呂學(xué)柱
一線高中數(shù)學(xué)教師因工作環(huán)境和知識結(jié)構(gòu)的局限,從事理論研究通常存在困難.而結(jié)合教學(xué)實踐進(jìn)行教學(xué)研究則可以發(fā)揮自身優(yōu)勢,取得一定的成效.教材是最主要的教學(xué)資源之一,研究教材是一線教師容易上手的教學(xué)研究項目.可以從發(fā)現(xiàn)瑕疵、問題拓展、比較研究等方面切入開展教材研究.研究教材要從哪里入手呢?筆者結(jié)合教學(xué)實踐介紹幾個主要切入點,以供參考.
一、拓展
對教材中的問題進(jìn)行變式、引申、推廣和拓展,可以看清問題的本質(zhì),抓住問題的關(guān)鍵,為探究式教學(xué)和研究性學(xué)習(xí)提供良好的素材.
【案例1】過點P(1,2)的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點,當(dāng)△ABC面積最小時,求直線l的方程.
討論解法后發(fā)現(xiàn),面積最小的三角形恰好以點P為斜邊的中點,這是否具有一般性?這個問題可類似于例題用解析法進(jìn)行研究.答案是肯定的,并有下面推廣.
推廣1:過已知直角內(nèi)一定點的直線與直角的兩邊圍成的三角形面積最小時,定點是斜邊的中點.(也可以用幾何法證明,此處略去)
若已知角不為直角,結(jié)論如何?經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立.
推廣2: 過已知角內(nèi)一定點的直線與角的兩邊所圍成的三角形面積最小時,定點為其所在邊的中點.
證:已知∠XOY=α,其內(nèi)部定點M,過M的直線l交兩邊與A、B兩點,
過M作OA、OB的平行線分別交OB、OA于A′、B′,,由基本不等式得S最小時M為AB邊的中點. (還可用平面幾何知識簡潔證明,此處略去)
將推廣2拓展到空間,有下述命題成立.
推廣3 : 已知頂點O為的三面角,其內(nèi)部一定點M. 過點M的平面與三面角所圍成的四面體OABC(A、B、C三點分別在三面角的三條棱上),其體積V最小時,點M為△ABC的重心.(證明可以類比推廣2的方法,此處從略)
注:推廣1和推廣2可以在例題教學(xué)中作為學(xué)生探究的素材,推廣3可以作為研究性學(xué)習(xí)的素材(也可以在“推理與證明”學(xué)習(xí)時作為探究的素材).
二、“破格”
在新課程的實施過程中,課程標(biāo)準(zhǔn)按“模塊”編制,教材按“模塊”編寫,打破了傳統(tǒng)的課程體系和教材體系,由此在教學(xué)中“水土不服”現(xiàn)象頻頻出現(xiàn).有的教師直接打破“模塊”界限重組教學(xué)內(nèi)容.這種做法既不符合新課程的要求,也給學(xué)生使用教材帶來不便.我在教學(xué)中堅持漸進(jìn)性原則,力避后置內(nèi)容的前移,采用“挖掘加等待”的模式,打破“模塊”阻隔給教學(xué)造成不便的格局.
【案例2】直線的傾斜角增大時,直線的斜率如何變化?
教材中給出利用計算機(jī)或計算器計算k=tanα(給定α)來感知變化規(guī)律.似乎有“用現(xiàn)代技術(shù)把結(jié)論灌輸給學(xué)生”之嫌.
這個問題等到學(xué)完必修4 中“正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)”之后可以水到渠成.筆者經(jīng)過研究認(rèn)為除了“等待”之外,還可以挖掘現(xiàn)有資源消除“等待”之苦.
①如果直線l過原點,直線上取兩點O(0,0),P(1,y)易知斜率k=y.當(dāng)傾斜角α滿足0°≤α≤90°時,斜率k隨α的增大而增大;當(dāng)傾斜角α滿足90°<α<180°時,斜率k隨α的增大而增大.
②如果直線l不經(jīng)過原點,過原點作直線l′∥l,l′與l有相同的傾斜角和斜率,由①可得同樣的結(jié)論.
綜上可知,當(dāng)0°≤α≤90°時,斜率k隨α的增大而增大;當(dāng)90°<α<180°時,斜率k隨α的增大而增大.
三、“指瑕”
研究教材可以從發(fā)現(xiàn)教材的缺點和不足作為切入點.而教材編寫中科學(xué)性錯誤是極少的.對教材“指瑕”主要是指出其在教學(xué)活動中的“不合適”.
【案例3】判斷下列表示是否正確:(1)a{a}.
編者意圖是填“∈”,因為a是集合{a}的元素.對這個答案師生中的爭執(zhí)主要在a是集合時,集合與集合之間的關(guān)系能否用“∈”表示.
分析:
當(dāng)a為實數(shù)(或者僅為“英文字母”)時,填“∈”正確;
當(dāng)S為非空集合時,{a}為一個集合組成的集合,填“”正確;
當(dāng)a=時,填“∈”正確,填“”也正確(因為空集是任何集合的子集).
當(dāng)然,a可以代表“形形色色”的數(shù)或集合,我們無法逐一討論,但a是集合{a}的元素是始終不渝的.
不難看出,就“學(xué)術(shù)”層面而言,教材此處是沒有瑕疵可指的.而就“教學(xué)”層面而言,即從有利于學(xué)生的“學(xué)”和教師的“教”而言,還是值得討論的.
建議:作為練習(xí),編者一定不會讓學(xué)生思考如此復(fù)雜的情形,這個練習(xí)引起這樣的討論應(yīng)屬“意外”,這種討論也略有超越《課程標(biāo)準(zhǔn)》之嫌.“紛爭”源于a的“自由”.建議在教材中把此題加上限制(如a∈).作為教師,對問題應(yīng)有深入的研究,才能扮演好新課程下的教師角色,在課堂生成的“意外問題”面前方可從容淡定,游刃有余.從廣義來說,集合與集合之間也可能出現(xiàn)“∈”關(guān)系.如果教師沒有足夠的學(xué)識,輕易說“不可能”,那就在不經(jīng)意間扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造力.
四、爭議
日常的教學(xué)活動中,時常產(chǎn)生教師之間、師生之間或者學(xué)生之間對某個問題爭論的現(xiàn)象.爭議常常又源于教材的界定(或者未作界定).對爭議的研究和處理當(dāng)然成為研究教材的一個主要切入點.
【案例4】教材中對函數(shù)零點作了這樣的界定:
(1)f(x)=0的實數(shù)x的值叫做函數(shù)y=f(x)的零點.函數(shù)y=f(x)的零點就是f(x)=0的實數(shù)根,也就是y=f(x)函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo).
(2)對于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函數(shù)y=ax2+bx+c,設(shè)Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ=0時,一元二次方程有兩個相等實數(shù)根x1=x2,二次函數(shù)圖像與x軸有唯一交點(x1,0).
分析:根據(jù)教材的界定,對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點問題,說成有兩個相等的零點或者說成有唯一的零點都是有根據(jù)的.但是教材引入“零點”的初衷是溝通函數(shù)與方程的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系,同時還可以使數(shù)學(xué)表述更為簡潔.而在“二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點”這個問題上不光沒有使表述更簡潔,反而產(chǎn)生明顯的爭議.
建議:在教學(xué)中應(yīng)該盡量回避上述爭議問題,因為這種爭議對學(xué)生來說是沒有價值的.
教材在此應(yīng)予以明確,如果教材中“不便妄言”,可以在教參中“發(fā)出聲音”.
五、比較
比較研究法是一種重要的研究方法,可以進(jìn)行中外教材的比較研究和新舊教材的比較研究,但最貼近教學(xué)實踐的當(dāng)然是新課標(biāo)教材不同版本之間的比較研究.
【案例5】關(guān)于集合表示法(必修1 中1.1)
人教A版給出“描述法”具體方法:在花括號內(nèi)先寫上集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.例題和練習(xí)全是數(shù)集.
這種編寫產(chǎn)生兩個問題:1.豎線前后不就都有共同特征了嗎?2.例題和練習(xí)全是數(shù)集,是不是描述法只能表示數(shù)集呀?
對于這一內(nèi)容,“蘇教版”教材的處理總體是比較好的,“蘇教版”的表示方法學(xué)完后再介紹人教A版的表示法,學(xué)生就知道后者表示有些“數(shù)集”較為簡潔,也就難怪人教A版教材中例題和練習(xí)全是數(shù)集了.
一線高中數(shù)學(xué)教師因工作環(huán)境和知識結(jié)構(gòu)的局限,從事理論研究通常存在困難.而結(jié)合教學(xué)實踐進(jìn)行教學(xué)研究則可以發(fā)揮自身優(yōu)勢,取得一定的成效.教材是最主要的教學(xué)資源之一,研究教材是一線教師容易上手的教學(xué)研究項目.可以從發(fā)現(xiàn)瑕疵、問題拓展、比較研究等方面切入開展教材研究.研究教材要從哪里入手呢?筆者結(jié)合教學(xué)實踐介紹幾個主要切入點,以供參考.
一、拓展
對教材中的問題進(jìn)行變式、引申、推廣和拓展,可以看清問題的本質(zhì),抓住問題的關(guān)鍵,為探究式教學(xué)和研究性學(xué)習(xí)提供良好的素材.
【案例1】過點P(1,2)的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點,當(dāng)△ABC面積最小時,求直線l的方程.
討論解法后發(fā)現(xiàn),面積最小的三角形恰好以點P為斜邊的中點,這是否具有一般性?這個問題可類似于例題用解析法進(jìn)行研究.答案是肯定的,并有下面推廣.
推廣1:過已知直角內(nèi)一定點的直線與直角的兩邊圍成的三角形面積最小時,定點是斜邊的中點.(也可以用幾何法證明,此處略去)
若已知角不為直角,結(jié)論如何?經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立.
推廣2: 過已知角內(nèi)一定點的直線與角的兩邊所圍成的三角形面積最小時,定點為其所在邊的中點.
證:已知∠XOY=α,其內(nèi)部定點M,過M的直線l交兩邊與A、B兩點,
過M作OA、OB的平行線分別交OB、OA于A′、B′,,由基本不等式得S最小時M為AB邊的中點. (還可用平面幾何知識簡潔證明,此處略去)
將推廣2拓展到空間,有下述命題成立.
推廣3 : 已知頂點O為的三面角,其內(nèi)部一定點M. 過點M的平面與三面角所圍成的四面體OABC(A、B、C三點分別在三面角的三條棱上),其體積V最小時,點M為△ABC的重心.(證明可以類比推廣2的方法,此處從略)
注:推廣1和推廣2可以在例題教學(xué)中作為學(xué)生探究的素材,推廣3可以作為研究性學(xué)習(xí)的素材(也可以在“推理與證明”學(xué)習(xí)時作為探究的素材).
二、“破格”
在新課程的實施過程中,課程標(biāo)準(zhǔn)按“模塊”編制,教材按“模塊”編寫,打破了傳統(tǒng)的課程體系和教材體系,由此在教學(xué)中“水土不服”現(xiàn)象頻頻出現(xiàn).有的教師直接打破“模塊”界限重組教學(xué)內(nèi)容.這種做法既不符合新課程的要求,也給學(xué)生使用教材帶來不便.我在教學(xué)中堅持漸進(jìn)性原則,力避后置內(nèi)容的前移,采用“挖掘加等待”的模式,打破“模塊”阻隔給教學(xué)造成不便的格局.
【案例2】直線的傾斜角增大時,直線的斜率如何變化?
教材中給出利用計算機(jī)或計算器計算k=tanα(給定α)來感知變化規(guī)律.似乎有“用現(xiàn)代技術(shù)把結(jié)論灌輸給學(xué)生”之嫌.
這個問題等到學(xué)完必修4 中“正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)”之后可以水到渠成.筆者經(jīng)過研究認(rèn)為除了“等待”之外,還可以挖掘現(xiàn)有資源消除“等待”之苦.
①如果直線l過原點,直線上取兩點O(0,0),P(1,y)易知斜率k=y.當(dāng)傾斜角α滿足0°≤α≤90°時,斜率k隨α的增大而增大;當(dāng)傾斜角α滿足90°<α<180°時,斜率k隨α的增大而增大.
②如果直線l不經(jīng)過原點,過原點作直線l′∥l,l′與l有相同的傾斜角和斜率,由①可得同樣的結(jié)論.
綜上可知,當(dāng)0°≤α≤90°時,斜率k隨α的增大而增大;當(dāng)90°<α<180°時,斜率k隨α的增大而增大.
三、“指瑕”
研究教材可以從發(fā)現(xiàn)教材的缺點和不足作為切入點.而教材編寫中科學(xué)性錯誤是極少的.對教材“指瑕”主要是指出其在教學(xué)活動中的“不合適”.
【案例3】判斷下列表示是否正確:(1)a{a}.
編者意圖是填“∈”,因為a是集合{a}的元素.對這個答案師生中的爭執(zhí)主要在a是集合時,集合與集合之間的關(guān)系能否用“∈”表示.
分析:
當(dāng)a為實數(shù)(或者僅為“英文字母”)時,填“∈”正確;
當(dāng)S為非空集合時,{a}為一個集合組成的集合,填“”正確;
當(dāng)a=時,填“∈”正確,填“”也正確(因為空集是任何集合的子集).
當(dāng)然,a可以代表“形形色色”的數(shù)或集合,我們無法逐一討論,但a是集合{a}的元素是始終不渝的.
不難看出,就“學(xué)術(shù)”層面而言,教材此處是沒有瑕疵可指的.而就“教學(xué)”層面而言,即從有利于學(xué)生的“學(xué)”和教師的“教”而言,還是值得討論的.
建議:作為練習(xí),編者一定不會讓學(xué)生思考如此復(fù)雜的情形,這個練習(xí)引起這樣的討論應(yīng)屬“意外”,這種討論也略有超越《課程標(biāo)準(zhǔn)》之嫌.“紛爭”源于a的“自由”.建議在教材中把此題加上限制(如a∈).作為教師,對問題應(yīng)有深入的研究,才能扮演好新課程下的教師角色,在課堂生成的“意外問題”面前方可從容淡定,游刃有余.從廣義來說,集合與集合之間也可能出現(xiàn)“∈”關(guān)系.如果教師沒有足夠的學(xué)識,輕易說“不可能”,那就在不經(jīng)意間扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造力.
四、爭議
日常的教學(xué)活動中,時常產(chǎn)生教師之間、師生之間或者學(xué)生之間對某個問題爭論的現(xiàn)象.爭議常常又源于教材的界定(或者未作界定).對爭議的研究和處理當(dāng)然成為研究教材的一個主要切入點.
【案例4】教材中對函數(shù)零點作了這樣的界定:
(1)f(x)=0的實數(shù)x的值叫做函數(shù)y=f(x)的零點.函數(shù)y=f(x)的零點就是f(x)=0的實數(shù)根,也就是y=f(x)函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo).
(2)對于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函數(shù)y=ax2+bx+c,設(shè)Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ=0時,一元二次方程有兩個相等實數(shù)根x1=x2,二次函數(shù)圖像與x軸有唯一交點(x1,0).
分析:根據(jù)教材的界定,對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點問題,說成有兩個相等的零點或者說成有唯一的零點都是有根據(jù)的.但是教材引入“零點”的初衷是溝通函數(shù)與方程的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系,同時還可以使數(shù)學(xué)表述更為簡潔.而在“二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點”這個問題上不光沒有使表述更簡潔,反而產(chǎn)生明顯的爭議.
建議:在教學(xué)中應(yīng)該盡量回避上述爭議問題,因為這種爭議對學(xué)生來說是沒有價值的.
教材在此應(yīng)予以明確,如果教材中“不便妄言”,可以在教參中“發(fā)出聲音”.
五、比較
比較研究法是一種重要的研究方法,可以進(jìn)行中外教材的比較研究和新舊教材的比較研究,但最貼近教學(xué)實踐的當(dāng)然是新課標(biāo)教材不同版本之間的比較研究.
【案例5】關(guān)于集合表示法(必修1 中1.1)
人教A版給出“描述法”具體方法:在花括號內(nèi)先寫上集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.例題和練習(xí)全是數(shù)集.
這種編寫產(chǎn)生兩個問題:1.豎線前后不就都有共同特征了嗎?2.例題和練習(xí)全是數(shù)集,是不是描述法只能表示數(shù)集呀?
對于這一內(nèi)容,“蘇教版”教材的處理總體是比較好的,“蘇教版”的表示方法學(xué)完后再介紹人教A版的表示法,學(xué)生就知道后者表示有些“數(shù)集”較為簡潔,也就難怪人教A版教材中例題和練習(xí)全是數(shù)集了.
一線高中數(shù)學(xué)教師因工作環(huán)境和知識結(jié)構(gòu)的局限,從事理論研究通常存在困難.而結(jié)合教學(xué)實踐進(jìn)行教學(xué)研究則可以發(fā)揮自身優(yōu)勢,取得一定的成效.教材是最主要的教學(xué)資源之一,研究教材是一線教師容易上手的教學(xué)研究項目.可以從發(fā)現(xiàn)瑕疵、問題拓展、比較研究等方面切入開展教材研究.研究教材要從哪里入手呢?筆者結(jié)合教學(xué)實踐介紹幾個主要切入點,以供參考.
一、拓展
對教材中的問題進(jìn)行變式、引申、推廣和拓展,可以看清問題的本質(zhì),抓住問題的關(guān)鍵,為探究式教學(xué)和研究性學(xué)習(xí)提供良好的素材.
【案例1】過點P(1,2)的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點,當(dāng)△ABC面積最小時,求直線l的方程.
討論解法后發(fā)現(xiàn),面積最小的三角形恰好以點P為斜邊的中點,這是否具有一般性?這個問題可類似于例題用解析法進(jìn)行研究.答案是肯定的,并有下面推廣.
推廣1:過已知直角內(nèi)一定點的直線與直角的兩邊圍成的三角形面積最小時,定點是斜邊的中點.(也可以用幾何法證明,此處略去)
若已知角不為直角,結(jié)論如何?經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立.
推廣2: 過已知角內(nèi)一定點的直線與角的兩邊所圍成的三角形面積最小時,定點為其所在邊的中點.
證:已知∠XOY=α,其內(nèi)部定點M,過M的直線l交兩邊與A、B兩點,
過M作OA、OB的平行線分別交OB、OA于A′、B′,,由基本不等式得S最小時M為AB邊的中點. (還可用平面幾何知識簡潔證明,此處略去)
將推廣2拓展到空間,有下述命題成立.
推廣3 : 已知頂點O為的三面角,其內(nèi)部一定點M. 過點M的平面與三面角所圍成的四面體OABC(A、B、C三點分別在三面角的三條棱上),其體積V最小時,點M為△ABC的重心.(證明可以類比推廣2的方法,此處從略)
注:推廣1和推廣2可以在例題教學(xué)中作為學(xué)生探究的素材,推廣3可以作為研究性學(xué)習(xí)的素材(也可以在“推理與證明”學(xué)習(xí)時作為探究的素材).
二、“破格”
在新課程的實施過程中,課程標(biāo)準(zhǔn)按“模塊”編制,教材按“模塊”編寫,打破了傳統(tǒng)的課程體系和教材體系,由此在教學(xué)中“水土不服”現(xiàn)象頻頻出現(xiàn).有的教師直接打破“模塊”界限重組教學(xué)內(nèi)容.這種做法既不符合新課程的要求,也給學(xué)生使用教材帶來不便.我在教學(xué)中堅持漸進(jìn)性原則,力避后置內(nèi)容的前移,采用“挖掘加等待”的模式,打破“模塊”阻隔給教學(xué)造成不便的格局.
【案例2】直線的傾斜角增大時,直線的斜率如何變化?
教材中給出利用計算機(jī)或計算器計算k=tanα(給定α)來感知變化規(guī)律.似乎有“用現(xiàn)代技術(shù)把結(jié)論灌輸給學(xué)生”之嫌.
這個問題等到學(xué)完必修4 中“正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)”之后可以水到渠成.筆者經(jīng)過研究認(rèn)為除了“等待”之外,還可以挖掘現(xiàn)有資源消除“等待”之苦.
①如果直線l過原點,直線上取兩點O(0,0),P(1,y)易知斜率k=y.當(dāng)傾斜角α滿足0°≤α≤90°時,斜率k隨α的增大而增大;當(dāng)傾斜角α滿足90°<α<180°時,斜率k隨α的增大而增大.
②如果直線l不經(jīng)過原點,過原點作直線l′∥l,l′與l有相同的傾斜角和斜率,由①可得同樣的結(jié)論.
綜上可知,當(dāng)0°≤α≤90°時,斜率k隨α的增大而增大;當(dāng)90°<α<180°時,斜率k隨α的增大而增大.
三、“指瑕”
研究教材可以從發(fā)現(xiàn)教材的缺點和不足作為切入點.而教材編寫中科學(xué)性錯誤是極少的.對教材“指瑕”主要是指出其在教學(xué)活動中的“不合適”.
【案例3】判斷下列表示是否正確:(1)a{a}.
編者意圖是填“∈”,因為a是集合{a}的元素.對這個答案師生中的爭執(zhí)主要在a是集合時,集合與集合之間的關(guān)系能否用“∈”表示.
分析:
當(dāng)a為實數(shù)(或者僅為“英文字母”)時,填“∈”正確;
當(dāng)S為非空集合時,{a}為一個集合組成的集合,填“”正確;
當(dāng)a=時,填“∈”正確,填“”也正確(因為空集是任何集合的子集).
當(dāng)然,a可以代表“形形色色”的數(shù)或集合,我們無法逐一討論,但a是集合{a}的元素是始終不渝的.
不難看出,就“學(xué)術(shù)”層面而言,教材此處是沒有瑕疵可指的.而就“教學(xué)”層面而言,即從有利于學(xué)生的“學(xué)”和教師的“教”而言,還是值得討論的.
建議:作為練習(xí),編者一定不會讓學(xué)生思考如此復(fù)雜的情形,這個練習(xí)引起這樣的討論應(yīng)屬“意外”,這種討論也略有超越《課程標(biāo)準(zhǔn)》之嫌.“紛爭”源于a的“自由”.建議在教材中把此題加上限制(如a∈).作為教師,對問題應(yīng)有深入的研究,才能扮演好新課程下的教師角色,在課堂生成的“意外問題”面前方可從容淡定,游刃有余.從廣義來說,集合與集合之間也可能出現(xiàn)“∈”關(guān)系.如果教師沒有足夠的學(xué)識,輕易說“不可能”,那就在不經(jīng)意間扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造力.
四、爭議
日常的教學(xué)活動中,時常產(chǎn)生教師之間、師生之間或者學(xué)生之間對某個問題爭論的現(xiàn)象.爭議常常又源于教材的界定(或者未作界定).對爭議的研究和處理當(dāng)然成為研究教材的一個主要切入點.
【案例4】教材中對函數(shù)零點作了這樣的界定:
(1)f(x)=0的實數(shù)x的值叫做函數(shù)y=f(x)的零點.函數(shù)y=f(x)的零點就是f(x)=0的實數(shù)根,也就是y=f(x)函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo).
(2)對于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函數(shù)y=ax2+bx+c,設(shè)Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ=0時,一元二次方程有兩個相等實數(shù)根x1=x2,二次函數(shù)圖像與x軸有唯一交點(x1,0).
分析:根據(jù)教材的界定,對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點問題,說成有兩個相等的零點或者說成有唯一的零點都是有根據(jù)的.但是教材引入“零點”的初衷是溝通函數(shù)與方程的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系,同時還可以使數(shù)學(xué)表述更為簡潔.而在“二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點”這個問題上不光沒有使表述更簡潔,反而產(chǎn)生明顯的爭議.
建議:在教學(xué)中應(yīng)該盡量回避上述爭議問題,因為這種爭議對學(xué)生來說是沒有價值的.
教材在此應(yīng)予以明確,如果教材中“不便妄言”,可以在教參中“發(fā)出聲音”.
五、比較
比較研究法是一種重要的研究方法,可以進(jìn)行中外教材的比較研究和新舊教材的比較研究,但最貼近教學(xué)實踐的當(dāng)然是新課標(biāo)教材不同版本之間的比較研究.
【案例5】關(guān)于集合表示法(必修1 中1.1)
人教A版給出“描述法”具體方法:在花括號內(nèi)先寫上集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.例題和練習(xí)全是數(shù)集.
這種編寫產(chǎn)生兩個問題:1.豎線前后不就都有共同特征了嗎?2.例題和練習(xí)全是數(shù)集,是不是描述法只能表示數(shù)集呀?
對于這一內(nèi)容,“蘇教版”教材的處理總體是比較好的,“蘇教版”的表示方法學(xué)完后再介紹人教A版的表示法,學(xué)生就知道后者表示有些“數(shù)集”較為簡潔,也就難怪人教A版教材中例題和練習(xí)全是數(shù)集了.