關(guān)于兩根導體棒切割磁感線問題的變式研究
——以2023年高考湖南卷物理第14題為例

張 偉

(河北省滄州市第十中學)

一、原題呈現(xiàn)

(2023·湖南卷·14)如圖1,兩根足夠長的光滑金屬直導軌平行放置,導軌間距為L,兩導軌及其所構(gòu)成的平面均與水平面成θ角,整個裝置處于垂直于導軌平面斜向上的勻強磁場中,磁感應強度大小為B?，F(xiàn)將質(zhì)量均為m的金屬棒a、b垂直導軌放置,每根金屬棒接入導軌之間的電阻均為R。運動過程中金屬棒與導軌始終垂直且接觸良好,金屬棒始終未滑出導軌,導軌電阻忽略不計,重力加速度為g。

圖1

(1)先保持棒b靜止,將棒a由靜止釋放,求棒a勻速運動時的速度大小v0;

(2)在(1)問中,當棒a勻速運動時,再將棒b由靜止釋放,求釋放瞬間棒b的加速度大小a0;

(3)在(2)問中,從棒b釋放瞬間開始計時,經(jīng)過時間t0,兩棒恰好達到相同的速度v,求速度v的大小以及時間t0內(nèi)棒a相對于棒b運動的距離Δx。

二、試題解析

(1)當把棒a由靜止釋放將做加速度逐漸減小的加速運動,切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢E=BLv0

棒a受到安培力Fa=BIL

當其所受安培力與其所受重力沿斜面向下的分力相等時將做勻速運動,有Fa=mgsinθ

(2)先根據(jù)右手定則判斷出感應電流方向,再根據(jù)左手定則可判斷出棒b所受安培力Fb沿斜面向下,根據(jù)安培力公式可知Fb=Fa=mgsinθ

棒b所受合外力F合=Fb+mgsinθ

(3)針對棒a與棒b組成的系統(tǒng)應用動量定理有2mgsinθΔt=2mv-mv0①

針對棒a應用動量定理有

本題突出高中物理主干知識,突出高中物理基本物理模型的建構(gòu),注重科學思維素養(yǎng)。導體棒切割磁感線類問題是電磁感應和力學的綜合問題,既要用到電磁學中的楞次定律、法拉第電磁感應定律、左手定則與右手定則、安培力與電功率公式,也要用到力學中的運動學公式、受力分析的方法、牛頓運動定律、動能定理或者功能關(guān)系以及動量定理或者動量守恒定律,幾乎涵蓋了高中物理的所有重點主干知識。

三、變式拓展

從一道高考典型例題的剖析及一題多變,動態(tài)演示出題中蘊含的方法及規(guī)律,從而去指導解決同一類問題中的全方位變式題目,打造全方位立體化網(wǎng)絡體系。

對金屬棒a運動過程中蘊含的規(guī)律可進行動態(tài)演示:

在此基礎上可加以變化,以形成發(fā)散思維,進行全方位變式,打造立體網(wǎng)絡體系。

【變式拓展1】如圖1,兩根足夠長的光滑金屬直導軌平行放置,導軌間距為L=0.5 m,兩導軌及其所構(gòu)成的平面均與水平面成θ=30°角,整個裝置處于垂直于導軌平面斜向上的勻強磁場中,磁感應強度大小為B=0.4 T?，F(xiàn)將金屬棒a、b垂直導軌放置,金屬棒a質(zhì)量為ma=0.1 kg,金屬棒b質(zhì)量mb=0.2 kg,每根金屬棒接入導軌之間的電阻均為R=0.1 Ω。當金屬棒b在外力作用下,以速度v1=1.5 m/s沿導軌向上始終做勻速運動時,金屬棒a由靜止釋放,運動過程中金屬棒與導軌始終垂直且接觸良好,金屬棒始終未滑出導軌,導軌電阻忽略不計,重力加速度為g=10 m/s2。

求:閉合回路中的最大電流可達多大,此時金屬棒a的速度多大,此時金屬棒b所受外力多大。

【思路要點】雙金屬棒在導軌上滑動時,要特別注意雙棒切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢是正接還是反接,從而確定感應電流的方向,此題關(guān)鍵是判斷金屬棒a初始狀態(tài)受力情況,從而判斷其運動情況,是靜止還是運動,如果運動,向什么方向運動?

解：剛釋放金屬棒a時,金屬棒b切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢E1=BLv1

此時金屬棒a所受安培力F1=BI1L

將已知數(shù)據(jù)代入以上各式計算可得F1=0.3 N

而金屬棒a所受重力沿斜面向下的分力為

magsinθ=0.5 N

因為F1

金屬棒a切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢E2=BLv2

根據(jù)右手定則可判斷出,E1與E2相當于正接,

此時金屬棒a所受安培力F2=BI2L

當金屬棒a所受安培力與所受重力沿斜面向下的分力相等時

即F2=BI2L=magsinθ

金屬棒a做勻速運動,此時其速度達到最大,相應感應電動勢和感應電流達到最大。

代入已知數(shù)據(jù)可解得I2=2.5 A,v2=1 m/s

此時金屬棒b所受外力F外=(ma+mb)gsinθ=1.5 N

【變式拓展2】如圖2所示,兩根足夠長的光滑金屬直導軌平行放置,導軌間距為L,兩導軌由兩個傾斜部分和水平部分組成,水平部分足夠長,其中水平部分置于豎直向下的勻強磁場中,磁感應強度為B?，F(xiàn)將金屬棒a、b垂直導軌放置,金屬棒a質(zhì)量為ma=2m,金屬棒b質(zhì)量為mb=m,每根金屬棒接入導軌之間的電阻均為R,將兩金屬棒同時從兩側(cè)高h處靜止釋放,運動過程中金屬棒與導軌始終垂直且接觸良好,金屬棒始終未滑出導軌,導軌電阻忽略不計,重力加速度為g。求:從兩金屬棒從釋放到二者均第一次達到勻速運動狀態(tài)時,系統(tǒng)釋放的熱量是多少。

圖2

解：將兩金屬棒同時從靜止釋放將同時滑到低端,設此時速度大小為v1

之后兩金屬棒均做變減速運動,b先減速為零,最終兩金屬棒達到共速,設此時速度為v2,在水平軌道上對于兩金屬棒組成的系統(tǒng)所受外力之合為零,以向左為正方向

根據(jù)動量守恒定律可得

2mv1-mv1=(2m+m)v2

【變式拓展3】如圖3所示,兩根足夠長的光滑金屬導軌平行放置,導軌間距為L,兩導軌由傾斜部分和水平部分組成,傾斜部分與水平面成θ角,θ=30°,水平部分和傾斜部分都存在方向垂直于導軌平面向上的勻強磁場,磁感應強度的大小均為B,現(xiàn)將金屬棒a、b垂直導軌放置,它們的質(zhì)量分別為2m和m,電阻分別為2R和R。某時刻開始,將金屬棒a、b同時由靜止釋放,水平導軌和傾斜導軌都足夠長,在運動過程中金屬棒b始終在水平軌道上運動,已知回路中的電流剛達到穩(wěn)定狀態(tài)時,金屬棒b的速度為v0,mgR=B2l2v0,導軌電阻不計,金屬棒與導軌始終保持垂直且接觸良好,不計一切摩擦,重力加速度為g。

圖3

(1)求金屬棒a的最大加速度和電流穩(wěn)定時金屬棒a、b的加速度大小。

(2)回路中電流剛達到穩(wěn)定狀態(tài)時金屬棒a的速度v1和從金屬棒a開始運動到電流達到穩(wěn)定所經(jīng)歷的時間t。(結(jié)果均用v0和g表示)

圖4

解：(1)剛開始釋放時,金屬棒a的加速度最大,則有2mgsinθ=2mam

電流穩(wěn)定時金屬棒a、b具有大小相等的加速度

針對金屬棒a、b組成的系統(tǒng)應用牛頓第二定律可得2mgsinθ=3ma

(2)回路中電流剛達到穩(wěn)定狀態(tài)時,有

設從金屬棒a開始運動到電流達到穩(wěn)定所經(jīng)歷的時間t,針對金屬棒a根據(jù)動量定理有

針對金屬棒b根據(jù)動量定理有

(3)由2mgsinθ=μ·2mgcosθ

可知,金屬棒a在達到第(2)問所述速度v1以后的運動過程中,系統(tǒng)合外力可看成為零,兩金屬棒所組成的系統(tǒng)也可看為動量守恒,有

mv0+2mv1=3mv2

由能量守恒定律可得

四、結(jié)語