具周期外力的Van der Pol方程的周期解

曲婧佳，周 冉，黃開銀

（1.空軍航空大學(xué) 基礎(chǔ)部，長春130022；2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長春130012；3.吉林大學(xué) 農(nóng)學(xué)部，長春130062）

0 引 言

考慮如下具周期外力的Van der Pol方程［1］：

方程（1）描述了如圖1所示的非線性電子線路，其中：C表示電容；μ表示與電感線圈有關(guān)的量；Vs表示輸入電壓；V表示輸出電壓；ψ（i）表示電子線路的伏安特征曲線，這里選取

在實際電路中，C和μ通常都非常小，因此方程（1）實際是帶有兩個小參數(shù)的奇異攝動問題.為討論方便，作時間尺度變換s＝Ct，則方程（1）變?yōu)?/p>

其中ε＝μ／C，一般假設(shè)ε充分小.

Van der Pol方程是一種經(jīng)典的自激振蕩電路系統(tǒng)，不僅在各種復(fù)雜的動力系統(tǒng)建模中廣泛使用，而且在物理學(xué)、生物學(xué)、電子學(xué)和經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.文獻［3］給出了具周期外力Van der Pol方程極限環(huán)的存在性和唯一性；文獻［4］研究了在周期外力作用下Van der Pol振蕩系統(tǒng)所產(chǎn)生的同步現(xiàn)象和混沌現(xiàn)象；文獻［5］給出了方程（2）脈沖型解的定義，并探討了脈沖型解的存在性和穩(wěn)定性；文獻［6］利用匹配漸近展開法給出了方程（2）脈沖型解的一致有效漸近逼近，并討論了脈沖型解中脈沖的個數(shù).

重正化群方法［7－10］是處理微分方程中不規(guī)則現(xiàn)象的主要工具.本文利用建立在包絡(luò)理論上的重正化群方法構(gòu)造方程（2）脈沖型解一致有效的漸近展開式，并給出脈沖型解形成一個脈沖所用的時間.

圖1 非線性電子線路Fig.1 Nonlinear electronic circuit

1 主要結(jié)果

為簡單，令

則方程（2）變?yōu)?/p>

如圖2所示，分4段構(gòu)造方程（3）脈沖型解的一致有效逼近.設(shè)解從A點出發(fā)，即初值條件為

其中

1）y＞0，此時ψ（y）＝K1y.方程（3）變?yōu)?/p>

做時間伸縮變換τ＝t／ε，則方程（5）變?yōu)?/p>

圖2 構(gòu)造過程Fig.2 Construction process

考慮方程（6）滿足如下初始條件的解：

設(shè)

將式（8）代入式（6），對比ε的同次冪系數(shù)，并分別解出xi（τ），yi（τ）（i＝0，1，2），再代回式（8）得

其中：A，B為任意常數(shù)；τ0為初始時間.

根據(jù)文獻［7－8］的結(jié)果知，方程（6）的重正化群方程為

即

即

從而

由式（7）得

設(shè)

將式（10）代入式（9）并對比ε同次冪系數(shù)，得

從而

假設(shè)解從A到B所用的時間為t1，則

設(shè)

（2）規(guī)范化數(shù)據(jù)格式。包括對不規(guī)范數(shù)據(jù)項進行字段格式約束定義或數(shù)據(jù)驗證，對特殊的數(shù)據(jù)項進行合并或拆分處理。如influenza_aa.dat中的第8列是核酸序列的名稱，如 “InfluenzaAvirus (A/swine/Illinois/A01240575/2013(H3N2))”，由于數(shù)據(jù)存儲和檢索分析的需要，需要將該數(shù)據(jù)項拆分為四個字段來存儲：類型(A)、序列名稱(A/swine/Illinois/A01240575/2013)、H 血清型(3)和 N 血清型(2)。

則由式（11），（12）知，p1，q1和r1滿足如下方程：

于是

其中：

考慮方程（18）從B點出發(fā)的解，即滿足初值條件

的解.設(shè)

假設(shè)解從A到C所用的時間為t2，則

設(shè)

則由式（21），（22）知，p2，q2滿足如下方程：

于是

其中：

3）y＜0，此時ψ（y）＝K1y＋（K2－K1）i0.令a＝（K1－K2）i0，用類似于1）的方法可得

假設(shè)解從A到D所用的時間為t3，則

設(shè)

則由式（26），（27）知，p3，q3和r3滿足如下方程：

于是

其中：

4）y＜0，此時ψ（y）＝K2y.計算方法同1），解得

假設(shè)解從A到E所用的時間為t4，則

設(shè)t4＝t3＋p4εlnε＋q4ε＋…，則由式（32），（33）知，p4，q4滿足如下方程：

于是xⅣ（t4）＝α4＋β4εlnε＋γ4ε＋…，其中

若該解是周期解，點E必須與點A重合，從而有β0＝β4，γ0＝γ4.

綜上，可得：

定理1 假設(shè)對周期輸入函數(shù)f（t），系統(tǒng)（2）至少存在具有一個脈沖的脈沖型解，則該解形成一個脈沖所用的時間為t0＝p＋qεlnε＋rε＋…，其中：

p1，p2，p3，p4，q1，q2，q3，q4，r1，r3分別由式（14），（23），（28），（34），（15），（24），（29），（35），（16），（30）給出.

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