蘇科版初中數(shù)學(xué)求二次函數(shù)最值問題商榷

馬廣蘭

摘 要：在初中數(shù)學(xué)課程中，求解二次函數(shù)最值問題一直是二次函數(shù)課程中的重點(diǎn)應(yīng)用問題，在蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中也重點(diǎn)講解了二次函數(shù)最值問題。但是許多學(xué)生在實(shí)際求解中卻經(jīng)常不能夠熟練運(yùn)用公式求解二次函數(shù)的最值問題，因此，該問題逐漸成為學(xué)生眼中的難點(diǎn)。如果不找到正確的方法對(duì)這一問題進(jìn)行求解，就很難理解問題實(shí)質(zhì)，不能得出正確的答案。因此，為了幫助學(xué)生更好地掌握二次函數(shù)最值問題，通過講解蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中的例子來講述求解方法，提出求解注意事項(xiàng)。

關(guān)鍵詞：蘇科版;初中數(shù)學(xué);二次函數(shù);最值;求解

初中數(shù)學(xué)的二次函數(shù)最值問題是指按照題目要求，根據(jù)二次函數(shù)公式求出符合條件的最大值或者最小值問題，這一類問題應(yīng)用廣泛，是現(xiàn)在中考的熱點(diǎn)問題，要求學(xué)生必須熟練掌握。在蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中，對(duì)這一部分有著詳細(xì)的公式和例題講解，只要通過例題了解實(shí)際求解方法，學(xué)生就很容易做到舉一反三，順利地解決其他二次函數(shù)最值求解問題。

一、二次函數(shù)最值問題求解方法

二次函數(shù)最值的求解有比較規(guī)范的求解公式，只要正確掌握了公式的運(yùn)用方式，了解什么時(shí)候運(yùn)用什么公式，就能夠順利地進(jìn)行求解。但是一般最值求解問題中不會(huì)是單純的套公式求解，而會(huì)要求在限制條件進(jìn)行最值求解，因此，下面就分情況講解二次函數(shù)的最值求解問題。

1.一般情況下的最值求解

如果題目的條件是一般情況，即給出一個(gè)一般的二次函數(shù)

f（x）=ax2+bx+c（a≠0），對(duì)x沒有要求限制，那么首先對(duì)a值進(jìn)行判斷，如果a>0，那么求出的最值就是最小值，反之則是最大值。此時(shí)運(yùn)用公式x=-求出函數(shù)取最值時(shí)自變量的值，然后再代入函數(shù)，求出f（-）即可得到答案。

2.限定區(qū)間范圍的最值求解方法

如果題目中給出了自變量的取值范圍，要求求出在這一區(qū)間內(nèi)的二次函數(shù)的最值，那么就不能單純地用上面的公式進(jìn)行求解，必須考慮x=-是否在該區(qū)間之內(nèi)。例如，題目給出一個(gè)二次函數(shù)，f（x）=x2-2x-3，要求求出該函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的最大值。這種情況下，首先就要考慮到該最大值可能在對(duì)稱軸上，也可能在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處，因此首先需要計(jì)算出x=-=1，這個(gè)點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)部，由于該函數(shù)開口向上（a>0），因此f（1）應(yīng)該是該函數(shù)的最小值，此時(shí)只要再計(jì)算出兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)處的值進(jìn)行比較，較大的函數(shù)值就是該函數(shù)的最大值。

二、二次函數(shù)最值求解應(yīng)用問題

在實(shí)際的初中數(shù)學(xué)測(cè)試中，直接考查對(duì)二次函數(shù)最值問題求解是比較少見的，反而是在應(yīng)用題中通過題目要求告訴學(xué)生需要運(yùn)用二次函數(shù)最值求解問題來進(jìn)行應(yīng)用題的求解，這種題目模型是非常熱門的考點(diǎn)，但是只要掌握了最值求解方法，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，就能夠運(yùn)用公式熟練地求解了。下面通過蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中的例題來講解應(yīng)用題中的二次函數(shù)最值求解問題。

例如，有一個(gè)種糧大戶，他去年種植水稻360畝，今年計(jì)劃多承租100～150畝稻田，預(yù)計(jì)原360畝稻田今年每畝可收益440元，新增稻田x畝，今年每畝的收益為440-2x元。試問：該種糧大戶今年要承租多少畝稻田，才能使總收益最大？最大收益是多少？

讀完題目之后可以知道題目要求求出最大總收益，這就是一個(gè)典型的最值求解應(yīng)用問題。首先根據(jù)題目要求，設(shè)出最大收益為y，根據(jù)題目列出y的函數(shù)：y=360×440+x（440-2x），化簡(jiǎn)可得y=-2（x-110）2+182600，這種化簡(jiǎn)方法可以非常直觀地得到答案。從化簡(jiǎn)中可以看出，當(dāng)x=110時(shí)，y得到最大值。此時(shí)要注意題目給出的限制條件，因?yàn)檫@道題目中100<x=110<150，符合題目條件，因此，當(dāng)x=110時(shí)取得最大值，最大值為182600。如果化簡(jiǎn)得到的x不符合要求，那么就要計(jì)算兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值并比較大小，才能得到結(jié)果。

三、二次函數(shù)最值問題求解注意事項(xiàng)

求解二次函數(shù)最值問題中，首先要看清題目要求是求解最大值還是最小值，或者兩者皆有;然后要看題目是否對(duì)自變量進(jìn)行了區(qū)間限制，區(qū)間限制條件在一般直接求解最值的問題中比較好找，但是如果是在應(yīng)用題中，就需要考慮題目中給出的條件以及實(shí)際問題中存在的隱藏條件，例如，大多數(shù)實(shí)際問題中都有著x≥0這樣的隱藏條件;最后就是進(jìn)行最值的求解，沒有區(qū)間限制的可以根據(jù)公式直接求解，有區(qū)間限制的也需要先求出x=-的值，然后比較該值是否滿足區(qū)間條件，如果該值在區(qū)間外，就需要解出區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，然后再得出最值。

二次函數(shù)最值問題是初中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的重點(diǎn)、難點(diǎn)，老師應(yīng)該運(yùn)用科學(xué)的講解方法向?qū)W生講解如何求解，并且要結(jié)合教材中的實(shí)例進(jìn)行講解，加深學(xué)生的理解，使學(xué)生能夠熟練地對(duì)該知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)用。學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用中要熟練掌握公式，了解注意事項(xiàng)，細(xì)心地進(jìn)行求解，并且多進(jìn)行練習(xí)，就可以熟練掌握二次函數(shù)的最值求解問題。

參考文獻(xiàn)：

朱有紅.初中數(shù)學(xué)求二次函數(shù)最值問題[J].中學(xué)生數(shù)理化：教與學(xué)，2013（06）：93.

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