淺析函數(shù)圖象的斜率在中學物理中的應用

張俊

縱觀近些年的各地高考試題，運用函數(shù)圖象進行實際物理問題的分析與表達依然是一個熱點問題.物理問題圖形化分析，呈數(shù)學之“形”，載物理之“質(zhì)”，能夠清晰、形象地呈現(xiàn)物理量之間的關(guān)系，化文字表征、符號表征為圖形表征，充分展現(xiàn)了物理的學科魅力.圖象法在高中物理中的應用很多，本文選擇函數(shù)圖象的斜率這一視角進行探討，望能起到拋磚引玉之功效.

函數(shù)圖象的斜率反映了直角坐標系中某點縱、橫坐標代表的兩個物理量的比值，往往與一個或幾個重要的物理量相對應.

1函數(shù)圖象的斜率在力學問題中的應用

1.1借助于勻速直線運動的x-t圖象的斜率求速度

勻速直線運動的位移隨時間均勻變化，x-t圖象是一條傾斜的直線，如圖1所示，a、b、c、d圖線均表示勻速直線運動，相互平行的a、b圖線表示物體開始運動的初始位置不同，速度相同；a、c圖線表示物體運動的速度方向相同，vc>va；a、d圖線則反應物體運動的速度方向不一樣.

運用x-t圖象可以很直觀地解決運動學問題.

例1張老師在漁灣水道逆流劃船游玩，經(jīng)過橋洞（可視為一個點位）時，船上的竹制茶杯不慎掉到河里，張老師沒能立刻發(fā)現(xiàn)，小船繼續(xù)逆行一段距離后才發(fā)現(xiàn)，接著立即掉頭追趕，返航10 min追上茶杯，此時距橋洞1 km，設(shè)張老師靜水劃船的速率始終不變，小船調(diào)頭的時間可忽略，求漁灣水道河水的流速.

解析從小船經(jīng)過橋洞開始計時，設(shè)水流的速度大小為v0，張老師劃船的速度大小為v，發(fā)現(xiàn)茶杯丟失并返航的時刻記為t0，作出茶杯和小船的位移隨時間變化的圖象如圖2所示（甲表示茶杯的運動；小船的運動分兩段如乙和丙所示），通過圖象直觀地顯示了位置、速度隨時間的變化關(guān)系，而待求量漁灣水道河水的流速則轉(zhuǎn)化為求圖2中直線甲的斜率，有-v0=k=x/t，顯然求出時間t即可求得v0.由圖2可知：

丙直線過A、B兩點，A點坐標[t0，（v-v0）t0]，B點坐標[t，-v0t]，則丙直線的斜率可表示為k丙=-v0t-（v-v0）t01t-t0，又k丙=-（v+v0），由此可解得t=2t0，則-v0=k=x12t0，其中x=-1 km，t0=10 min，代入解得v0=3 km/h.

1.2借助x-t圖象切線斜率的變化比較速度

如果物體做非勻速直線運動，通過x-t圖象如何求瞬時速度呢？由v=Δx1Δt可知，當Δt→0時，平均速度v的大小近似為瞬時速度的大小，在x-t圖象上應為該時刻切線的斜率.如圖3所表示的直線運動中，通過觀察圖象切線斜率的變化可知質(zhì)點運動的速率越來越小.

1.3借助于v-t圖象切線斜率的變化比較加速度

x-t圖象切線的斜率表示瞬時速度，同樣可以推理得v-t圖象切線的斜率能表示加速度a，切線斜率的變化可以反映加速度大小的改變.

例2木塊A、B質(zhì)量相同，現(xiàn)用一輕彈簧將兩者連接置于光滑的水平面上，開始時彈簧長度為原長，如圖4所示，現(xiàn)給A施加一水平恒力F，彈簧第一次被壓縮至最短的過程中，有一個時刻A、B速度相同，試分析此時A、B加速度的大小關(guān)系？

與斜面接觸時速度與水平方向的夾角滿足

A.tan=sinθB.tan=cosθ

C.tan=tanθD.tan=2tanθ

解析如圖13所示，斜面傾角θ即為物體位移與水平方向之間的夾角，故

tanθ=y1x=112gt21v0t=gt12v0，

而tan=vy1v0=gt1v0，

所以tan=2tanθ，即答案為D.

變式2 如圖14所示，在斜面上的O點先后以v0和2v0水平拋出A、B兩小球，則從拋出至第一次著地，兩小球的水平位移大小之比可能為：A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5解析：兩小球可能全落在斜面上，也可能全落在水平面上，還有可能一個球落在斜面上，另一個球落在水平面上.若兩小球全落在斜面上，由變式1的解析可知小球運動時間 ，水平位移 ，所以 .若兩小球全落在水平面上，則有 ，所以 .若一個球落在斜面上，另一個球落在水平面上，則 .故本題應選A、B、C.變式3 （2012年溫州三模卷）如圖15所示，AB為傾角為θ的斜面.將小球（視為質(zhì)點）從A點以初速v0與斜面成α角拋出，恰好落在斜面底端的B點.若不計空氣阻力，則AB間的距離s應為A. B. C. D. 解析：這題如果用斜上拋運動（分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的勻減速直線運動）的方法處理，對學生的數(shù)學要求很高，學生很難得出正確的答案.但如果令α=θ，則小球作平拋運動，問題得到簡化.若小球作平拋運動，則平拋時間 ，水平位移 ，則AB間的距離 .將α=θ代入四個選項可知，答案為C.點評斜面上平拋運動最顯著的特點就是可以充分利用斜面傾角展開思維.很顯然，如果物體從斜面拋出又落在斜面上，斜面傾角θ與水平、豎直分位移之間滿足tanθ=y1x；速度與水平方向的夾角與水平、豎直分速度之間滿足tan=vy1vx，且tan=2tanθ.

平拋運動是較為復雜的勻變速曲線運動，有關(guān)平拋運動的命題也層出不窮.平拋運動與斜面、曲面相結(jié)合問題，要注意建立速度角、位移角與斜面傾角等幾何角之間的關(guān)系，這往往是解題的突破口.若能切實掌握平拋運動的規(guī)律、特點及其基本處理方法，就不難解決平拋問題.因此在復習時應注意對平拋運動規(guī)律的總結(jié)，從而提高自己解題的能力.解析在彈簧壓縮過程中，隔離A、B進行受力分析，對A有：F-kx=maA，彈簧形變量變大，A做加速度減小的加速運動；對B有：kx=maB，B做加速度增大的加速運動.定性畫出A、B運動的v-t圖象如圖5所示，交點C表示此時兩者速度相同，可以直觀地看出該處B切線的斜率大于A的斜率，即aB>aA.

1.4借助于a-F（或a-11M）圖象的斜率求質(zhì)量（或拉力）

探究加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系是高一階段重要的探究性實驗之一，實驗中運用圖象法可以直觀地反映相關(guān)物理量之間的關(guān)系.根據(jù)實驗圖象還能獲取諸多信息，如借助a-F圖象的斜率求質(zhì)量、借助a-11M圖象的斜率求拉力.

例3某同學探究加速度與合力的關(guān)系，由于未平衡摩擦力，得到如圖6所示的圖象，試求出實驗中所用小車的質(zhì)量.

解析由圖6可得a-F圖線的方程為：a=0.2F-4，根據(jù)題意，由于未平衡摩擦力，可列出牛頓第二定律的方程：F-μMg=Ma，于是有a=F1M-μg，則函數(shù)圖象的斜率k=11M=0.2，解得M=5 kg.

2函數(shù)圖象的斜率在電學實驗數(shù)據(jù)處理中的應用

電學實驗是高考的重點，借助于函數(shù)圖象的斜率求電學量是常見的問題.

2.1U-I圖（或I-U圖）的斜率求阻值R

（1）伏安法測未知電阻Rx阻值的實驗中，采用作圖法進行數(shù)據(jù)處理得到過原點的直線如圖7所示，圖象的斜率k=R.

（2）描繪小燈泡的伏安特性曲線的實驗中，描點連圖作出I-U圖線如圖8所示，電壓為U0時，小燈泡的阻值R=U01I0，為U0所對應圖象點P0的橫、縱坐標的比值，而不是P0點切線的斜率的倒數(shù)，而是P0與原點連線的斜率的倒數(shù)（即割線的斜率的倒數(shù)），通過圖形可以看出圖象上的點與原點連線的斜率隨著U（或I）的增大而減少，進而得出隨著電流變大，小燈泡的阻值將變大的實驗結(jié)論.

2.2函數(shù)圖象的斜率在測電源電動勢及其內(nèi)阻實驗中的作用

關(guān)于測電源電動勢及其內(nèi)阻的實驗，教材中給出了3種測量方法，傳統(tǒng)的伏安法、安阻法和伏阻法.為了提高實驗的效果，幫助學生更好地掌握實驗方法，提升物理科學素養(yǎng)，筆者認為應該和學生一起從閉合電路歐姆定律出發(fā)，先進行定性的分析，論證實驗的可行性后再進行實驗方案的確立和實踐.如圖9所示，電源電動勢E、內(nèi)阻為r，外電路阻值為R，要求學生運用閉合電路歐姆定律分析電路中路端電壓與干路電流；干路電流與外電路電阻；路端電壓與外電路電阻之間的函數(shù)關(guān)系，作出圖象，找到斜率的物理意義.

（1）路端電壓U與干路電流I間的函數(shù)關(guān)系：U=E-Ir，圖象如圖10所示，由函數(shù)圖象可知，縱軸的截距就是E，斜率的相反數(shù)就是r.于是分析出需要去測量U和I，學生由此會聯(lián)想到圖11的兩個實驗電路圖，接著再從誤差分析的角度對11-1和11-2進行篩選.

（2）干路電流I與外電阻R間的函數(shù)關(guān)系：I=E1R+r，如果作出I-R圖象應該是一條曲線如圖12-1所示，不易求出其中的參量E和r，經(jīng)過數(shù)學變形得到：11I=11ER+r1E，以11I為縱軸，R為橫軸，可得直線如圖12-2所示，通過求斜率可以得到E=11k.

如何測量R？如何得到I呢？經(jīng)過這樣的反思很容易想到運用電流表和電阻箱的安阻法了.

（3）路端電壓U與外電阻R間的函數(shù)關(guān)系由串聯(lián)分壓得：U=R1R+rE，U-R圖象為曲線，如圖13-1所示.同樣經(jīng)過數(shù)學變形可以得到：11U=r1E·11R+11E，作出11U-11R圖象如圖13-2所示，該直線的斜率k=r1E.

學生在上述理性分析的基礎(chǔ)上，實驗的目的就分外明確，實驗方案的選擇也更具條理性.

當然，圖象的斜率在中學物理中的運用還遠遠不止這些，如驗證機械能守恒定律實驗中的v2-h圖線的斜率為當?shù)刂亓铀俣鹊?倍；如電勢φ隨距離x變化的圖象的斜率表示電場強度E等等.

此外，函數(shù)圖象在中學物理教學中的應用“看點”很多，除了本文所舉的“斜率”外，函數(shù)圖象的截距、拐點、峰值、圖形圍成的面積、幾個圖象的焦點等等也都富含物理意義，也都具有研究和總結(jié)的教學價值，望能引起各位同行的重視，引導學生數(shù)形結(jié)合，提高解決物理問題的能力.