分離變量法在求解波動方程中的應(yīng)用

王平心

【摘 要】分離變量法又稱傅里葉級數(shù)法，它是求解數(shù)學物理方程定解問題的最常用和最基本的方法之一。該方法的基本思想是將偏微分方程的定解問題轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問題。將方程中含有各個變量的項分離開來，從而將原方程拆分成多個更簡單的只含一個自變量的常微分方程。它能夠求解相當多的定解問題，特別是對一些常見區(qū)域上混合問題和邊值問題，都可以用分離變量法試著求解。本文將討論分離變量法在求解波動方程中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】分離變量法;波動方程;求解

0 引言

自然界很多物理現(xiàn)象都可以歸結(jié)為波動問題，在機械工程中經(jīng)常遇到的振動問題，可歸結(jié)為機械波;在船舶工業(yè)中使用的聲納，可歸結(jié)為聲波問題;在廣播領(lǐng)域和光學領(lǐng)域，可歸納出電磁波。他們都具有相同的數(shù)學物理基礎(chǔ)，并且可以用一個式子表示：

我們稱它為波動方程，因為它描述了自然界的波動這種運動形式，其中△為拉普拉斯算子。△中，變量的個數(shù)表示波動船舶空間的維數(shù)，現(xiàn)實生活中的波動，一般都是三維的。但是為了研究方便，我們先討論一維的波動。

分量變量法是求解數(shù)學物理方程的一種重要方法，這種方法的基本思想是把求解偏微分方程的混合問題，經(jīng)過變量分離，轉(zhuǎn)化為求解兩個或多個只含一個變量的常微分方程的初值問題，使原問題得到簡化，這是一種很常用的方法。它通常用來求解有限區(qū)域（區(qū)間）上的邊值問題或初邊值問題。利用高數(shù)知識、級數(shù)求解知識，以及其他巧妙的方法，求出各個方程的通解。最后將這些通解“組裝起來”。分離變量法又稱Fourier方法，而在波動方程情形也稱為駐波法。

1 變量分離法的基本步驟

第一步：邊界條件齊次化。

如果關(guān)于未知函數(shù)u的混合問題中的邊界條件不是齊次的，那么選取一個與u具有相同邊界條件的已知函數(shù)，作變換u=v+w，代入關(guān)于u的混合問題，導出新的未知函數(shù)v的混合問題，這時v所滿足的邊界條件就是齊次的了。當方程中的非齊次項與初始條件都與t無關(guān)時，可以選擇合適的變換讓方程與邊界條件同時齊次化。

第二步：非齊次方程的處理。

若此時方程是非齊次的，可以利用疊加原理將問題轉(zhuǎn)化一個齊次方程非齊次的初始條件與一個非齊次方程齊次初始條件的方程之和，而對齊次方程非齊次的初始條件的方程可以利用下面的步驟直接利用變量分量法，對非齊次方程齊次初始條件的方程可以利用特征函數(shù)法將方程的自由項及解都按齊次方程所對應(yīng)的一族特征函數(shù)展開進行求解。

第三步：建立特征值問題并求其解。

設(shè)vx，t=XxTt，代入關(guān)于v的混合問題所對應(yīng)的齊次方程及齊次邊界條件，經(jīng)過變量分離后，可得關(guān)于Xx的特征值問題，求出特征值λn和特征函數(shù)Xnx。一般要分三種情況進行討論，并得到滿足定解問題中方程和邊界條件的變量分離解。

第四步：求解關(guān)于v的混合問題。

設(shè)該問題的解為特征函數(shù)的級數(shù)vx，t=XxTt。將其代入v所滿足的方程及初始條件，從中可分離出待定函數(shù)Tn（t）所滿足的常微分方程的初值問題，求出Tn（t）后可得v（x，t）。

第五步：求解關(guān)于u的混合問題。

將所求得的v代入u=v+w，便得關(guān)于u的混合問題的解。

上述求解過程可以用圖1來表示。

圖1

而孌量分量的過程也可以用一個圖來表示，下面我們以兩端固定的齊次邊界為例來說明一下變量分量的過程。

圖2 兩端固定邊界條件的波動方程分離變量過程圖

2 應(yīng)用舉例

用變量分離法求解下面波動方程的混合問題：

分析：由于方程和邊界條件都是非齊次的，因此首先應(yīng)將邊界條件齊次化. 注意到方程中的自由項及邊界條件都與t無關(guān)， 因此可適當選取一個與t無關(guān)的輔助函數(shù)w（x），使得新的未知函數(shù)的方程和邊界條件都是齊次的。

解：令u（x，t）=v（x，t）+w（x）（4）

將（4）代入（1），整理得（下轉(zhuǎn)第85頁）

vtt=a2vxx+a2w″x+A（5）

為了使方程（5）及邊界條件同時齊次化，取w（x）滿足

a2w″x+A=0w0=0，wl=B

求解這個常微分方程定解問題，得

于是作代換

將（6）代入原定解問題得

這是一個具有齊次邊界條件的線性齊次方程的定解問題，采用分離變量法，可得其解為

其中

3 總結(jié)

分離變量法是求解有界區(qū)域上的線性偏微分方程定解問題的基本方法，它不僅適用于波動方程，而且也適用于熱傳導方程和位勢方程。本文針對數(shù)學物理方程的一波動方程定解問題，總結(jié)了分離變量法求解方法及步驟。

[責任編輯：薛俊歌]