“四招”突破抽象函數(shù)問題

唐浩德

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué);函數(shù)問題;抽象;求解

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 C

【文章編號(hào)】 1004—0463（2015）16—0119—01

抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù).抽象函數(shù)問題的解決往往要從函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性以及函數(shù)的圖象入手.下面，從四個(gè)不同的方面來探尋一些解題規(guī)律.

一、利用賦值法巧求抽象函數(shù)的函數(shù)值

賦值法是求抽象函數(shù)值的重要方法.通過觀察與分析抽象數(shù)問題中已知與未知的關(guān)系尋找有用的取值，挖掘出函數(shù)的性質(zhì)，特別是利用函數(shù)的奇偶性與周期性來轉(zhuǎn)化解答，有時(shí)還需多次賦值.

例1 定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：存在實(shí)數(shù)x0使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1、x2總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立.1.求f（1）+f（0）的值;2.求x0的值.

解：1. 因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x1、x2總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立，令x1=1、x2=0，有f（x0）= f（x0）+f（1）+f（0），∴f（1）+f（0）=0.

解：2. 令x1=0、x2=0，有f（0）=f（x0）+f（0）+f（0），即f（0）=f（x0）+2f（0），∴f（0）=f（x0）.∴f（x0）=-f（0）.又∵f（1）+f（0）=0，

∴f（0）=-f（1），∴f（1）=-f（0），∴f（x0）=f（1）.又∵f（x）為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，∴x0=1.

二、利用函數(shù)圖像和奇偶性定義判斷抽象函數(shù)的奇偶性

抽象函數(shù)的奇偶性是要判斷f（x）與f（-x）之間的關(guān)系，從而得出圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸的對(duì)稱，再結(jié)合函數(shù)的圖象作進(jìn)一步判斷;在利用奇偶性的定義進(jìn)行判斷時(shí)，若等式中還有其他的量未解決，就需要特殊賦值加以解決.

例2 已知函數(shù)f（x）對(duì)x、y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（0）≠0，求證：f（x）是偶函數(shù).

解：∵對(duì)任意x、y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）

令x=0，y=0，有f（0）+f（0）=2f（0）f（0），∴2f（0）=2f（0）2，∴f（0）=f（0）2，∴f（0）=0或f（0）=1.又∵f（0）≠0，∴f（0）=1.

令x=0，有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），∴f（y）=f（-y），又∵y∈R，∴f（x）為偶函數(shù).

三、利用函數(shù)單調(diào)性求解或證明抽象不等式

抽象函數(shù)的單調(diào)性，需要對(duì)所含的參數(shù)進(jìn)行分類討論，或根據(jù)已知條件確定參數(shù)的范圍，最后再根據(jù)單調(diào)性求解或證明抽象不等式，同時(shí)要注意定義域的限制.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y）.若f（3）=1，且f（a）>f（a-1）+2，求實(shí)數(shù)a的范圍.

解：∵f（xy）=f（x）+f（y）且f（3）= 1，∴2=2f（3）=f（3）+f（3）= f（3×3）=f（9），又∵f（a）>f（a-1）+2，∴f（a）>f（a-1）+f（9）=f[9（a-1）]，∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，從而得不等式組：

a>0 ? ? ? ? ? ? ①

9（a-1） >0 ? ? ? ②

a>9（a-1） ? ? ? ?③

四、利用函數(shù)模型巧解抽象函數(shù)問題

抽象函數(shù)問題的設(shè)計(jì)一般都有一個(gè)基本函數(shù)作為模型，若能分析出這個(gè)函數(shù)模型，結(jié)合其性質(zhì)來思考解題方法，那么這類問題就能簡(jiǎn)單解決.

例4 已知函數(shù)f（x）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，有f（x）>0，f（-1）=-2.求f（x）在[-2，1]上的值域.

解：∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），

令x=0，y=0有f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.

再令y=-x有f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù).

設(shè)x10.又∵當(dāng)x>0時(shí)有f（x）>0，f（0）=0，∴f（x）>f（0），∴f（x1-x2）>0，∴f（x）-f（x）>0，∴f（x）>f（x）.∴f（x）為R的增函數(shù).

又∵f（-2）=f（-1-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=-4，f（1）=-f（-1）=2，

∴當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，f（x）∈[-4，2].

編輯：謝穎麗