格的序結構與代數(shù)結構

米泓穎

【摘要】基于序理論，研究擬序與偏序之間的差異點，探討序結構下的格.根據(jù)格理論中代數(shù)格與偏序格結構的不同點，驗證了半格在偏序結構和代數(shù)結構的等價性.

【關鍵詞】序；格；半格

在GeorgeGrtzer的專著《General Lattice Theory》，《The Congruences of a Finite Lattice》以及陳杰的《格論初步》中得到了以下結果：

結果1 （1）設偏序集L=（L，≤）是格，令a∧b=inf{a，b}，a∨b=sup{a，b}，則代數(shù)La=（L，∧，∨）是格.

（2）設代數(shù)L=（L，∧，∨）是格，令a≤b當且僅當a∧b=a，則LP=（L，≤）是偏序集，也是格.

（3）設偏序集L=（L，≤）是格，則（La）P=L.

（4）設代數(shù)L=（L，∧，∨）是格，則（LP）a=L.

即格的代數(shù)定義與偏序定義是等價的.我自然會想到半格的代數(shù)定義與偏序定義是否一致呢？本文展開此問題討論.

結果2 P為有限序集，a≤b當且僅當a=b或存在元x1，x2，…，xn的有限序列使得a=x11 序結構的格

定理1.1 A為群G所有子群之集，X，Y∈A，集合X≤Y即XY，證明：A，≤是格.

證明 由已知，

（1）X∈A，有XX，即X≤X.

（2）X，Y，Z∈A，X≤Y，Y≤Z，可推XY，YZ，即XYZ，有XZ，得X≤Z.

（3）X，Y∈A，X≤Y，Y≤X，可推XY，YX由集合包含關系有X=Y，故A，≤是偏序集.對X，Y∈A有infX，Y=X∩Y∈A，而supX，Y=X∪Y未必屬于A.由生成子群的性質，令supX，Y為包含X，Y的最小子群H，則子群H∈A.即H=xx∈Xor x∈Y，supX，Y=H生成的最小子群.根據(jù)定理，任意兩元其上、下確界都存在，A，≤是格.

定理1.2 P，≤是偏序集，其中HP有infH存在，證明：P，≤是格.

證明 a，b∈P，令H為a，b所有上界之集，則對h∈H有a≤h，b≤h，由題設存在infH.h1，h2∈H，a≤h1，a≤h2，所以a≤h1∩h2，故a≤infH，同理b≤infH，所以infH是a，b的上界，又因為infH是上界之集H的下確界，即infH是a，b最小上界，即supa，b=infH.a，b∈P，由上述證明supa，b存在，且infa，b存在，故P，≤是格.

2 半格在偏序結構和代數(shù)結構的等價性

定理2.1

（1）令偏序集U=A，≤是并半格，a∨b=supa，b，則Ua=A，∨是半格.

（2）令U=A，∨是半格，a≤b當且僅當，a∨b=b，則UP=A，≤是偏序集，且UP是并半格.

（3）令偏序集U=A，≤是并半格，則UaP=U.

（4）U=A，∨是半格，則UPa=U.

證明 （1）①由于a∨b=supa，b=supb，a=b∨a，滿足交換律.

②又有a∨b∨c=supsupa，b，c，設d=supsupa，b，c，a∨b∨c=supa，supb，c，設d′=supa，supb，c，易見d≥supa，b，c，即d≥a，b，c.因為d≥b，cd≥supb，c，又因為d≥a，所以d≥d′.同理，d′≥a，supb，c即d′≥a，b，c.因為d′≥a，bd′≥supa，b，又因為d′≥cd′≥d，故d=d′，滿足結合律.

③a∈A，易見a=supa，a，即a=a∨a，滿足冪等律.

綜上所述，Ua=A，∨是半格.

（2）①a∈U，a∨a=a，故a≤a，滿足自反性.②若a≤b，又b≤a，即a∨b=b.又b∨a=a，則有a=b，滿足反對稱性.③若a≤b，又b≤c，即a∨b=b，b∨c=c，所以a∨c=a∨b∨c=a∨b∨c=b∨c=c，所以有a≤c，滿足傳遞性.故UP=A，≤是偏序集.

因為a∨b∨a=a∨b，故a≤a∨b，a∨b∨b=a∨b，故b≤a∨b.所以a∨b是a，b一個上界.設d為a，b一個上界，所以d≥a且d≥b即d∨a=d，d∨b=d，故d∨a∨b=d∨a∨b=d∨b=d，所以d≥a∨b，即a∨b為a，b的上確界.故UP是并半格.

（3）若a≤b，a∨b=supa，b=b，即a∨b=b.由（2）知a≤′b即≤≤′.另一方面，若a≤′b，有a∨b=b.由（1）a∨b=supa，b，有supa，b=b，故a≤b，所以≤′≤，得≤=≤′，即UaP=U.

（4）a，b∈A，在UP中a≤b當且僅當a∨b=b，a∨b∨a=a∨b，所以a∨b≥a.a∨b∨b=a∨b，所以a∨b≥b.設d≥a，d≥b，d∨a=d，d∨b=d，d∨a∨b=d∨a∨b=d∨b=d.所以d≥a∨b，故a∨b為a，b在UP中的上確界.所以a，b∈A，a∨b=supa，b.故∨=sup，所以UPa=U.

對偶的，我們可以得到以下結論：

定理2.2

（1）令偏序集U=A，≤是交半格，a∨b=supa，b，則Ua=A，∨是半格.

（2）令U=A，∨是半格，a≤b當且僅當a∧b=a，則UP=A，≤是偏序集，且UP是交半格.

（3）令偏序集U=A，≤是交半格，則UaP=U.

（4）U=A，∧是半格，則UPa=U.

3 序集及其相關性質

擬序定義是滿足偏序定義中的兩項，若使擬序與偏序定義等同，則需要加強其條件.并且以往研究的擬序，偏序都是在其有限的條件下，若在無限的條件下，需要進一步進行定義.

定義 在非空擬序集Q中，a，b∈Q，有a≤b或b≤a，則稱其為擬鏈.

定義 若b≠a使得a≤b≤a，且除去終點的a是一個擬鏈，則稱其為由a開始到a的無限環(huán).

在新的定義下，有如下結論：

定理3.1無限擬序集為一個偏序集當且僅當不存在環(huán).

證明 必要性：若存在環(huán)，則必可以找到一個環(huán)從a開始到a.由無限環(huán)定義b≠a滿足a≤b且b≤a.由擬序定義有a=b，這與無限環(huán)定義矛盾.

充分性：對滿足a≤b且b≤a的a，b，由擬序的兩種情況可知：a=b或者a≠b.

若a=b，結論顯然成立.

a≠b時，由a≤b可知存在一條擬鏈H連接a，b；同理可知，b≤a時，也存在一條擬鏈H′連接b，a.合并兩條擬鏈得到一個從a到a的無限環(huán).事實上，b≠a，使得a≤b≤a，且除去終點的a是一個擬鏈，則找到了環(huán)，矛盾.證明完畢.

【參考文獻】

[1]陳杰.格論初步[M].呼和浩特：內蒙古大學出版社，1990.

[2]方捷.格論引導[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]GRATZER G.General lattice theory[M].ACADEMIC PRESS，NEW YORK，SAN FRANCISCO，1978.

[4]GRATZER G.The Congruences of a Finite Lattice[M].ACADEMIC PRESS，NEW YORK，2006