應(yīng)用性問題中常見的數(shù)學(xué)建模

宋娜 曹占營

摘 要：本文緊扣數(shù)學(xué)建模，努力讓學(xué)生學(xué)會從實際問題中獲取信息，建立數(shù)學(xué)模型，分析問題與解決問題，明確數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用性問題教學(xué)的意義與中學(xué)應(yīng)用性問題與數(shù)學(xué)建模的教學(xué)的基本原則.

關(guān)鍵詞：應(yīng)用性問題；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)教學(xué)

一、應(yīng)用性問題與數(shù)學(xué)建模的教學(xué)的基本原則

著重發(fā)展學(xué)生能力，特別是應(yīng)用能力，包括：計算、推理、空間想象以及辨明關(guān)系、形式轉(zhuǎn)化、駕馭計算工具、查閱文獻、口頭和書面的分析與交流。

強調(diào)計算工具的使用：不僅在計算過程中，而且在猜想、探索、爭辨、發(fā)現(xiàn)、模擬、證明、作圖、檢驗中使用。

強調(diào)學(xué)生的積極性與主動性：教師不應(yīng)只是講演或者總是正確的指導(dǎo)者，還可以扮演不同的角色：問原因，找漏洞，督促學(xué)生弄清楚，說明白，完成進度.評判學(xué)生工作及成果的價值、意義、優(yōu)劣，鼓勵學(xué)生有創(chuàng)造新的想法和做法。

結(jié)合學(xué)生實際水平，分層次逐步推進，結(jié)合正常教學(xué)的教材內(nèi)容，結(jié)合正常的課堂教學(xué)在部分環(huán)節(jié)切入應(yīng)用和建模內(nèi)容。

二、應(yīng)用性問題中常見的建模

隨著教育改革的深入，新的課程標(biāo)準(zhǔn)的出臺，強調(diào)了知識的應(yīng)用，數(shù)學(xué)源于實際問題的應(yīng)用題驟增，因而探討這類問題的解法具有重要的現(xiàn)實意義，數(shù)學(xué)建模就是將具有實際意義的應(yīng)用問題，通過數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，以求得問題的解決。實際問題是復(fù)雜多變的，數(shù)學(xué)建模較多的是探索性和創(chuàng)造性，但是數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題常見的建模方法還是有規(guī)律可以歸納總結(jié)的。

（一）建立幾何模型。諸如臺風(fēng)、航海、三角測量、邊角余料加工、工程定位、拱橋計算、皮帶傳動、坡比計算，作物栽培等傳統(tǒng)的應(yīng)用問題，涉及一定圓形的性質(zhì)，常需要建立相應(yīng)的幾何模型，轉(zhuǎn)化為幾何或三角函數(shù)問題求解。

例1 足球賽中，一球員帶球沿直線L逼近球門AB，在什么地方起腳射門最為有利。

分析 這是幾何定位問題，畫出示意圖，如圖1：根據(jù)常識，起腳射門的最佳位置P應(yīng)該是直線L上對AB張角最大的點，此時進球的可能性最大，問題轉(zhuǎn)化為在直線l上求點P，使∠APB最大，為此過A、B兩點作圓與直線L相切，切點P即為所求，當(dāng)直線L垂直線段AB時，易知P點離球門越近，起腳射門越有利，可見“臨門一腳”的功夫現(xiàn)應(yīng)包括選取起腳射門的最佳位置。

（二）建立方程模型。例2 如下左圖：某小區(qū)規(guī)劃在長為40M，寬為26M的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的甬道，使其中兩條與AB平行，其余部分種草.若使每一塊草坪的面積為144M，求甬道的寬度。

分析 如上右圖：作整體思考，設(shè)甬道的寬度為xm，則問題轉(zhuǎn)化為：求方程（40-2x）（26-x）=6×144的解，解得x=2、x=44（不合題意舍去）。

（三）建立直角坐標(biāo)系與函數(shù)模型。當(dāng)變量的變化具有近似函數(shù)關(guān)系，或物體運動的軌跡具有某種規(guī)律時，可通過建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題討論。

例3 有一批1米長的合金鋼材，現(xiàn)要截成長為27cm和13cm兩種規(guī)格，用怎樣的方案截取使材料利用率為最高？并求出材料最高利用率。

分析 作出直線 ■+■=12圖象，確定與直線最近的整數(shù)點（4，2），則4×13+2×27=98，即截4段13cm，2段2cm，材料利用率為98%。

（四）建立不等式模型。對現(xiàn)實生活中廣泛存在的不等量關(guān)系：如投資決策等可挖掘?qū)嶋H問題隱含的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式組的求解，目標(biāo)函數(shù)在閉區(qū)間的最佳問題。

例4 某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品按計劃每天各生產(chǎn)不少于15噸，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸需要煤9噸，電力4kw，勞力3個（按工作日計算），生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸需要煤4噸，電力5kw，勞力10個；甲產(chǎn)品美噸價7萬元，乙產(chǎn)品每噸價12萬元。如果每天用煤量不得超過300噸，電力不得超過200kw，勞力只有300個，問每天各生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品多少噸，才能保證即完成生產(chǎn)任務(wù)，又能為國家創(chuàng)造更多得財富？

分析 設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，總產(chǎn)值為S萬元，依題意約束條件為■

目標(biāo)函數(shù)為S=7x+12y。解方程組■

故當(dāng)x=20，y=24時，Smax=7×20+12×24=428（萬元）.

答：每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品20噸，乙產(chǎn)品24噸，這樣即保證完成任務(wù)，又能為國家創(chuàng)造更多的財富428萬元。

參考文獻：

[1] 李大潛.數(shù)學(xué)建模與素質(zhì)教育[J]. 中國大學(xué)教學(xué)，2002，9（10）：33.

[2] 蘭永勝主編.數(shù)學(xué)思想方法與建模技巧[M].華東師范大學(xué)出64.