一線教師研究教材的主要切入點

呂學(xué)柱

一線高中數(shù)學(xué)教師因工作環(huán)境和知識結(jié)構(gòu)的局限，從事理論研究通常存在困難.而結(jié)合教學(xué)實踐進(jìn)行教學(xué)研究則可以發(fā)揮自身優(yōu)勢，取得一定的成效.教材是最主要的教學(xué)資源之一，研究教材是一線教師容易上手的教學(xué)研究項目.可以從發(fā)現(xiàn)瑕疵、問題拓展、比較研究等方面切入開展教材研究.研究教材要從哪里入手呢？筆者結(jié)合教學(xué)實踐介紹幾個主要切入點，以供參考.

一、拓展

對教材中的問題進(jìn)行變式、引申、推廣和拓展，可以看清問題的本質(zhì)，抓住問題的關(guān)鍵，為探究式教學(xué)和研究性學(xué)習(xí)提供良好的素材.

【案例1】過點P（1，2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，當(dāng)△ABC面積最小時，求直線l的方程.

討論解法后發(fā)現(xiàn)，面積最小的三角形恰好以點P為斜邊的中點，這是否具有一般性？這個問題可類似于例題用解析法進(jìn)行研究.答案是肯定的，并有下面推廣.

推廣1：過已知直角內(nèi)一定點的直線與直角的兩邊圍成的三角形面積最小時，定點是斜邊的中點.（也可以用幾何法證明，此處略去）

若已知角不為直角，結(jié)論如何？經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立.

推廣2： 過已知角內(nèi)一定點的直線與角的兩邊所圍成的三角形面積最小時，定點為其所在邊的中點.

證：已知∠XOY=α，其內(nèi)部定點M，過M的直線l交兩邊與A、B兩點，

過M作OA、OB的平行線分別交OB、OA于A′、B′，，由基本不等式得S最小時M為AB邊的中點. （還可用平面幾何知識簡潔證明，此處略去）

將推廣2拓展到空間，有下述命題成立.

推廣3 ： 已知頂點O為的三面角，其內(nèi)部一定點M. 過點M的平面與三面角所圍成的四面體OABC（A、B、C三點分別在三面角的三條棱上），其體積V最小時，點M為△ABC的重心.（證明可以類比推廣2的方法，此處從略）

注：推廣1和推廣2可以在例題教學(xué)中作為學(xué)生探究的素材，推廣3可以作為研究性學(xué)習(xí)的素材（也可以在“推理與證明”學(xué)習(xí)時作為探究的素材）.

二、“破格”

在新課程的實施過程中，課程標(biāo)準(zhǔn)按“模塊”編制，教材按“模塊”編寫，打破了傳統(tǒng)的課程體系和教材體系，由此在教學(xué)中“水土不服”現(xiàn)象頻頻出現(xiàn).有的教師直接打破“模塊”界限重組教學(xué)內(nèi)容.這種做法既不符合新課程的要求，也給學(xué)生使用教材帶來不便.我在教學(xué)中堅持漸進(jìn)性原則，力避后置內(nèi)容的前移，采用“挖掘加等待”的模式，打破“模塊”阻隔給教學(xué)造成不便的格局.

【案例2】直線的傾斜角增大時，直線的斜率如何變化？

教材中給出利用計算機(jī)或計算器計算k=tanα（給定α）來感知變化規(guī)律.似乎有“用現(xiàn)代技術(shù)把結(jié)論灌輸給學(xué)生”之嫌.

這個問題等到學(xué)完必修4 中“正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)”之后可以水到渠成.筆者經(jīng)過研究認(rèn)為除了“等待”之外，還可以挖掘現(xiàn)有資源消除“等待”之苦.

①如果直線l過原點，直線上取兩點O（0，0），P（1，y）易知斜率k=y.當(dāng)傾斜角α滿足0°≤α≤90°時，斜率k隨α的增大而增大；當(dāng)傾斜角α滿足90°<α<180°時，斜率k隨α的增大而增大.

②如果直線l不經(jīng)過原點，過原點作直線l′∥l，l′與l有相同的傾斜角和斜率，由①可得同樣的結(jié)論.

綜上可知，當(dāng)0°≤α≤90°時，斜率k隨α的增大而增大；當(dāng)90°<α<180°時，斜率k隨α的增大而增大.

三、“指瑕”

研究教材可以從發(fā)現(xiàn)教材的缺點和不足作為切入點.而教材編寫中科學(xué)性錯誤是極少的.對教材“指瑕”主要是指出其在教學(xué)活動中的“不合適”.

【案例3】判斷下列表示是否正確：（1）a{a}.

編者意圖是填“∈”，因為a是集合{a}的元素.對這個答案師生中的爭執(zhí)主要在a是集合時，集合與集合之間的關(guān)系能否用“∈”表示.

分析：

當(dāng)a為實數(shù)（或者僅為“英文字母”）時，填“∈”正確；

當(dāng)S為非空集合時，{a}為一個集合組成的集合，填“”正確；

當(dāng)a=時，填“∈”正確，填“”也正確（因為空集是任何集合的子集）.

當(dāng)然，a可以代表“形形色色”的數(shù)或集合，我們無法逐一討論，但a是集合{a}的元素是始終不渝的.

不難看出，就“學(xué)術(shù)”層面而言，教材此處是沒有瑕疵可指的.而就“教學(xué)”層面而言，即從有利于學(xué)生的“學(xué)”和教師的“教”而言，還是值得討論的.

建議：作為練習(xí)，編者一定不會讓學(xué)生思考如此復(fù)雜的情形，這個練習(xí)引起這樣的討論應(yīng)屬“意外”，這種討論也略有超越《課程標(biāo)準(zhǔn)》之嫌.“紛爭”源于a的“自由”.建議在教材中把此題加上限制（如a∈）.作為教師，對問題應(yīng)有深入的研究，才能扮演好新課程下的教師角色，在課堂生成的“意外問題”面前方可從容淡定，游刃有余.從廣義來說，集合與集合之間也可能出現(xiàn)“∈”關(guān)系.如果教師沒有足夠的學(xué)識，輕易說“不可能”，那就在不經(jīng)意間扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造力.

四、爭議

日常的教學(xué)活動中，時常產(chǎn)生教師之間、師生之間或者學(xué)生之間對某個問題爭論的現(xiàn)象.爭議常常又源于教材的界定（或者未作界定）.對爭議的研究和處理當(dāng)然成為研究教材的一個主要切入點.

【案例4】教材中對函數(shù)零點作了這樣的界定：

（1）f（x）=0的實數(shù)x的值叫做函數(shù)y=f（x）的零點.函數(shù)y=f（x）的零點就是f（x）=0的實數(shù)根，也就是y=f（x）函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo).

（2）對于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函數(shù)y=ax2+bx+c，設(shè)Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ=0時，一元二次方程有兩個相等實數(shù)根x1=x2，二次函數(shù)圖像與x軸有唯一交點（x1，0）.

分析：根據(jù)教材的界定，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點問題，說成有兩個相等的零點或者說成有唯一的零點都是有根據(jù)的.但是教材引入“零點”的初衷是溝通函數(shù)與方程的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系，同時還可以使數(shù)學(xué)表述更為簡潔.而在“二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點”這個問題上不光沒有使表述更簡潔，反而產(chǎn)生明顯的爭議.

建議：在教學(xué)中應(yīng)該盡量回避上述爭議問題，因為這種爭議對學(xué)生來說是沒有價值的.

教材在此應(yīng)予以明確，如果教材中“不便妄言”，可以在教參中“發(fā)出聲音”.

五、比較

比較研究法是一種重要的研究方法，可以進(jìn)行中外教材的比較研究和新舊教材的比較研究，但最貼近教學(xué)實踐的當(dāng)然是新課標(biāo)教材不同版本之間的比較研究.

【案例5】關(guān)于集合表示法（必修1 中1.1）

人教A版給出“描述法”具體方法：在花括號內(nèi)先寫上集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.例題和練習(xí)全是數(shù)集.

這種編寫產(chǎn)生兩個問題：1.豎線前后不就都有共同特征了嗎？2.例題和練習(xí)全是數(shù)集，是不是描述法只能表示數(shù)集呀？

對于這一內(nèi)容，“蘇教版”教材的處理總體是比較好的，“蘇教版”的表示方法學(xué)完后再介紹人教A版的表示法，學(xué)生就知道后者表示有些“數(shù)集”較為簡潔，也就難怪人教A版教材中例題和練習(xí)全是數(shù)集了.

一線高中數(shù)學(xué)教師因工作環(huán)境和知識結(jié)構(gòu)的局限，從事理論研究通常存在困難.而結(jié)合教學(xué)實踐進(jìn)行教學(xué)研究則可以發(fā)揮自身優(yōu)勢，取得一定的成效.教材是最主要的教學(xué)資源之一，研究教材是一線教師容易上手的教學(xué)研究項目.可以從發(fā)現(xiàn)瑕疵、問題拓展、比較研究等方面切入開展教材研究.研究教材要從哪里入手呢？筆者結(jié)合教學(xué)實踐介紹幾個主要切入點，以供參考.

一、拓展

對教材中的問題進(jìn)行變式、引申、推廣和拓展，可以看清問題的本質(zhì)，抓住問題的關(guān)鍵，為探究式教學(xué)和研究性學(xué)習(xí)提供良好的素材.

【案例1】過點P（1，2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，當(dāng)△ABC面積最小時，求直線l的方程.

討論解法后發(fā)現(xiàn)，面積最小的三角形恰好以點P為斜邊的中點，這是否具有一般性？這個問題可類似于例題用解析法進(jìn)行研究.答案是肯定的，并有下面推廣.

推廣1：過已知直角內(nèi)一定點的直線與直角的兩邊圍成的三角形面積最小時，定點是斜邊的中點.（也可以用幾何法證明，此處略去）

若已知角不為直角，結(jié)論如何？經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立.

推廣2： 過已知角內(nèi)一定點的直線與角的兩邊所圍成的三角形面積最小時，定點為其所在邊的中點.

證：已知∠XOY=α，其內(nèi)部定點M，過M的直線l交兩邊與A、B兩點，

過M作OA、OB的平行線分別交OB、OA于A′、B′，，由基本不等式得S最小時M為AB邊的中點. （還可用平面幾何知識簡潔證明，此處略去）

將推廣2拓展到空間，有下述命題成立.

推廣3 ： 已知頂點O為的三面角，其內(nèi)部一定點M. 過點M的平面與三面角所圍成的四面體OABC（A、B、C三點分別在三面角的三條棱上），其體積V最小時，點M為△ABC的重心.（證明可以類比推廣2的方法，此處從略）

注：推廣1和推廣2可以在例題教學(xué)中作為學(xué)生探究的素材，推廣3可以作為研究性學(xué)習(xí)的素材（也可以在“推理與證明”學(xué)習(xí)時作為探究的素材）.

二、“破格”

在新課程的實施過程中，課程標(biāo)準(zhǔn)按“模塊”編制，教材按“模塊”編寫，打破了傳統(tǒng)的課程體系和教材體系，由此在教學(xué)中“水土不服”現(xiàn)象頻頻出現(xiàn).有的教師直接打破“模塊”界限重組教學(xué)內(nèi)容.這種做法既不符合新課程的要求，也給學(xué)生使用教材帶來不便.我在教學(xué)中堅持漸進(jìn)性原則，力避后置內(nèi)容的前移，采用“挖掘加等待”的模式，打破“模塊”阻隔給教學(xué)造成不便的格局.

【案例2】直線的傾斜角增大時，直線的斜率如何變化？

教材中給出利用計算機(jī)或計算器計算k=tanα（給定α）來感知變化規(guī)律.似乎有“用現(xiàn)代技術(shù)把結(jié)論灌輸給學(xué)生”之嫌.

這個問題等到學(xué)完必修4 中“正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)”之后可以水到渠成.筆者經(jīng)過研究認(rèn)為除了“等待”之外，還可以挖掘現(xiàn)有資源消除“等待”之苦.

①如果直線l過原點，直線上取兩點O（0，0），P（1，y）易知斜率k=y.當(dāng)傾斜角α滿足0°≤α≤90°時，斜率k隨α的增大而增大；當(dāng)傾斜角α滿足90°<α<180°時，斜率k隨α的增大而增大.

②如果直線l不經(jīng)過原點，過原點作直線l′∥l，l′與l有相同的傾斜角和斜率，由①可得同樣的結(jié)論.

綜上可知，當(dāng)0°≤α≤90°時，斜率k隨α的增大而增大；當(dāng)90°<α<180°時，斜率k隨α的增大而增大.

三、“指瑕”

研究教材可以從發(fā)現(xiàn)教材的缺點和不足作為切入點.而教材編寫中科學(xué)性錯誤是極少的.對教材“指瑕”主要是指出其在教學(xué)活動中的“不合適”.

【案例3】判斷下列表示是否正確：（1）a{a}.

編者意圖是填“∈”，因為a是集合{a}的元素.對這個答案師生中的爭執(zhí)主要在a是集合時，集合與集合之間的關(guān)系能否用“∈”表示.

分析：

當(dāng)a為實數(shù)（或者僅為“英文字母”）時，填“∈”正確；

當(dāng)S為非空集合時，{a}為一個集合組成的集合，填“”正確；

當(dāng)a=時，填“∈”正確，填“”也正確（因為空集是任何集合的子集）.

當(dāng)然，a可以代表“形形色色”的數(shù)或集合，我們無法逐一討論，但a是集合{a}的元素是始終不渝的.

不難看出，就“學(xué)術(shù)”層面而言，教材此處是沒有瑕疵可指的.而就“教學(xué)”層面而言，即從有利于學(xué)生的“學(xué)”和教師的“教”而言，還是值得討論的.

建議：作為練習(xí)，編者一定不會讓學(xué)生思考如此復(fù)雜的情形，這個練習(xí)引起這樣的討論應(yīng)屬“意外”，這種討論也略有超越《課程標(biāo)準(zhǔn)》之嫌.“紛爭”源于a的“自由”.建議在教材中把此題加上限制（如a∈）.作為教師，對問題應(yīng)有深入的研究，才能扮演好新課程下的教師角色，在課堂生成的“意外問題”面前方可從容淡定，游刃有余.從廣義來說，集合與集合之間也可能出現(xiàn)“∈”關(guān)系.如果教師沒有足夠的學(xué)識，輕易說“不可能”，那就在不經(jīng)意間扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造力.

四、爭議

日常的教學(xué)活動中，時常產(chǎn)生教師之間、師生之間或者學(xué)生之間對某個問題爭論的現(xiàn)象.爭議常常又源于教材的界定（或者未作界定）.對爭議的研究和處理當(dāng)然成為研究教材的一個主要切入點.

【案例4】教材中對函數(shù)零點作了這樣的界定：

（1）f（x）=0的實數(shù)x的值叫做函數(shù)y=f（x）的零點.函數(shù)y=f（x）的零點就是f（x）=0的實數(shù)根，也就是y=f（x）函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo).

（2）對于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函數(shù)y=ax2+bx+c，設(shè)Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ=0時，一元二次方程有兩個相等實數(shù)根x1=x2，二次函數(shù)圖像與x軸有唯一交點（x1，0）.

分析：根據(jù)教材的界定，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點問題，說成有兩個相等的零點或者說成有唯一的零點都是有根據(jù)的.但是教材引入“零點”的初衷是溝通函數(shù)與方程的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系，同時還可以使數(shù)學(xué)表述更為簡潔.而在“二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點”這個問題上不光沒有使表述更簡潔，反而產(chǎn)生明顯的爭議.

建議：在教學(xué)中應(yīng)該盡量回避上述爭議問題，因為這種爭議對學(xué)生來說是沒有價值的.

教材在此應(yīng)予以明確，如果教材中“不便妄言”，可以在教參中“發(fā)出聲音”.

五、比較

比較研究法是一種重要的研究方法，可以進(jìn)行中外教材的比較研究和新舊教材的比較研究，但最貼近教學(xué)實踐的當(dāng)然是新課標(biāo)教材不同版本之間的比較研究.

【案例5】關(guān)于集合表示法（必修1 中1.1）

人教A版給出“描述法”具體方法：在花括號內(nèi)先寫上集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.例題和練習(xí)全是數(shù)集.

這種編寫產(chǎn)生兩個問題：1.豎線前后不就都有共同特征了嗎？2.例題和練習(xí)全是數(shù)集，是不是描述法只能表示數(shù)集呀？

對于這一內(nèi)容，“蘇教版”教材的處理總體是比較好的，“蘇教版”的表示方法學(xué)完后再介紹人教A版的表示法，學(xué)生就知道后者表示有些“數(shù)集”較為簡潔，也就難怪人教A版教材中例題和練習(xí)全是數(shù)集了.

一線高中數(shù)學(xué)教師因工作環(huán)境和知識結(jié)構(gòu)的局限，從事理論研究通常存在困難.而結(jié)合教學(xué)實踐進(jìn)行教學(xué)研究則可以發(fā)揮自身優(yōu)勢，取得一定的成效.教材是最主要的教學(xué)資源之一，研究教材是一線教師容易上手的教學(xué)研究項目.可以從發(fā)現(xiàn)瑕疵、問題拓展、比較研究等方面切入開展教材研究.研究教材要從哪里入手呢？筆者結(jié)合教學(xué)實踐介紹幾個主要切入點，以供參考.

一、拓展

對教材中的問題進(jìn)行變式、引申、推廣和拓展，可以看清問題的本質(zhì)，抓住問題的關(guān)鍵，為探究式教學(xué)和研究性學(xué)習(xí)提供良好的素材.

【案例1】過點P（1，2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，當(dāng)△ABC面積最小時，求直線l的方程.

討論解法后發(fā)現(xiàn)，面積最小的三角形恰好以點P為斜邊的中點，這是否具有一般性？這個問題可類似于例題用解析法進(jìn)行研究.答案是肯定的，并有下面推廣.

推廣1：過已知直角內(nèi)一定點的直線與直角的兩邊圍成的三角形面積最小時，定點是斜邊的中點.（也可以用幾何法證明，此處略去）

若已知角不為直角，結(jié)論如何？經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立.

推廣2： 過已知角內(nèi)一定點的直線與角的兩邊所圍成的三角形面積最小時，定點為其所在邊的中點.

證：已知∠XOY=α，其內(nèi)部定點M，過M的直線l交兩邊與A、B兩點，

過M作OA、OB的平行線分別交OB、OA于A′、B′，，由基本不等式得S最小時M為AB邊的中點. （還可用平面幾何知識簡潔證明，此處略去）

將推廣2拓展到空間，有下述命題成立.

推廣3 ： 已知頂點O為的三面角，其內(nèi)部一定點M. 過點M的平面與三面角所圍成的四面體OABC（A、B、C三點分別在三面角的三條棱上），其體積V最小時，點M為△ABC的重心.（證明可以類比推廣2的方法，此處從略）

注：推廣1和推廣2可以在例題教學(xué)中作為學(xué)生探究的素材，推廣3可以作為研究性學(xué)習(xí)的素材（也可以在“推理與證明”學(xué)習(xí)時作為探究的素材）.

二、“破格”

在新課程的實施過程中，課程標(biāo)準(zhǔn)按“模塊”編制，教材按“模塊”編寫，打破了傳統(tǒng)的課程體系和教材體系，由此在教學(xué)中“水土不服”現(xiàn)象頻頻出現(xiàn).有的教師直接打破“模塊”界限重組教學(xué)內(nèi)容.這種做法既不符合新課程的要求，也給學(xué)生使用教材帶來不便.我在教學(xué)中堅持漸進(jìn)性原則，力避后置內(nèi)容的前移，采用“挖掘加等待”的模式，打破“模塊”阻隔給教學(xué)造成不便的格局.

【案例2】直線的傾斜角增大時，直線的斜率如何變化？

教材中給出利用計算機(jī)或計算器計算k=tanα（給定α）來感知變化規(guī)律.似乎有“用現(xiàn)代技術(shù)把結(jié)論灌輸給學(xué)生”之嫌.

這個問題等到學(xué)完必修4 中“正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)”之后可以水到渠成.筆者經(jīng)過研究認(rèn)為除了“等待”之外，還可以挖掘現(xiàn)有資源消除“等待”之苦.

①如果直線l過原點，直線上取兩點O（0，0），P（1，y）易知斜率k=y.當(dāng)傾斜角α滿足0°≤α≤90°時，斜率k隨α的增大而增大；當(dāng)傾斜角α滿足90°<α<180°時，斜率k隨α的增大而增大.

②如果直線l不經(jīng)過原點，過原點作直線l′∥l，l′與l有相同的傾斜角和斜率，由①可得同樣的結(jié)論.

綜上可知，當(dāng)0°≤α≤90°時，斜率k隨α的增大而增大；當(dāng)90°<α<180°時，斜率k隨α的增大而增大.

三、“指瑕”

研究教材可以從發(fā)現(xiàn)教材的缺點和不足作為切入點.而教材編寫中科學(xué)性錯誤是極少的.對教材“指瑕”主要是指出其在教學(xué)活動中的“不合適”.

【案例3】判斷下列表示是否正確：（1）a{a}.

編者意圖是填“∈”，因為a是集合{a}的元素.對這個答案師生中的爭執(zhí)主要在a是集合時，集合與集合之間的關(guān)系能否用“∈”表示.

分析：

當(dāng)a為實數(shù)（或者僅為“英文字母”）時，填“∈”正確；

當(dāng)S為非空集合時，{a}為一個集合組成的集合，填“”正確；

當(dāng)a=時，填“∈”正確，填“”也正確（因為空集是任何集合的子集）.

當(dāng)然，a可以代表“形形色色”的數(shù)或集合，我們無法逐一討論，但a是集合{a}的元素是始終不渝的.

不難看出，就“學(xué)術(shù)”層面而言，教材此處是沒有瑕疵可指的.而就“教學(xué)”層面而言，即從有利于學(xué)生的“學(xué)”和教師的“教”而言，還是值得討論的.

建議：作為練習(xí)，編者一定不會讓學(xué)生思考如此復(fù)雜的情形，這個練習(xí)引起這樣的討論應(yīng)屬“意外”，這種討論也略有超越《課程標(biāo)準(zhǔn)》之嫌.“紛爭”源于a的“自由”.建議在教材中把此題加上限制（如a∈）.作為教師，對問題應(yīng)有深入的研究，才能扮演好新課程下的教師角色，在課堂生成的“意外問題”面前方可從容淡定，游刃有余.從廣義來說，集合與集合之間也可能出現(xiàn)“∈”關(guān)系.如果教師沒有足夠的學(xué)識，輕易說“不可能”，那就在不經(jīng)意間扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造力.

四、爭議

日常的教學(xué)活動中，時常產(chǎn)生教師之間、師生之間或者學(xué)生之間對某個問題爭論的現(xiàn)象.爭議常常又源于教材的界定（或者未作界定）.對爭議的研究和處理當(dāng)然成為研究教材的一個主要切入點.

【案例4】教材中對函數(shù)零點作了這樣的界定：

（1）f（x）=0的實數(shù)x的值叫做函數(shù)y=f（x）的零點.函數(shù)y=f（x）的零點就是f（x）=0的實數(shù)根，也就是y=f（x）函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo).

（2）對于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函數(shù)y=ax2+bx+c，設(shè)Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ=0時，一元二次方程有兩個相等實數(shù)根x1=x2，二次函數(shù)圖像與x軸有唯一交點（x1，0）.

分析：根據(jù)教材的界定，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點問題，說成有兩個相等的零點或者說成有唯一的零點都是有根據(jù)的.但是教材引入“零點”的初衷是溝通函數(shù)與方程的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系，同時還可以使數(shù)學(xué)表述更為簡潔.而在“二次函數(shù)y=ax2+bx+c在Δ=0時的零點”這個問題上不光沒有使表述更簡潔，反而產(chǎn)生明顯的爭議.

建議：在教學(xué)中應(yīng)該盡量回避上述爭議問題，因為這種爭議對學(xué)生來說是沒有價值的.

教材在此應(yīng)予以明確，如果教材中“不便妄言”，可以在教參中“發(fā)出聲音”.

五、比較

比較研究法是一種重要的研究方法，可以進(jìn)行中外教材的比較研究和新舊教材的比較研究，但最貼近教學(xué)實踐的當(dāng)然是新課標(biāo)教材不同版本之間的比較研究.

【案例5】關(guān)于集合表示法（必修1 中1.1）

人教A版給出“描述法”具體方法：在花括號內(nèi)先寫上集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.例題和練習(xí)全是數(shù)集.

這種編寫產(chǎn)生兩個問題：1.豎線前后不就都有共同特征了嗎？2.例題和練習(xí)全是數(shù)集，是不是描述法只能表示數(shù)集呀？

對于這一內(nèi)容，“蘇教版”教材的處理總體是比較好的，“蘇教版”的表示方法學(xué)完后再介紹人教A版的表示法，學(xué)生就知道后者表示有些“數(shù)集”較為簡潔，也就難怪人教A版教材中例題和練習(xí)全是數(shù)集了.