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    區(qū)間數(shù)運算法則的研究

    2015-05-30 13:48:38董媛媛
    關(guān)鍵詞:開方乘方廣義

    董媛媛

    【摘要】區(qū)間數(shù)作為一類特殊的模糊數(shù),其性質(zhì)和運算法則在很多文獻中進行了討論,根據(jù)前人所做的大量的有關(guān)區(qū)間數(shù)運算法則的基礎(chǔ)的研究在此對其運算法則做了系統(tǒng)的研究.

    【關(guān)鍵詞】區(qū)間數(shù);運算法則

    【中圖分類號】O159 【文獻標識碼】A

    一、引 言

    區(qū)間作為實數(shù)的集合在經(jīng)典數(shù)學(xué)中已有明確的含義.近年來隨著模糊數(shù)學(xué)這門新學(xué)科的興起,在其理論完善的諸多方面都用到了有關(guān)區(qū)間模糊數(shù)的四則運算,如利用區(qū)間數(shù)的排序進行的模糊決策,還有在模糊規(guī)劃中將模糊規(guī)劃轉(zhuǎn)化為區(qū)間規(guī)劃來解決等等,而目前對區(qū)間數(shù)的運算法則描述種種,很多學(xué)者提出了廣義區(qū)間數(shù)、正區(qū)間數(shù)、負區(qū)間數(shù)、零區(qū)間數(shù)、標準區(qū)間數(shù)、虛區(qū)間數(shù)等等不同的概念,以便使有關(guān)區(qū)間數(shù)的運算表達式更為簡潔實用.本文將諸多學(xué)者對有關(guān)區(qū)間數(shù)的運算法則做一個系統(tǒng)的研究.

    二、區(qū)間數(shù)的運算法則

    在文獻[1]中給出了區(qū)間數(shù)的定義:I=[a,b]={x|a≤x≤b,a,b∈R}叫作一個區(qū)間數(shù),并且給出了區(qū)間數(shù)的運算公式:

    這里對0[c,d]時[a,b]÷[c,d]沒有定義,而且在一般情況下分配律是不成立的,加法與減法、乘法與除法不再像實數(shù)的四則運算那樣是互逆的運算.

    文獻[2]在區(qū)間數(shù)加法、減法、乘法、除法運算的基礎(chǔ)之上推導(dǎo)出了區(qū)間數(shù)的乘方與開方運算,并給予了嚴格的證明,從而豐富了區(qū)間數(shù)的運算性質(zhì).文獻[2]中關(guān)于區(qū)間數(shù)的加法、減法、乘法、除法同文獻[1].下面直接以兩個定理的形式給出區(qū)間數(shù)的乘方與開方運算:

    定理1(區(qū)間數(shù)的乘方運算):n∈N,[a,b]n=[min{an,bn},max{an,bn}],特別的,當a≥0時,n∈N,[a,b]n=[an,bn].

    定理2(區(qū)間數(shù)的開方運算):n∈N,n[][a,b]=[n[]a,n[]b],a>0.

    定理的證明可以參考文獻[2],在該文獻中還給出了區(qū)間數(shù)乘方與開方運算的應(yīng)用.

    文獻[3]給出了廣義區(qū)間數(shù)的定義:將實數(shù)集b],[a,[a|b]和[a,b]稱為廣義區(qū)間數(shù),其中[a=limb→+∞[a,b],b]=lima→-∞[a,b],[a|b]=b]Y[a,且有當a≤b時有[a|b]=R,以及定義了同符號的廣義區(qū)間數(shù)、不同符號的廣義區(qū)間數(shù)、有限的廣義區(qū)間數(shù)和無窮的廣義區(qū)間數(shù),在此基礎(chǔ)上給出了廣義區(qū)間數(shù)的四則運算,由于廣義區(qū)間數(shù)的加法、減法的運算較簡單,故在此結(jié)合文獻[4]直接以幾個定理的形式給出廣義區(qū)間數(shù)的乘、除法的直接表示法:

    定理3(廣義區(qū)間數(shù)的乘法運算):

    1)若A為一個同符號的廣義有限區(qū)間數(shù),則:

    交換A,B的位置即可得b≤0,c≥0時的情況以及采用取極限的方法便可以得到無窮時的情況,其他結(jié)論可以參考文獻[3]的兩個推論.

    2)若A,B為不同號廣義區(qū)間數(shù)時,則

    定理4(廣義區(qū)間數(shù)的除法運算):

    文中還定義了廣義逆元,用四個定理給出了廣義區(qū)間數(shù)的逆運算,這也大大豐富了區(qū)間數(shù)的運算為解區(qū)間數(shù)方程奠定了理論基礎(chǔ).

    在上述提到的有關(guān)區(qū)間數(shù)的運算法則中我們發(fā)現(xiàn)其加法與減法不是互逆的,乘法與除法也不是互逆的,為了適應(yīng)實際應(yīng)用的需要和更加完善區(qū)間分析理論及模糊數(shù)學(xué)理論,因此我們就有必要提出一種更適宜的運算規(guī)則,基于此文獻[5]引入了虛區(qū)間、區(qū)間模以及廣義區(qū)間數(shù)的概念,文中將虛區(qū)間和實區(qū)間統(tǒng)稱為廣義區(qū)間.它以幾個命題的形式給出了區(qū)間數(shù)的運算性質(zhì)并給予了證明.文中還定義了區(qū)間數(shù)的另外一種運算:區(qū)間數(shù)的取大取小運算以及區(qū)間數(shù)的模運算.

    文獻[6]在回顧了泛灰數(shù)的四則運算法則的基礎(chǔ)上給出了區(qū)間數(shù)的標準表示,并論述了標準區(qū)間數(shù)的四則運算法則與泛灰數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系及其應(yīng)用前景.在此就直接給出標準區(qū)間數(shù)的標準計算方法:

    容易證明標準區(qū)間數(shù)的標準計算方法與一般區(qū)間數(shù)的運算法則是等價的,而且其加法與減法、乘法與除法分別是互為逆運算的,這又大大擴大了區(qū)間數(shù)的運算功能.

    文獻[7]鑒于許多有關(guān)區(qū)間數(shù)的運算的性質(zhì)中加法與減法、乘法與除法都不是互逆的運算,故在此以定義的方式給出了區(qū)間數(shù)的逆運算定義分別為:第二類加法運算、第二、三類減法運算、第二類乘法運算以及第二、三類乘法運算,并將這些運算性質(zhì)應(yīng)用于求解一些簡單的區(qū)間數(shù)方程.

    【參考文獻】

    [1]賀仲雄.模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M].天津科學(xué)技術(shù)出版社, 1984:76-94.

    [2]歐伯群.Fuzzy數(shù)中區(qū)間數(shù)的乘方與開方[J].廣西教育學(xué)院學(xué)報,2000(4):95-97.

    [3]周俊健,張志海,劉紹英.廣義區(qū)間數(shù)的四則運算[J].河北煤炭建筑工程學(xué)院學(xué)報, 1996 (2): 51-55.

    [4]劉紹英,張志海,周俊健.廣義區(qū)間數(shù)的四則運算(續(xù))[J].河北建筑科技學(xué)院學(xué)報, 1997, 14(3):58-62.

    [5]蘇連青,李法朝,仇計清.廣義區(qū)間數(shù)及其運算[J].河北輕化工學(xué)院學(xué)報, 1997, 18(1):11-14.

    [6]王清印,呂瑞華.區(qū)間數(shù)的標準表示及其四則運算法則與泛灰數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識, 2005, 35(6):216-221.

    [7]謝季堅,劉承平.模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,2000:169-254.

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