ρ－混合序列部分和之和乘積精確漸近性的一般形式

鄒 廣 玉

（長(zhǎng)春工程學(xué)院 理學(xué)院，長(zhǎng)春130012）

0 引言與主要結(jié)果

部分和之和乘積理論在破產(chǎn)理論記錄值分布中應(yīng)用廣泛，對(duì)其極限性質(zhì)的研究已取得許多結(jié)果.文獻(xiàn)［1］得到了ρ－混合序列部分和之和乘積的漸近分布；文獻(xiàn)［2－3］分別得到了相伴及α－混合序列部分和之和乘積的幾乎處處中心極限定理等.精確漸近性［4－9］是近年發(fā)展起來(lái)的研究熱點(diǎn)，但關(guān)于部分和之和乘積的精確漸近性卻鮮有報(bào)道.本文討論ρ－混合序列部分和之和乘積精確漸近性的一般形式.

定義1 設(shè)A和B是兩個(gè)σ域，記Fba＝σ（Xt，a≤t≤b）.定義

本文假設(shè)以下條件成立：

（H1）g（x）為［n0，∞）上具有非負(fù)導(dǎo)數(shù)g′（x）的可導(dǎo)的正函數(shù)，且滿(mǎn)足g（x）↑∞，x→∞；

本文主要結(jié)果如下：

其中N表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量.

注2 滿(mǎn)足假設(shè)條件（H1）～（H3）的g（x）有很多，可取g（x）＝xα，（log x）β，（loglog x）γ等，其中α＞0，β＞0，γ＞0為某些適當(dāng)?shù)膮?shù).

1 引 理

證明：注意到b1，n～log n，由文獻(xiàn)［1］中引理2.4易證結(jié)論成立.

2 定理的證明

2.1 定理1的證明

令b（ε）＝［g－1（ε－r）］，其中g(shù)－1（x）為g（x）的反函數(shù)，r＞1／s.

命題1 在定理1的條件下，有：

證明：只證明式（4）成立.式（5）的證明類(lèi)似.考慮積分和級(jí)數(shù)之間的關(guān)系.如果φ（y）單調(diào)非增，則φ（y）P｛N≥εgs（y）｝也單調(diào)非增，從而有

進(jìn)一步有

因此

再由式（6）可知

為簡(jiǎn)便，下面省略φ（x）的討論過(guò)程.

命題2 在定理1的條件下，有：

證明：只證式（8），式（7）可由式（8）推得.由引理1知

命題3 在定理1的條件下，有：

證明：只需證明式（10）成立，由式（10）可直接推得式（9）成立.由于當(dāng)n＞b（ε）時(shí)有εgs（n）＞ε1－rs.利用L’Hospital法則，并注意到r＞1／s，類(lèi)似命題1的證明，有

命題4 在定理1的條件下，有：

證明：由于由式（12）可直接推得式（11）成立，因此只需證明式（12）成立即可.由于當(dāng)n＞b（ε）時(shí)，有εgs（n）＞ε1－rs，因此要證明式（12）成立，只需證明下式成立即可：

而對(duì)任意的x＞－1，都有l(wèi)og（1＋x）≤x.因此要證明式（12），只需證明下式成立：

從而命題4成立.

由命題1～命題4及三角不等式可證明定理1成立.

2.2 定理2的證明

令d（ε）＝［g－1（Mε－1／s）］，其中g(shù)－1（x）為g（x）的反函數(shù)，M≥1.

證明：類(lèi)似命題1的證明，考慮積分和級(jí)數(shù)之間的關(guān)系.如果h（y）單調(diào)非增，則h（y）P｛N≥εgs（y）｝也單調(diào)非增，從而有

進(jìn)一步有

命題6 在定理2的條件下，有

證明：由引理1，注意到假設(shè)條件（H1）和（H2），與命題2的證明過(guò)程類(lèi)似可證.

命題8 在定理2的條件下，有

證明：與命題4的證明過(guò)程類(lèi)似.

由命題5～命題8及三角不等式可證明定理2成立.

［1］楊金英.ρ－混合序列部分和之和乘積的漸近分布 ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2012，50（2）：258－262.（YANG Jinying.Asymptotic Distribution of Products of Sums of Partial Sums underρ－Mixing Sequences ［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2012，50（2）：258－262.）

［2］付艷莉，吳群英.強(qiáng)混合序列部分和之和乘積的幾乎處處中心極限定理 ［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2010，45（8）：104－108.（FU Yanli，WU Qunying.Almost Sure Central Limit Theory for the Products of Sums of Partial Sums under Strong Mixing Sequences［J］.Journal of Shandong University：Natural Science，2010，45（8）：104－108.）

［3］ZHANG Yong，YANG Xiaoyun，DONG Zhishan.An Almost Sure Central Limit Theorem for Products of Sums of Partial Sums under Association［J］.J Math Anal Appl，2009，355（2）：708－716.

［4］Gut A，Spǎtaru A.Precise Asymptotics in the Baum－Katz and Davis Laws of Large Numbers［J］.J Math Anal Appl，2000，248（1）：233－246.

［5］Gut A，Spǎtaru A.Precise Asymptotics in the Law of the Iterated Logarithm ［J］.Ann Probab，2000，28（4）：1870－1883.

［6］ZHANG Yong，YANG Xiaoyun，DONG Zhishan.A General Law of Precise Asymptotics for the Complete Moment Convergence［J］.Chin Ann Math：Ser B，2009，30（1）：77－90.

［7］譚希麗，邢楠，董志山.B值m相依隨機(jī)變量列生成平均移動(dòng)過(guò)程精確漸近性的一般形式 ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2011，49（1）：27－32.（TAN Xili，XING Nan，DONG Zhishan.General Result on Precise Asymptotics for Moving Average Processes of m－Dependent B－Valued Elements ［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2011，49（1）：27－32.）

［8］LI Jie.Precise Asymptotics of Moving Average Process underφ－Mixing Assumption ［J］.J Korean Math Soc，2012，49（2）：235－249.

［9］孫曉祥，楊麗娟.獨(dú)立情形下一階矩收斂的精確漸近性的注記 ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2013，51（5）：871－875.（SUN Xiaoxiang，YANG Lijuan.A Note on the Precise Asymptotics for the First Moment Convergence of i.i.d.Random Variables［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2013，51（5）：871－875.）