例談點電荷電場強度的疊加問題
——由2023年高考全國乙卷理綜第24題引發(fā)的思考

張照康 劉興東

(1.武漢市育才高級中學;2.博樂市高級中學華中師大一附中博樂分校)

1.真題再現(xiàn)

【例1】(2023·全國乙卷·24)如圖1,等邊三角形△ABC位于豎直平面內(nèi),AB邊水平,頂點C在AB邊上方,3個點電荷分別固定在三角形的三個頂點上。已知AB邊中點M處的電場強度方向豎直向下,BC邊中點N處的電場強度方向豎直向上,A點處點電荷的電荷量的絕對值為q,求:

圖1

(1)B點處點電荷的電荷量的絕對值并判斷 3個點電荷的正負;

(2)C點處點電荷的電荷量。

本題主要以三個點電荷在平面內(nèi)形成電場為背景,考查電場強度疊加問題的一般處理方法。

(2)求解C點處點電荷的電荷量有兩種方法:

圖3

2.平行四邊形法則的應(yīng)用

2.1 一般方法

圖4

( )

【參考答案】B

圖5

2.2 按組矢量合成

【例3】(改編自2022·全國乙卷·19)如圖6,兩對等量異號點電荷+q、-q(q>0)固定于正方形的4個頂點上。L、N是該正方形兩條對角線與其內(nèi)切圓的交點,O為內(nèi)切圓的圓心,M為切點。試判斷L和N兩點處的電場方向是否相互垂直?試求M點的電場方向?

圖6

【參考答案】L和N兩點處的電場方向相互垂直;M點的電場方向水平向左。

本題考查電場強度疊加問題,通過題目可以發(fā)現(xiàn)四個點電荷位置分布十分具有特點且電荷量大小相等,矢量合成過程中可根據(jù)求解問題先兩個一組按組矢量合成,再進行矢量疊加。在判斷L和N兩點處的電場方向是否相互垂直問題時,可將兩個正電荷、兩個負電荷單獨看成一組,兩個正電荷、兩負電荷在N點產(chǎn)生的場強方向由N指向O,故N點的合場強方向由N指向O;兩個正電荷、兩個負電荷在L處產(chǎn)生的場強方向由O指向L,故L處的合場方向由O指向L;即L和N兩點處的電場方向相互垂直。在求M點的電場方向問題時,可將上邊電荷看成一組,底邊電荷看成一組,底邊的一組等量異號電荷在M點產(chǎn)生的場強方向向左;上邊的一組等量異號電荷在M點產(chǎn)生的場強方向向右;M點離上邊一組距離較遠,則M點的場方向水平向左。

2.3 坐標系輔助法

【例4】(改編自2021·河北卷·10)如圖7,四個電荷量均為q(q>0)的點電荷分別放置于菱形的四個頂點,其坐標分別為(4l,0)(-4l,0)(0,y0)和(0,-y0),其中x軸上的兩個點電荷位置固定,y軸上的兩個點電荷可沿y軸對稱移動(y0≠0),試判斷除無窮遠處之外,菱形外部電場強度是否處處不為零?

圖7

【參考答案】除無窮遠處之外,菱形外部電場強度處處不為零。

本題考查電場強度疊加問題,通過題目可以發(fā)現(xiàn)四個點電荷位置分布十分具有特點,在判斷菱形外部電場強度方向時可借助坐標系輔助解決。在判斷位于菱形外部坐標軸上點的電場強度是否為零時,可在該點沿水平、豎直方向建立坐標系,發(fā)現(xiàn)四個點電荷產(chǎn)生的電場強度方向均指向某一坐標軸同側(cè),電場強度不可能為零。在判斷位于菱形外部坐標軸上某點的電場強度是否為零時,可在該點沿平行最近菱形的邊方向(x軸)和垂直該邊方向建立坐標系,發(fā)現(xiàn)四個點電荷產(chǎn)生的電場強度方向均指向x軸外側(cè),電場強度不可能為零。綜上所述,除無窮遠處之外,菱形外部電場強度處處不為零。

2.4 立體空間中的矢量合成

【例5】(改編自2019·新課標Ⅲ卷·21)如圖8,電荷量分別為q和-q(q>0)的點電荷固定在正方體的兩個頂點上,a、b是正方體的另外兩個頂點,試判斷a點和b點的電場強度大小與方向存在什么關(guān)系?

圖8

【參考答案】a點和b點的電場強度大小相等,方向相同。

本題考查立體空間內(nèi)的電場強度疊加問題,厘清幾何關(guān)系有電場疊加的一般方法即可解答。正點電荷在a點產(chǎn)生的電場和負點電荷在b點產(chǎn)生電場,方向、大小均相等;正點電荷在b點產(chǎn)生的電場和負點電荷在a點產(chǎn)生電場,方向、大小也均相等;故矢量合成后(圖9),a點和b點的電場強度大小相等,方向相同。

圖9

3.其他常見求解方法

3.1 極限法

【例6】(改編自2022·江蘇卷·9)如圖10所示,正方形ABCD四個頂點各固定一個帶正電的點電荷,電荷量相等,O是正方形的中心。現(xiàn)將A點的電荷沿OA的延長線向無窮遠處移動,試判斷“在移動過程中,O點電場強度變小”是否正確?

圖10

【參考答案】不正確

本題考查極限法處理電場強度疊加問題,在一般方法的基礎(chǔ)上引入極限思想,直接考慮開始和無窮遠就有可能較為簡單的解決問題。初始時,O是等量同種電荷連線的中點,場強為零;將A處的正點電荷沿OA方向移至無窮遠處,O點電場強度不為零,故不正確。

3.2 模型法

【例7】(改編自2021·北京卷·9)如圖11所示的平面內(nèi),有靜止的等量異號點電荷,M、N兩點關(guān)于兩電荷連線對稱,M、P兩點關(guān)于兩電荷連線的中垂線對稱。試判斷M點的場強與P點的場強大小關(guān)系?N點的場強與P點的場強關(guān)系?

圖11

【參考答案】M點的場強與P點的場強大小相等;N點的場強與P點的場強相同。

本題用一般方法也能解答,但借助等量異種電場產(chǎn)生的電場關(guān)系可以更快地解答此題。根據(jù)等量異種點電荷的電場線分布(圖12)特點得,M點的場強與P點的場強大小相等,N點的場強與P點的場強大小相等,方向相同。

圖12

3.3 借助合場強為零時,場強之間關(guān)系

【例8】(改編自2011·重慶卷·19)如圖13所示,電荷量為+q和-q的點電荷分別位于邊長為a正方體的頂點,其中ABDC為正方體上表面,O1為上表面ABDC中心,O為正方體體心?，F(xiàn)將A點電荷換為+q,其他點電荷不變。試求此時上表面ABDC中心O1處和正方體體心O處電場強度?

圖13

3.4 借助等勢線與電場方向的關(guān)系

【例9】(改編自2022·河北卷·6)如圖14,真空中電荷量為2q和-q(q>0)的兩個點電荷分別位于M點與N點,形成一個以MN延長線上O點為球心,電勢為零的等勢面(取無窮處電勢為零),P為MN連線上的一點,S為等勢面與直線MN的交點,T為等勢面上的一點。試求T點電場強度方向?

圖14

【參考答案】T點電場強度方向為TO方向。

本題用一般方法很難解答,但借助等勢線與電場方向的關(guān)系(等勢線上點的電場方向總是垂直于等勢線)與電勢關(guān)系可以很快地解答此題。由于T為等勢面上的一點,故T點電場強度方向為TO方向或者OT方向;由異種電荷電場線分布可知φS>φO,而φS=φT,故φT>φO;電場方向由高電勢指向低電勢,故T點電場強度方向為TO方向。

4.結(jié)束語