一類(lèi)分?jǐn)?shù)階橢圓型方程解的存在性

關(guān)麗紅，常 晶，趙 昕

（1.長(zhǎng)春大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春130022；2.空軍航空大學(xué) 基礎(chǔ)部，長(zhǎng)春130022；3.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春130118）

考慮如下分?jǐn)?shù)階橢圓型方程Dirichlet邊值問(wèn)題：

其中：Ω??N（N≥2）是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域；（－Δ）s表示分?jǐn)?shù)階Laplace算子，s∈（0，1）；f∈C（ˉΩ×?，?）.目前，關(guān)于分?jǐn)?shù)階橢圓型方程解的存在性與多重性研究已有許多結(jié)果［1－6］.分?jǐn)?shù)階Laplace算子（－Δ）s是Lévy穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散過(guò)程的無(wú)窮小生成元［7］，在美式期權(quán)、人口動(dòng)力學(xué)和黏彈性力學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［8－10］.本文研究分?jǐn)?shù)階橢圓型方程Dirichlet邊值問(wèn)題（1）非平凡解的存在性，應(yīng)用推廣形式的山路定理，在非線性項(xiàng)滿足漸近線性增長(zhǎng)的情形下得到了問(wèn)題（1）非平凡解的存在性.

本文主要結(jié)果如下：

注1 文獻(xiàn)［3，5］分別研究了分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程（－Δ）su＋V（x）u＝f（x，u）在非線性項(xiàng)滿足漸近線性增長(zhǎng)和超線性增長(zhǎng)時(shí)解的存在性；文獻(xiàn)［6］在非線性項(xiàng)滿足超線性增長(zhǎng)時(shí)得到了分?jǐn)?shù)階Laplace方程（－Δ）su＝f（x，u）解的多重性；文獻(xiàn)［1］在非線性項(xiàng)滿足臨界增長(zhǎng)時(shí)，得到了問(wèn)題（1）解的多重性；文獻(xiàn)［2］在非線性項(xiàng)滿足超線性增長(zhǎng)時(shí)，得到了問(wèn)題（1）解的多重性.本文在非線性項(xiàng)滿足漸近線性增長(zhǎng)時(shí)，研究問(wèn)題（1）非平凡解的存在性.

通常如果I∈C1（E，?），并且序列｛un｝?E 滿足I（un）→c，（1＋‖un‖）‖I′（un）‖→0當(dāng)n→＋∞，則稱(chēng)｛un｝為泛函I的一個(gè)Cerami序列，簡(jiǎn)記為（C）c序列.如果I的每個(gè)Cerami序列都有強(qiáng)收斂子列，則稱(chēng)I滿足（C）c條件.

下面證明定理1.由假設(shè)（H1）～（H3）易知泛函J具有山路幾何，即：

1）存在r，δ＞0，使得對(duì)所有滿足‖u‖＝r的u∈Hs0（Ω），都有J（u）≥δ；

2）J（tφ1）→－∞，t→＋∞.

為了應(yīng)用定理2，只需證明泛函J滿足（C）c條件.取｛un｝n∈??Hs0（Ω）為（C）c序列，即

往證序列｛un｝在Hs0（Ω）中一致有界.事實(shí)上，若不然，不妨設(shè)‖un‖→＋∞（n→＋∞）.由式（2）可得

由假設(shè)（H4），對(duì)任意的ε＞0，存在M＞0，使得

令zn＝un／‖un‖2.則存在｛zn｝的子列（不妨仍記為｛zn｝）及z0∈（Ω），使得zn?z0，且zn（x）→z0（x），a.e.x∈Ω.由式（4）可得因此，存在Ω1?Ω，使得且z0（x）≠0，a.e.x∈Ω1.因此，對(duì)a.e.x∈Ω1，有

這與式（3）矛盾.因此｛un｝在（Ω）中有界，從而利用標(biāo)準(zhǔn)的討論可知，存在u0∈（Ω），使得又由假設(shè)（H3）和Fatou引理可得應(yīng)用定理2，顯然u0即是問(wèn)題（1）的非平凡弱解.證畢.

衷心感謝吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院李勇教授的鼓勵(lì)和悉心指導(dǎo).

［1］Barrios B，Colorado E，Pablo A，de，et al.On Some Critical Problems for the Fractional Laplacian Operator［J］.J Differential Equations，2012，252（11）：6133－6162.

［2］Br?ndle C，Colorado E，Pablo A，de.A Concave－Convex Elliptic Problem Involving the Fractional Laplacian［J］.Proc Roy Soc Edinburgh Sect A，2013，143（1）：39－71.

［3］CHANG Xiaojun.Ground State Solutions of Asymptotically Linear Fractional Schr?dinger Equations［J］.J Math Phys，2013，54（6）：061504.

［4］CHANG Xiaojun，WANG Zhiqiang.Ground State of Scalar Field Equations Involving a Fractional Laplacian with General Nonlinearity［J］.Nonlinearity，2013，26（2）：479－494.

［5］Felmer P，Quaas A，TAN Jinggang.Positive Solutions of Nonlinear Schr?dinger Equation with the Fractional Laplacian［J］.Proc Roy Soc Edinburgh Sect A，2012，142（6）：1237－1262.

［6］Servadei R，Valdinoci E.Mountain Pass Solutions for Non－local Elliptic Operators［J］.J Math Anal Appl，2012，389（2）：887－898.

［7］Bertoin J.Lévy Processes［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1996.

［8］Applebaum D.Lévy Processes－From Probability to Finance and Quantum Groups［J］.Notices Amer Math Soc，2004，51（11）：1336－1347.

［9］Garroni A，Müller S.Γ－Limit of a Phase－Field Model of Dislocations［J］.SIAM J Math Anal，2005，36（6）：1943－1964.

［10］Valdinoci E.From the Long Jump Random Walk to the Fractional Laplacian［J］.Bol Soc Esp Mat Apl SMA，2009，49：33－44.

［11］Rabinowitz P H.Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations［M］.Vol.65.Providence，RI：American Mathematical Society，1986.

［12］Schechter M.A Variation of the Mountain Pass Lemma and Applications［J］.J London Math Soc，1991，44（3）：491－502.