一類具有變指數(shù)偽拋物型方程解的存在唯一性

王長(zhǎng)佳，代 群

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春130022）

0 引 言

考慮如下具有變指數(shù)偽拋物型方程的初邊值問題：

其中：Ω∈?N（N≥2）為一邊界充分光滑的有界開集；QT＝Ω×（0，T］；ΓT＝?Ω×（0，T］；p（x）為一給定的可測(cè)函數(shù)；q＞0為常數(shù).

上述類型的方程通常稱為非線性偽拋物（pseudo－parabolic）型方程，它是一般拋物型方程的擴(kuò)展，在聲學(xué)、電磁學(xué)、黏彈性力學(xué)和熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［1－3］，目前已取得許多研究結(jié)果，如文獻(xiàn)［4］利用Galerkin方法研究了一類算子形式偽拋物方程解的局部存在性；文獻(xiàn)［5］在加權(quán)Sobolev空間中給出了可解性條件并證明了解的唯一性，而且還對(duì)一些動(dòng)力學(xué)問題的漸近性進(jìn)行了討論；文獻(xiàn)［6］討論了一類具有雙非線性項(xiàng)的偽拋物型方程；文獻(xiàn)［7］對(duì)非線性項(xiàng)具有單調(diào)性的偽拋物型方程進(jìn)行了研究.本文考慮具有變指數(shù)偽拋物型方程的初邊值問題（1），在參數(shù)滿足一定條件下，證明了此類問題弱解的存在唯一性.由于此類問題的解通常隸屬于變指數(shù)Lebesgue空間Lp（x）和變指數(shù)Sobolev空間Wk，p（x），在此類空間中許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具與技術(shù)不再適用，如平移算子的有界性、卷積不等式、與極大值算子和其他奇異積分算子相應(yīng)的不等式，特別是龐加萊不等式以及Sobolev嵌入不等式在“模型式”下也將不再成立.

定義1 如果函數(shù)u（x，t）滿足下列條件：

則u（x，t）稱為問題（1）的弱解.

注1 事實(shí)上，式（2）等價(jià)于下式［8］：

1 預(yù)備知識(shí)

2）Lp（x）是可分的且其對(duì)偶空間為L(zhǎng)p′（x）（Ω），其中1／p′（x）＋1／p（x）＝1；對(duì)給定的f∈Lp（x），g∈Lp′（x），如下 H?lder不等式成立：

2 弱解的存在唯一性

2.1 近似解的構(gòu)造

其中i＝1，2，…，m.

記

2.2 一致性先驗(yàn)估計(jì)

由于

將式（7）代入式（8）并整理可得

將式（10）在（0，t）（0＜t＜T）上積分可得

其中：

下面分兩種情形對(duì)Ym（t）進(jìn)行估計(jì).

情形1）p－＜q＋2＜2n／（n－2）.

將式（11）代入式（10）得

解微分不等式（12）可得

其中C，C1均為與m無關(guān)的常數(shù).

情形2）p－≥q＋2（此時(shí)恒有q＋2≤np／（n－p－））.

而

將式（14）～（16）代入式（8）得

其中：ν＋＝（q＋2）／p＋；ν－＝（q＋2）／p－.

如果ν±＜1，則解微分不等式（17）可得

其中C，C3，C4均為與m無關(guān)的常數(shù).

綜合式（13），（18），（19），可得Ym（t）≤C（T），即

由于

將式（22），（23）代入式（21），并在（0，t）上積分可得

2.3 收斂性與解的存在性

由一致估計(jì)并結(jié)合 Aubin－Lions引理可得下述收斂性：u（m）?u弱＊收斂于L∞（0，T；W1，2∩W1，p（x）（Ω））；?u弱收斂于L2（0，T；W1，2（Ω））；u（m）（s）→u（s）強(qiáng)收斂于Lq＋2（Ω），a.e.s∈［0，T］；弱＊收斂于L∞（0，T；Lp′（x）（Ω））.

對(duì)固定的i∈?，令m→∞，可得

從而由弱上半連續(xù)性知

對(duì)任意的λ≥0，w∈W1，p（x）0，取v＝u－λw，則有

即在廣義函數(shù)意義下成立：

令m→∞對(duì)式（29）兩端取極限可得，對(duì)?w∈W1，p（x）0（Ω），φ（t）∈L2（0，T），有

2.4 唯一性

令u1，u2為問題（1）的兩個(gè)解，則由上述討論可知對(duì)?w∈W1，p（x）0（Ω），u1，u2滿足等式：

將式（30）－式（31），有

由u1，u2的有界性，由式（32）可得

進(jìn)而利用Gronwall不等式可得u1＝u2，a.e.（x，t）∈QT.

綜上，可得本文主要結(jié)果如下：

定理1 設(shè)Ω為一光滑有界區(qū)域，p（x）∈［p－，p＋］滿足條件（3），p－＞2，q＋2＜2n／（n－2）.

2）若q≤p－－2，則對(duì)?T∈（0，＋∞），方程（1）在（0，T）上存在定義1意義下的唯一弱解.

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