在立體幾何中直線與平面的角的求解方法

孔德龍

摘要：立體幾何的知識(shí)是高考的考點(diǎn)，也是同學(xué)們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。在立體幾何的知識(shí)當(dāng)中，直線和平面所成的角（簡(jiǎn)稱：線面角）的求解時(shí)很多同學(xué)一致認(rèn)為的難點(diǎn)。在這樣的情況下，需要我們對(duì)它的求解方法進(jìn)行掌握，這樣才能夠培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)思維，幫助我們快速的解題，提高數(shù)學(xué)的成績(jī)。本文主要對(duì)立體幾何中直線與平面的角的求解方法：三棱錐中線面角的求法、利用平面垂線的性質(zhì)來求角、公式法和利用轉(zhuǎn)化的思想來求角這四種方法進(jìn)行分析和探討，為同學(xué)們解決立體幾何中線面角的求解，提供參考和幫助。

關(guān)鍵詞：立體幾何；線面角；求解

立體幾何的知識(shí)也是高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)知識(shí)，也是必考的題目。在高中的數(shù)學(xué)當(dāng)中，立體幾何所包含的知識(shí)點(diǎn)是非常多的，最典型的內(nèi)容就是線面角的計(jì)算。在立體幾何中，線面角是較為常見的考題之一，可是有的同學(xué)由于本身的空間思維和自己的邏輯思維能力比較差，因此在這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，會(huì)非常的吃力，難以對(duì)線面角的角度進(jìn)行正確的計(jì)算，導(dǎo)致題目在解答的時(shí)候出現(xiàn)錯(cuò)誤，造成了不必要的失分，影響了自己的成績(jī)。在這樣的情況下，同學(xué)們?cè)谶M(jìn)行立體幾何線面角的學(xué)習(xí)時(shí)，要掌握計(jì)算的方法，這樣才能夠幫助我們提高自己的數(shù)學(xué)成績(jī)，同時(shí)也提高我們的數(shù)學(xué)思維。

一、三棱錐中線面角的求法

在進(jìn)行立體幾何線面角的計(jì)算式，解法的重點(diǎn)在于我們自己是否能夠明確地找出直線和平面所形成的夾角。有的同學(xué)自己的空間思維能力是不足的，因此沒有辦法正確的找到直線和平面所形成的夾角，因此在解題的時(shí)候容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如我們?cè)谌忮F中求解，下面小的時(shí)候就應(yīng)該首先對(duì)底面進(jìn)行確定，然后經(jīng)過頂點(diǎn)做底面的垂線，形成直線在底面上的投影，然后再對(duì)角度展開相關(guān)的計(jì)算，在這個(gè)過程當(dāng)中，要注意線面角的角度必須為銳角或者直角，不能夠出現(xiàn)鈍角。

二、利用平面垂線的性質(zhì)

我們?cè)诮鉀Q線面角度問題的時(shí)候，也可以選擇利用平面垂線的性質(zhì)來幫助我們進(jìn)行解答。首先，我們應(yīng)該建立一個(gè)和所求的平面垂直的平面，并且使得這一個(gè)平面經(jīng)過我們所求的直線。一般來說，經(jīng)過所做平面和直線相交的點(diǎn)做所求平面的垂線是接下來要完成的步驟，然后連接垂足和斜足，所得到的角就是求解的線面角。利用平面垂線的性質(zhì)來幫助我們解決問題是比較常用的一種方法，但是也是同學(xué)們?cè)谇蠼庵斜容^容易忽略的一種方法，因?yàn)楹芏嗑€面角所形成的角都不是直角，因此很少同學(xué)會(huì)把它和平面的垂線進(jìn)行聯(lián)系. 有的同學(xué)即使懂得使用這種方法，也會(huì)因?yàn)榇棺愫托弊阒g的區(qū)分問題和尋找問題出現(xiàn)困難重重的現(xiàn)象[1]。

三、公式法

公式法在立體幾何中求解，直線和平面的角也是比較常用的一種方法，它主要是利用老師所教授的公式來對(duì)線面角的角度進(jìn)行求解，也就是我們常說的三余弦定理，但是這個(gè)定理一般是用在填空題和選擇題當(dāng)中比較多，因此對(duì)于公式的熟練掌握，可以幫助我們快速的解決問題。所謂的三余弦定理，指的是設(shè)有一個(gè)平面，并且存在一個(gè)斜線l，斜線和平面是香蕉的，并且它們所形成的夾角記為∠l，平面內(nèi)的直線m和ll在平面上的投影我們記為l，它們的夾角是∠2，l和m所形成的夾角記為α，那么就會(huì)存在計(jì)算公式：cosα=cos1cos2。這個(gè)定理也就是最小角定理，或者是爪子定理，主要用來對(duì)平面斜線和平面內(nèi)直線所形成的最小角來進(jìn)行求解，我們?cè)诶眠@種方法，對(duì)題目進(jìn)行解答的時(shí)候要注意∠1和∠2都必須是銳角。

四、利用轉(zhuǎn)化的思想來進(jìn)行解題

我們利用轉(zhuǎn)化的思維來進(jìn)行題目的解答是，主要是把下面的角度問題轉(zhuǎn)化成對(duì)斜線上一點(diǎn)到平面之間的距離進(jìn)行求解的問題，然后再通過正弦、余弦、正切這三個(gè)定理來求出相應(yīng)的角度。在這樣的情況下，就需要同學(xué)們熟練地對(duì)特殊角度進(jìn)行掌握，例如30°、60°和90°的正弦值、余弦值和正切值，這樣才能夠幫助我們更加快速的解決相應(yīng)的問題。除了對(duì)特殊角度的正弦、余弦和正切值進(jìn)行掌握之外，對(duì)于非特殊角度的三個(gè)值計(jì)算方法也要進(jìn)行掌握，這樣才能夠更好地應(yīng)對(duì)各種各樣的計(jì)算問題。

五、結(jié)語

對(duì)于很多同學(xué)來說，我們?cè)趯W(xué)習(xí)立體幾何的時(shí)候，直線和平面之間的角進(jìn)行求解是很多同學(xué)一致覺得的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，其主要的原因是同學(xué)們本身的空間思維和邏輯思維就比較缺乏，對(duì)于線面角的定義把握不夠準(zhǔn)確，因此沒有辦法正確地找到直線和平面所形成的夾角，從而阻礙了解題思路的進(jìn)行。在這樣的情況下，我們?cè)谌粘５膶W(xué)習(xí)中應(yīng)該不斷的通過練習(xí)，培養(yǎng)自己對(duì)線面角進(jìn)行尋找的能力，同時(shí)也加強(qiáng)我們解題思路的養(yǎng)成，讓我們自己可以在比較短的時(shí)間內(nèi)對(duì)立體幾何中哪一個(gè)角是自己所要求的線面角進(jìn)行合理的判斷[2]。除此之外，還要不斷的鍛煉我們自己做輔助線的能力。如果我們能夠把上述的能力都進(jìn)行切實(shí)的提高，那么在解決立體幾何的問題是對(duì)線面角的尋找就不會(huì)是我們的難點(diǎn)。同時(shí)，我們的解題速度和解題的正確率都會(huì)得到明顯的提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]周義.基于高中數(shù)學(xué)立體幾何線面角的計(jì)算解法研究[J].讀寫算：教育教學(xué)研究，2015（50）

[2]田宏偉.高中數(shù)學(xué)立體幾何線面角的計(jì)算解法舉例[J].軟件：電子版，2014（6）：221-221