巧用電容器中的電場(chǎng)能量解高考題

楊立君

給平行板電容器充電的過程，就是在電源電動(dòng)勢(shì)的作用下，把極板上的電量，從一個(gè)極板搬到另一個(gè)極板的過程.

1.由C=q/U可知，電壓與電荷量成正比：q=CU作出U-q圖象如圖1所示.

2.電源輸入電荷量為 q 時(shí)所做的總功，也就是存儲(chǔ)于電容器中的總能量.即圖象與橫軸所圍三角形的“面積”S：

“面積”S=W=112qU，再由C=q/U得W=112CU2.

3.結(jié)論：電容器中存儲(chǔ)的電場(chǎng)能量與電容器的電容成正比，與電容器兩極板之間的電壓平方成正比.

4.電容器是一種儲(chǔ)能元件，當(dāng)電容器兩端電壓增加時(shí)，電容器便從電源吸收能量儲(chǔ)存在它兩極板的電場(chǎng)中，當(dāng)電容器兩端電壓降低時(shí)，它便把儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量釋放出來.電容器本身只與電源進(jìn)行能量交換，不消耗能量.下面筆者就用上述結(jié)論巧解一道高考題.

題目（2013年新課標(biāo)）如圖2，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L.導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C.導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面.在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸.已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g.忽略所有電阻.讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑，求：（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；（2）金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系.

原參考答案解析（1）設(shè)金屬棒下滑的速度大小為v，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

E=BLv（1）

平行板電容器兩極板之間的電勢(shì)差為

U=E（2）

設(shè)此時(shí)電容器極板上積累的電荷量為Q，按定義有

C=Q1U（3）

聯(lián)立（1）、（2）、（3）式得Q=CBLv（4）

（2）設(shè)金屬棒的速度大小為v時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間為t，通過金屬棒的電流為i，金屬棒受到的磁場(chǎng)的作用力方向沿導(dǎo)軌向上，大小為

f1=BLi（5）

設(shè)在時(shí)間間隔（t，t+Δt）內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為ΔQ，按定義有

i=ΔQ1Δt（6）

ΔQ也是平行板電容器極板在時(shí)間間隔（t，t+Δt）內(nèi)增加的電荷量，由（4）式得

ΔQ=CBLΔv（7）

式中，Δv為金屬棒的速度變化量，按定義有

a=Δt1Δt（8）

金屬棒所受的摩擦力方向斜向上，大小為

f2=μN(yùn)（9）

式中，N是金屬棒對(duì)于導(dǎo)軌的正壓力的大小，有

N=mgcosθ（10）

金屬棒在時(shí)刻t的加速度方向沿斜面向下，設(shè)其大小為a，根據(jù)牛頓第二定律有

mgsinθ-f1-f2=ma（11）

聯(lián)立（5）至（11）式得

a=m（sinθ-μcosθ）1m+B2L2Cg（12）

由（12）式及題設(shè)可知，金屬棒做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng).t時(shí)刻金屬棒的速度大小為

v=m（sinθ-μcosθ）1m+B2L2Cgt（13）

第（2）問我們還可以這樣分析，下滑過程中桿受到重力，導(dǎo)軌的支持力，摩擦力與給電容器充電電流的安培力，其中支持力不做功，桿減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為兩極間電場(chǎng)的電場(chǎng)能、桿的動(dòng)能以及因摩擦而產(chǎn)生的熱，由能量守恒定律知

mgh=112mv2+112CU2+μmgcosθ·h1sinθ（1）

其中U=E=BLv（2）

所以v2=2m（sinθ-μcosθ）g1m+B2L2C（3）

2m（sinθ-μcosθ）g1m+B2L2C為定值，即桿在做勻加速運(yùn)動(dòng).

所以a=m（sinθ-μcosθ）g1m+B2L2C，

所以v=at=m（sinθ-μcosθ）g1m+B2L2C.

現(xiàn)行教材中只是提到電容器能夠儲(chǔ)存能量，但并沒有給出定量關(guān)系.在平時(shí)教學(xué)中學(xué)生的好奇心不會(huì)只停留在知道電容器是一個(gè)儲(chǔ)能元件的.自然要想到電容器儲(chǔ)存的能量和什么因素有關(guān)系.能否存在著定量關(guān)系.所以可以和學(xué)生一起討論出電容器儲(chǔ)能的定量關(guān)系式.并能用之解決實(shí)際問題.這也體現(xiàn)了高考命題源于教材又高于教材，以能力立意為主的命題原則.