論職業(yè)中學(xué)立體幾何中的過程性教學(xué)

余春輝

摘 要： 立體幾何作為職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的一部分，它具有一定的形式符號(hào)化的抽象性和概括性等特征，又是促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的重要學(xué)習(xí)載體.

關(guān)鍵詞： 立體幾何 幾何定理 形成過程 探索過程 轉(zhuǎn)化思想

學(xué)好立體幾何對(duì)于提高職業(yè)學(xué)校學(xué)生的空間思維能力有著很大的作用.我結(jié)合自己平時(shí)的一些教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就立體幾何中的定理的“過程教學(xué)”作探討.

一、揭示幾何定理的形成過程

幾何定理的發(fā)現(xiàn)實(shí)際上經(jīng)歷了曲折的猜想、試驗(yàn)、歸納等一系列探索過程，這個(gè)過程是發(fā)現(xiàn)者的思維過程.教師在備課時(shí)，要有意識(shí)地通過各種合適的方式創(chuàng)設(shè)情境，從特例出發(fā)，使學(xué)生從不同的側(cè)面觀察、歸納和猜想特例的共性，為運(yùn)用定理奠定基礎(chǔ).

1.從實(shí)際生活的角度

例如，為了使學(xué)生發(fā)現(xiàn)“直線與平面平行的判定定理”這一內(nèi)容，可以提出如下問題：當(dāng)門關(guān)著時(shí)，門的四邊與門框在同一平面內(nèi)，對(duì)邊平行，鄰邊相交；當(dāng)門打開時(shí)，門的四邊所在的直線和門框所在的平面什么關(guān)系？

2.從實(shí)驗(yàn)的角度

例如“對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)”，我從操作實(shí)踐角度入手，布置學(xué)生用搭積木、捏橡皮泥或用紙板方式制作各種類型的幾何體模型.從制作過程中，認(rèn)識(shí)相同類型的幾何體，讓學(xué)生體會(huì)“有六個(gè)面，十二條棱，八個(gè)頂點(diǎn)”的“幾何體”并不一定是長(zhǎng)方體，還可能是棱柱或是平行六面體，等等.然后，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次的觀察、比較、交流，分別指出柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，逐步歸納形成各種幾何體的結(jié)構(gòu)概念框架.這樣不但激發(fā)了學(xué)生探求的興趣，而且使他們從被動(dòng)學(xué)習(xí)知識(shí)變?yōu)橹鲃?dòng)吸收知識(shí)，增強(qiáng)了應(yīng)用知識(shí)的靈活性.

3.從轉(zhuǎn)化的角度

立體幾何的學(xué)習(xí)，主要是充分運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”這種數(shù)學(xué)思想，要明確在轉(zhuǎn)化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯(lián)系，這是非常關(guān)鍵的.例如：①兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點(diǎn)引兩條異面直線的平行線.斜線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內(nèi)的射影所成的角.②異面直線的距離可以轉(zhuǎn)化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉(zhuǎn)化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉(zhuǎn)化.而面面距離可以轉(zhuǎn)化為線面距離，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，點(diǎn)面距離又可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離.

二、揭示幾何定理的探索過程

許多數(shù)學(xué)原理（公式、定理等）的推導(dǎo)、證明方法，具有典型性，往往代表了典型的解題方法和思想，有益于學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的深化鞏固。在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)將證明思路的探索過程盡可能地暴露在學(xué)生面前，有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生多角度探索思路、多渠道推導(dǎo)公式、定理，使學(xué)生在聯(lián)系新舊知識(shí)、掌握正確解題思路的同時(shí)，逐步掌握分析問題和解決問題的思想方法.

1.歸納探索

例如，圓柱的表面積公式推導(dǎo)，首先預(yù)習(xí)，讓學(xué)生在頭腦中建立表面積的概念，教學(xué)中，讓學(xué)生自己獲取圓柱體表面積是由一個(gè)曲面和兩個(gè)圓組成的，通過學(xué)生動(dòng)手操作真正建立起了表面積的概念.接著尋找圓柱體表面積的計(jì)算方法是這一教學(xué)的難點(diǎn)，側(cè)面是一個(gè)曲面（此時(shí)教師再一次出示圓柱體模型教具，并指出側(cè)面部分，讓學(xué)生摸一摸，感知曲面），由例題進(jìn)入具體情境，展示圓柱的側(cè)面展開圖，沿著高將側(cè)面展開后學(xué)生觀察是什么圖形？這就叫“化曲為直”.抓住聯(lián)系，曲面展開是一個(gè)長(zhǎng)方形，此時(shí)讓學(xué)生邊演練邊觀察找出它們之間的聯(lián)系.通過操作學(xué)生切實(shí)探索出了兩者之間的聯(lián)系，攻克了難點(diǎn).

2.實(shí)驗(yàn)探索

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和物理實(shí)驗(yàn)、化學(xué)實(shí)驗(yàn)相比，不僅需要?jiǎng)邮?，更需要?jiǎng)幽X，思考量大是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本特征.例如，直線與平面垂直的判定定理，傳統(tǒng)教材的證明非常漂亮，非常經(jīng)典，在證明過程中也滲透了許多的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也能夠?qū)W到許多研究幾何的方法.但不可否認(rèn)的是，在這個(gè)證明方法的探究中，學(xué)生能發(fā)揮的地方不多，教師的引導(dǎo)必不可少.而要使學(xué)生更深刻地理解應(yīng)用定理，實(shí)驗(yàn)探索是很好的教學(xué)方式.實(shí)驗(yàn)過程如下：

步驟1：請(qǐng)同學(xué)們拿出課前先準(zhǔn)備好的三角形的紙片，過A頂點(diǎn)翻折紙片（任意翻折），得到折痕AD，將翻折后紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？

步驟2：通過以上實(shí)驗(yàn)，容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，AD所在直線與桌面所在平面垂直.

步驟3：（1）由折痕AD，翻折之后垂直關(guān)系如何？由此你能得到什么結(jié)論？

（2）直線BD、CD的位置關(guān)系；

（3）折痕AD所在直線與桌面所在平面上的一條直線垂直，就可以判斷AD垂直平面嗎？

步驟4：得出結(jié)論：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.通過這樣的過程，學(xué)生更能夠理解和應(yīng)用定理了.

3.演繹探索

這是幾何定理證明的最常用的方法，例如線面平行時(shí)我們可以通過線線平行或者面面平行進(jìn)行證明.線面平行若通過線線平行證明必須找到平面中的一條線與已知直線平面，可以通過中位線，平行四邊形等方式來找，若通過面面平行來證明線面平行，必須找到一個(gè)平面中的兩條相交直線和平面平行，從而說明線面平行.顯然，通過線線平行證明線面平行比通過面面平行證明線面平行方便，所以線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行是我們常用的方法.

三、轉(zhuǎn)化思想，重視立體幾何向平面幾何轉(zhuǎn)化的過程

轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的基本思想.它將新的問題轉(zhuǎn)化為已知問題；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀問題；將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或幾個(gè)簡(jiǎn)單問題，最終將不易解決的問題轉(zhuǎn)化為易于解決的問題.

在數(shù)學(xué)定理的教學(xué)中，通過過程性的變式引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，有效探索，克服思維定勢(shì)，激勵(lì)思維的創(chuàng)造性，找到解決問題的最佳方案，不僅使學(xué)生學(xué)到新知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)他們的探索精神，并逐漸掌握學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法.