在數(shù)學課堂中發(fā)展整體意識

金巖

摘要：整體意識是影響學生思維方式，正確、合理地處理問題的重要意識。在實踐中，追尋三重境界：第一，著眼整體，考察聯(lián)系，體悟思想;第二，鳥瞰全局，把握實質(zhì)，突破常規(guī);第三，研究全面，理清脈絡，周密思考。整體意識能促進人素養(yǎng)的整體提升，進而促進人的和諧發(fā)展。

關鍵詞：整體意識;數(shù)學教學;聯(lián)系;實質(zhì);全局

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2015）09A-0072-04

一個人離開學校之后，在學校學習的數(shù)學知識可能很快就會遺忘，但積淀下來的數(shù)學意識可能影響他工作、學習和生活中處理問題的方式和方法。在數(shù)學意識中，整體意識是影響學生思維方式，正確、合理地處理問題的重要意識。碎片化的知識學習往往容易造成學生機械、單一地看問題。長此以往，學生看待問題往往是片面的，缺乏對影響問題的各種因素的聯(lián)系和結構的考察，這樣就不能從整體上把握問題，給問題解決帶來障礙。這潛在地導致學生將來面臨復雜問題時，不能宏觀、整體、系統(tǒng)把握，可能會方向偏離，甚至錯誤地處理問題，造成問題解決的失當和失敗。因此，在小學數(shù)學課堂中，我們就要有意識地發(fā)展學生的整體意識，跳出細枝末節(jié)，用整體、聯(lián)系的眼光研究問題，積累用整體意識解決問題的數(shù)學活動經(jīng)驗，為方法論和思維方式的形成奠定基礎。

目標境界之一：著眼整體，考察聯(lián)系，體悟思想

一次研討課的失敗經(jīng)歷，讓筆者覺醒，并開始反思，再落實到行動。

【案例1】

在四年級的乘法分配律的運用中，有這樣一道題目：56×99+56。教師沒有給學生任何提示，讓學生嘗試探索。

生1：99接近100，把99看作100來乘，再把多算的減去 56×99+56=56×（99+1）-56+56

=56×100-56+56=5544+56=5600。

生2：我把99看作100-1，56×99+56=56×（100-1）+56=56×100-56×1+56

=5600-56+56=5600。

生3：把56看作56×1，56×99+56=56×99+56×1=56×（99+1）=56×100=5600。

師：同學們，你喜歡哪種方法？

生4：我喜歡第一種方法，因為99接近100，就先把它看作100，多算了再減。

生5：把99看成100與1的差，利用乘法分配律進行簡便計算，我覺得第二種方法更好。

生6：第三種方法，把56看成56與1的乘積后，就符合乘法分配律形式，轉(zhuǎn)化為56乘99與1的和，非常簡便，所以我喜歡第三種方法。

學生們各抒己見，最后教師說：“每位同學都有自己喜歡的方法，喜歡哪一種方法就用哪一種方法做吧！”

課后交流時，教師們普遍認為學生們應用乘法分配律的水平參差不齊，教師缺乏引領和提升，不少學生停留于自己的原有認知水平，并沒有獲得應有的發(fā)展。不能不說，這節(jié)課是失敗的。在聽取他們意見的基礎上，筆者進一步反思。

【反思】

尊重學生算法的多樣化，并不意味著不去進行方法的比較與優(yōu)化。作為學習主體的學生，課堂上有發(fā)表自己想法的權利。作為主導的教師，更有責任和義務將學生的算法作為進一步展開教學的資源，從學生真實的起點出發(fā)，引發(fā)各種算法間的碰撞和交流，激發(fā)學生產(chǎn)生新的思考，反思并改進自己的算法，提升運算能力。筆者的問題在于，不但沒有引導學生關注算法的優(yōu)化，更深層次的是缺乏從整體意識的高度關注學生的思考。只從局部孤立地看算式中的一部分“56×99”，應用乘法分配律計算后再與56相加，雖然不乏合理成分，但缺乏對算式結構的整體把握和聯(lián)系思考。當我們整體上來考察算式時，更應當引導學生觀察整個算式中各部分的特征和聯(lián)系，比如，除了發(fā)現(xiàn)“×99”，還應當看到兩個“56”，從而思考結構上的關聯(lián)。另一方面，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系后，對照乘法分配律的結構，我們發(fā)現(xiàn)缺失后能夠?qū)λ闶竭M行構造，這種構造就是一種基于整體觀察的“再創(chuàng)造”。這樣的“再創(chuàng)造”不僅豐富了學生的數(shù)學經(jīng)驗，也使學生認知結構中的乘法分配律的結構具有了開放性和包容性，成為一種容量更大的模塊，更便于提取和應用。

筆者的第二次實踐：

1.出示：在□里填上合適數(shù)，在○里填上運算符號。（題略）

2.讓學生嘗試計算56×99+56后，組織交流算法。

出現(xiàn)的方法與上面相類似，讓學生們比較幾種方法，并說說覺得哪種方法最簡便。

小組交流后，意見趨于統(tǒng)一。這時，教師要求學生體會：為什么第三種方法簡便？它的“過人之處”在哪？

生1：它巧妙地把56寫成一個乘法算式，這樣就符合了乘法分配律的形式，應用乘法分配律后，99與1就湊成了100，計算就很簡便了。

師：你還能舉幾個這樣的例子嗎？

生2：27+27×99

生3：35×98+70

師：咦！這樣的算式還能用乘法分配律使計算簡便嗎？

此時，學生們已是爭先恐后，紛紛嚷著：把70改寫成35×2。

……

【思考】

第二次實踐首先以填空的形式對乘法分配律進行正和反的簡單應用，讓學生熟悉其結構，在頭腦中形成圖式，便于檢索和應用。實踐表明：學生通過觀察完全能調(diào)動起已有的相關數(shù)學經(jīng)驗達成這樣的認識：99個56加1個56，即100個56。再將這種理解與乘法分配律的結構模型實現(xiàn)“對接”，即可實現(xiàn)運算律的靈活應用。從“56”到“56×1”不僅是一種數(shù)與式的變換，更重要的是把握整體、考察算式內(nèi)在的聯(lián)系后，順應運算律結構，實現(xiàn)模型化的一次對數(shù)學思想本質(zhì)的深度體悟。在課堂中，教師不能輕易放棄這種絕好的觸摸數(shù)學本質(zhì)、發(fā)展整體意識的契機。而從“70”到“35×2”又是一次思維跨度上的躍進。無疑著眼整體，考察算式內(nèi)在聯(lián)系，結構化、開放化地應用乘法分配律已成為學生的自覺意識。

無論是在低年級的數(shù)的大小比較、有關數(shù)的運算，還是中年級的其他運算律，筆者都以著眼整體，考察聯(lián)系，體悟思想為目標進行了嘗試，均取得了讓人驚喜的效果。

布魯納等人曾做一實驗，受試學生分為兩組。一組采取整體法的策略，即從整體出發(fā)注意各部分的關系以解決問題;另一組采取部分法的策略，即從部分出發(fā)將各部分總合起來以解決問題。他們的任務是從一系列的卡片中，根據(jù)內(nèi)容的特性抽出概念，擬定假設、解決問題。研究結果表明，不論問題的難易或特性的多少，問題的解決都是整體法優(yōu)于部分法。數(shù)學是一種模式的科學。當我們在引導學生應用模式時，有意識地滲透要不拘泥于問題的局部，著眼于問題的整體，考察問題的條件之間內(nèi)在聯(lián)系和問題的結構等思想是教師不可或缺的理念。我們在教學時，要引導學生更關注數(shù)學概念、法則、定律、公式的結構，同時對這些數(shù)學知識的認同要形成具有開放結構的認知圖式。這樣，才能增加思維的跨度，增強直覺思維能力，在面臨新的問題時善于將問題結構化，從而達到數(shù)學知識的順利應用。唯其如此，我們的學生才能逐步形成宏觀把握、整體思考的初步意識。

目標境界之二：鳥瞰全局，把握實質(zhì)，突破常規(guī)

初嘗成功的甜頭后，筆者又定位于能鳥瞰全局，把握實質(zhì)，突破常規(guī)的目標。下面就是筆者的一次嘗試。

【案例2】

“長方形周長”的練習課中，教師出示了這樣一個問題供學生解決：右圖是兩個完全一樣的長方形拼成的。它的周長是多少厘米？

或許由于不斷強化周長的概念，學生們努力去尋找圍成這個圖形每條邊的長。不少學生遇到了一定的困難。在數(shù)學上善于發(fā)現(xiàn)的亦涵首先找到突破口：“我發(fā)現(xiàn)了一個和差問題，長寬之和是16厘米，長寬之差是4厘米。因此，16+4=20（厘米）就是兩條長之和了。寬就是10-4=6厘米。”受她的啟發(fā)，思萌說：“我們也可以用（16-4）÷2=6（厘米）求出寬……”教師環(huán)顧四周，發(fā)現(xiàn)她倆的響應者并不多，畢竟“和差問題”的解決方法對于不少同學來說有些困難。更重要的是，關注局部，去尋找每條邊的長，再求周長并非解決問題的最佳策略。教師清楚地意識到學生們已經(jīng)形成了一種思維定勢：要求周長，就要先知道每條邊的長。如何突破這樣的定勢，著眼整體去考慮呢？教師話鋒一轉(zhuǎn)：“同學們，還能找到其他方法嗎？”同學們的思維陷入困境。教師加以誘導：“求長方形的周長，同學們喜歡用長與寬的和乘2來算。那么，這個由兩個長方形拼成L形的周長與原來長方形長、寬之和有什么關系呢？”這樣啟發(fā)后，學生們不再糾纏于去尋找每條邊的長了，紛紛跳出了原有的“框框”，開始從整體上來考慮這一組合圖形的周長與原來的長方形周長之間的聯(lián)系，把長寬之和作為一個整體去“度量”眼前這個新圖形。不一會兒，學生們興奮地舉起手：“我發(fā)現(xiàn)！我發(fā)現(xiàn)！”。楊磊說：“老師，這個圖形的周長可以看成原來長方形的三個長寬之和還多4厘米。所以，可以用16×3+4來算?！毙缾偨又f：“把右上角的兩條邊平移后變成一個長方形，周長不變。這樣，也能夠看出圖形的周長是三個長寬之和加上4厘米。”

【思考】

拘泥于局部，機械地尋找每條邊的長度，就會讓學生鉆進繁瑣分析、復雜推理的“胡同”。顯然，這個“胡同”讓缺乏相應知識和方法準備的學生遭遇障礙。如果為順應這個方法，去補教“和差問題”而“曲線救國”，顯然失卻了問題探究的最大價值。教師在學生利用常規(guī)思維遭阻，到了“不憤不啟”的狀態(tài)時，適時介入，引導學生跳出“桎梏”，從全局的高度審視長方形周長概念和計算公式，淡化先入為主的程式化步驟，把長寬之和作為一個整體考量，打開了一扇探究的新窗戶。當學生以此作為尺度進行度量時，會發(fā)現(xiàn)意外的精彩。長寬之和在學生心目中不僅是運算過程，更是一種結構化的對象和工具。超越于公式，回到概念本質(zhì)上去整體把握問題，更有利于學生活化思維，形成新的問題策略。正如整體原理所說：不僅要發(fā)揮各部分的功能，更要發(fā)揮相互聯(lián)系的各部分所組成的結構的功能。事實上，今后學生在解決“已知以圓的半徑為邊長的正方形面積，求該圓的面積”等這樣的問題時，這樣的整體思維能夠幫助學生打破常規(guī)思維，著眼于圓面積與正方形面積之間的關系，尋找到簡明的問題解決方案。

我們需要模式，但千萬不能模式化，否則學生容易墜入僵化的局部思維方式。這就要求教師切不可機械訓練公式的運用，而應當有意識地呈現(xiàn)諸如只提供長寬之和求周長，只提供上下底之和、高求面積，只提供速度和與時間求路程等這樣的問題，促使學生回到本原去思考解決問題的最根本的要素，從而形成一種整體著眼，抓住問題本質(zhì)的思維策略。長此以往，學生面對新問題時，就不會輕易投入精力立即去進行演算，而是能鳥瞰全局，整體把握問題的本質(zhì)要素，尋找可能的解決路徑，并對自身解決問題過程進行有效的監(jiān)控和調(diào)適，避免鉆進思維的“死胡同”。更為長遠地看，學生將來面對更為錯綜復雜的問題時，能善于進行系統(tǒng)考察，把握問題的關鍵和實質(zhì)，整體規(guī)劃解決問題的方案。

目標境界之三：研究全面，理清脈絡，周密思考

善于對問題從多方面進行整體研究，是整體意識較高層次的反映。設計良好的開放性問題，對于發(fā)展學生多角度思考問題、形成周密全面思考的高層次思維品質(zhì)有著不可替代的作用。

【案例3】

一次復習三角形的活動課上，教師設計了這樣一個問題：有一個三角形，小東發(fā)現(xiàn)一個角的度數(shù)是另一個角的2倍，小明發(fā)現(xiàn)有一個角的度數(shù)是另一個角的3倍。這個三角形的三個內(nèi)角各是多少度？

相當一部分同學大有“太小瞧我”的意思，不假思索地說：“三個角度數(shù)的比就是3∶2∶1，所以三個內(nèi)角分別是90°、60°、30°。”說完后頗有“大功告成”之得意。教師卻不置可否：“哦？僅僅是這樣嗎？”同學們驚訝地瞪大眼睛，再次審視問題。李昕首先匯報她的發(fā)現(xiàn)：“小東觀察的角度和小明可能不同?！苯處煱选扒颉碧呓o學生：“誰理解她的想法？”同學們恍然大悟般地“哦”起來。潘瞳迫不及待地站起來說：“小東和小明在比較時，可能不是跟同一角比的?！卑茬餮a充道：“也就是比較的標準可能不一樣?！苯處煾F追不舍：“這樣看來，可能有哪些情形呢？”同學們在紙上認真對各種情形進行分類考慮。小組討論后，進行了匯報。

子杰走到黑板前有條不紊地邊寫邊講述起來：“我把最大的角稱為∠1，中等大小的角稱為∠2，最小的角稱為∠3。如果小東是以∠3為標準，小明卻是以∠2為標準，那么，三個角度數(shù)的比就是6∶2∶1。還有一種可能是小東以∠2為標準，而小明卻是以∠3為標準，這時，三個角度數(shù)的比就是6∶3∶1?！本实姆治鲒A得了全班同學的掌聲。而教師不滿足于此，要求學生們根據(jù)比較的標準進行分類，將思考的過程有條理地整理出來。

于是，教師看到如下的分類整理：

1.都以∠3為標準，三個角度數(shù)比是3∶2∶1。

2.小東以∠3為標準，小明以∠2為標準，三個角度數(shù)比是6∶2∶1。

3.小東以∠2為標準，小明以∠3為標準，三個角度數(shù)比是6∶3∶1。

【思考】

分類是一種極其重要的數(shù)學思想。數(shù)學概念的產(chǎn)生，數(shù)學問題解決的突破往往都是從確定分類標準，合理進行分類開始的。在解決問題時，不過早地投入到具體的解決問題步驟和算法中，而首先從整體上對研究對象進行分類標準的思考，再進行分類，然后對每一類進行分別討論，從而求得對問題的完整解決，對于學生來說是一種非常重要的系統(tǒng)思維策略。分類討論的意識從小學開始就要培養(yǎng)。分類討論可將條件與結論的因果關系，局部與整體的邏輯關系揭示得更加準確、清楚。有人可能認為設計這樣的問題對小學生有點勉為其難。然而，筆者認為這對于培養(yǎng)學生全面考察問題，形成嚴密思考問題的習慣大有裨益。上述問題情境中，有關小東和小明的發(fā)現(xiàn)表達的一致性，使學生容易從字面上誤認為兩個所指的“另一個角”即同一個角，從而造成“丟解”。抓住這樣的契機往往就是發(fā)展學生整體意識的關鍵。學生并非沒有發(fā)現(xiàn)的潛力，因此，教師的作用不是直白地“告訴”（這種告訴對學生的發(fā)展來說甚至是“蒼白”的），而在于點撥，讓學生意識到自己考慮問題欠全面，從而重新認識問題，考察其他可能的情形。注意到觀察主體變換的學生，開始對“另一個角”的指向性產(chǎn)生懷疑，因而也就有了關于比較標準所有可能情形的討論，最終把握住分類的標準，做到有序地考慮問題，避免了答案的重復和遺漏。學生的認知狀態(tài)經(jīng)歷了從平衡到不平衡再到平衡的螺旋上升的過程，對分類研究的方法有了更深刻的體驗。

實踐中，筆者多次設計有價值的開放性問題并合理運用，如，“租車方案”、“購票中的學問”、“設計包裝盒”等數(shù)學實踐活動。多樣化的開放性活動讓學生有了積極投入到探究問題中的熱情，感悟到的是新穎而富有挑戰(zhàn)性。學生們在活動中常常通過觀察、猜測、假設、嘗試、類比、特殊化、一般化等途徑去尋找答案，全面觀察，廣泛聯(lián)想，多角度、多層次思考等思維方式從整體上得以優(yōu)化，深刻性、靈活性、敏捷性、批判性、創(chuàng)造性等思維品質(zhì)不斷提升，不斷體驗數(shù)學的思想方法，對數(shù)學實質(zhì)的理解也不斷加深。作為教師，有意識地開發(fā)這樣的開放性問題，并引導學生探索和自我開發(fā)，能夠促進學生整體意識的不斷發(fā)展，這樣形成的元認知能力和態(tài)度的發(fā)展將會對學生的思維方式、生活方式甚至生存方式形成質(zhì)的影響，促進其素養(yǎng)的整體提升，進而促進人的和諧發(fā)展。

責任編輯：石萍