求解Black－Scholes模型下美式回望看跌期權(quán)的有限差分法

李 庚，朱本喜，張 琪，宋海明

（吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)春130012）

0 引 言

回望期權(quán)［1］是一種依賴于路徑的期權(quán).令S，t，σ，r，q，T和J分別表示原生資產(chǎn)價(jià)格、時(shí)間、原生資產(chǎn)波動(dòng)率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、原生資產(chǎn)紅利率、期權(quán)的到期日和0時(shí)刻到t時(shí)刻原生資產(chǎn)價(jià)格的最大值，則美式回望看跌期權(quán)P（S，J，t）滿足的Black－Scholes模型［2－3］為：

其中B（t）為美式回望看跌期權(quán)的最佳實(shí)施邊界，它把美式期權(quán)的求解區(qū)域分成兩部分：S＞B（t）為持有區(qū)；S≤B（t）為實(shí)施區(qū)；B（T）＝max｛ln（q／r），0｝.

求解Black－Scholes模型下美式回望看跌期權(quán)定價(jià)問(wèn)題目前主要存在以下困難：

1）問(wèn)題（1）是一個(gè)空間變量為二維的非線性問(wèn)題，難以直接求解；

2）左端的最佳實(shí)施邊界B（t）是一條未知曲線，空間求解區(qū)域?yàn)樾螤畈灰?guī)則的無(wú)界區(qū)域；

3）期權(quán)價(jià)格P（S，J，t）和最佳實(shí)施邊界B（t）存在相關(guān)性，難以給出同時(shí)求出兩者的數(shù)值方法.

針對(duì)1），2），本文采用降維變換［4］和Landau’s變換［5］，最終將問(wèn)題（1）化成一個(gè)［0，1］區(qū)間上的一維拋物問(wèn)題.對(duì)于3），采用有限差分法和Newton法交替迭代求解離散后的方程組，進(jìn)而得到期權(quán)價(jià)格P（S，J，t）和最佳實(shí)施邊界B（t）.

1 降維變換

由于方程（1）是一個(gè)二維空間上的拋物問(wèn)題，因此為簡(jiǎn)化模型，可通過(guò)變量替換

將美式回望看跌期權(quán)定價(jià)問(wèn)題（1）轉(zhuǎn)化為一個(gè)自由邊值問(wèn)題：

其中：

至此已解決了第一個(gè)難點(diǎn)，將方程（1）化成了一維拋物問(wèn)題.同時(shí)，也部分解決了第二個(gè)難點(diǎn)，觀察方程（3）可見(jiàn)，它的求解區(qū)域已化為一個(gè)有界區(qū)域.然而其右邊界仍然是一條未知曲線.

2 Landau’s變換

通過(guò)Landau’s變換

可將問(wèn)題（3）化為如下有界規(guī)則區(qū)域上的拋物問(wèn)題：

為描述簡(jiǎn)便，做如下變換：

將方程（6）由倒向問(wèn)題化為正向問(wèn)題：

至此已解決了第二個(gè)難點(diǎn).美式回望看跌期權(quán)定價(jià)問(wèn)題（1）已轉(zhuǎn)化為一個(gè)［0，1］區(qū)間上的拋物問(wèn)題.該問(wèn)題可采用有限差分法［6－8］進(jìn)行數(shù)值求解.

3 數(shù)值解法

下面考慮求解方程（8）的有限差分法.記時(shí)間剖分

空間剖分

差分近似

任給0＜m≤M，方程（8）的θ格式差分離散形式為

給定bm的一個(gè)初值，可利用方程（9）求解um；已知um，可通過(guò)Newton法解方程（10）得到bm的一個(gè)更好近似，這兩步交替求解，便可得到um和bm的逼近結(jié)果.由于期權(quán)的價(jià)格非負(fù)，故要求算法求得的數(shù)值解非負(fù).

定理1 假設(shè)

證明：為簡(jiǎn)單，只對(duì)向后Euler格式（θ＝0）給出證明.把方程組（9）寫(xiě)成如下形式：

其中：

下面考慮如何求解bm.注意到um是關(guān)于bm的非線性函數(shù)，根據(jù)方程（10）可知，可視為bm的隱函數(shù)：

采用Newton法求解非線性方程（13），其中

算法如下：

1）b（0）＝bm－1＋km，1＜m≤M；

2）對(duì)于j＝1，2，…：

3）求解AU＝F，得到U的最佳逼近.

實(shí)際計(jì)算時(shí)，取ε＝10－6.

4 數(shù)值算例

下面給出一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證本文算法的有效性.考慮一支一年期的美式回望看跌期權(quán)，假設(shè)原生資產(chǎn)的波動(dòng)率σ＝0.2，紅利率q和銀行利率r分別取以下3種情形：1）當(dāng)r＜q時(shí)，r＝0.025，q＝0.05；2）當(dāng)r＝q時(shí)，r＝q＝0.05；3）當(dāng)r＞q時(shí)，r＝0.1，q＝0.05.

圖1 FDM法得到的最佳實(shí)施邊界Fig.1 Optimal exercise boundary obtained by FDM

圖2 二叉樹(shù)法得到的最佳實(shí)施曲面Fig.2 Optimal exercise surface obtained by binomial method

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