù)的乘、除法的直接表示法：

定理3（廣義區(qū)間數(shù)的乘法運算）：

1）若A為一個同符號的廣義有限區(qū)間數(shù)，則：

交換A，B的位置即可得b≤0，c≥0時的情況以及采用取極限的方法便可以得到無窮時的情況，其他結(jié)論可以參考文獻[3]的兩個推論.

2）若A，B為不同號廣義區(qū)間數(shù)時，則

定理4（廣義區(qū)間數(shù)的除法運算）：

文中還定義了廣義逆元，用四個定理給出了廣義區(qū)間數(shù)的逆運算，這也大大豐富了區(qū)間數(shù)的運算為解區(qū)間數(shù)方程奠定了理論基礎(chǔ).

在上述提到的有關(guān)區(qū)間數(shù)的運算法則中我們發(fā)現(xiàn)其加法與減法不是互逆的，乘法與除法也不是互逆的，為了適應(yīng)實際應(yīng)用的需要和更加完善區(qū)間分析理論及模糊數(shù)學(xué)理論，因此我們就有必要提出一種更適宜的運算規(guī)則，基于此文獻[5]引入了虛區(qū)間、區(qū)間模以及廣義區(qū)間數(shù)的概念，文中將虛區(qū)間和實區(qū)間統(tǒng)稱為廣義區(qū)間.它以幾個命題的形式給出了區(qū)間數(shù)的運算性質(zhì)并給予了證明.文中還定義了區(qū)間數(shù)的另外一種運算：區(qū)間數(shù)的取大取小運算以及區(qū)間數(shù)的模運算.

文獻[6]在回顧了泛灰數(shù)的四則運算法則的基礎(chǔ)上給出了區(qū)間數(shù)的標準表示，并論述了標準區(qū)間數(shù)的四則運算法則與泛灰數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系及其應(yīng)用前景.在此就直接給出標準區(qū)間數(shù)的標準計算方法：

容易證明標準區(qū)間數(shù)的標準計算方法與一般區(qū)間數(shù)的運算法則是等價的，而且其加法與減法、乘法與除法分別是互為逆運算的，這又大大擴大了區(qū)間數(shù)的運算功能.

文獻[7]鑒于許多有關(guān)區(qū)間數(shù)的運算的性質(zhì)中加法與減法、乘法與除法都不是互逆的運算，故在此以定義的方式給出了區(qū)間數(shù)的逆運算定義分別為：第二類加法運算、第二、三類減法運算、第二類乘法運算以及第二、三類乘法運算，并將這些運算性質(zhì)應(yīng)用于求解一些簡單的區(qū)間數(shù)方程.

【參考文獻】

[1]賀仲雄.模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M].天津科學(xué)技術(shù)出版社， 1984：76-94.

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[3]周俊健，張志海，劉紹英.廣義區(qū)間數(shù)的四則運算[J].河北煤炭建筑工程學(xué)院學(xué)報， 1996 （2）： 51-55.

[4]劉紹英，張志海，周俊健.廣義區(qū)間數(shù)的四則運算（續(xù)）[J].河北建筑科技學(xué)院學(xué)報， 1997， 14（3）：58-62.

[5]蘇連青，李法朝，仇計清.廣義區(qū)間數(shù)及其運算[J].河北輕化工學(xué)院學(xué)報， 1997， 18（1）：11-14.

[6]王清印，呂瑞華.區(qū)間數(shù)的標準表示及其四則運算法則與泛灰數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識， 2005， 35（6）：216-221.

[7]謝季堅，劉承平.模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社，2000：169-254.