一道高考與自主招生試題對比分析

周太紅

高考是國家為選拔優(yōu)秀人才進(jìn)入大學(xué)深造的重要考試，自主招生考試是重點(diǎn)高校對頂尖學(xué)生進(jìn)行區(qū)分選拔的測試，二者相輔相成，互為補(bǔ)充.研究近年高考和自主招生試題，可以發(fā)現(xiàn)，有些試題形同質(zhì)異.研究二者其異同，不但可以激勵更多的學(xué)生參加自主招生，還有利于提高解題能力，高考取得優(yōu)異成績.

典例1（2013年山東）如圖1所示，一質(zhì)量m=0.4 kg的小物塊，以v0=2 m/s的初速度，在與斜面成某一夾角的拉力F作用下，沿斜面向上做勻加速運(yùn)動，經(jīng)t=2 s的時間物塊由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)，A、B之間的距離L=10 m.已知斜面傾角θ=30°，物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ=313.重力加速度g取10 m/s2.（1）求物塊加速度的大小及到達(dá)B點(diǎn)時速度的大小.（2）拉力F與斜面的夾角多大時，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

解析（1）設(shè)物塊加速度的大小為a，到達(dá)B點(diǎn)時速度的大小為v，由運(yùn)動學(xué)公式得

L=v0t+112at2（1）

v=v0+at（2）

聯(lián)立（1）、（2）式，代入數(shù)據(jù)解得

a=3 m/s2（3）

v=8 m/s（4）

（2）設(shè)物塊所受支持力為FN，所受摩擦力為Ff，拉力與斜面之間的夾角為α.受力分析如圖2所示.由牛頓第二定律得

Fcosα-mgsinθ-Ff=ma（5）

Fsinα+FN-mgcosθ=0（6）

又Ff=μFN（7）

聯(lián)立解得F=mg（sinθ+μcosθ）+ma1cosα+μsinα（8）

令μ=313=tanα，

由數(shù)學(xué)知識得cosα+313sinα=2313sin（60°+α）（9）

由（8）、（9）式可知對應(yīng)的F最小值的夾角α=30°（10）

聯(lián)立（3）、（8）、（10）式，代入數(shù)據(jù)得F的最小值為

Fmin=13315 N.

典例2（2013年華約自主招生）明理同學(xué)平時注意鍛煉身體，力量較大，最多能提起m=50 kg的物體.一重物放置在傾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物與斜坡間的摩擦因數(shù)為μ=313≈0.58.試求該同學(xué)向上拉動的重物質(zhì)量M的最大值？

解析根據(jù)題述，拉力F=mg=50g N.

設(shè)該同學(xué)拉動重物的力F的方向與斜面夾角為，分析重物M受力，如圖4所示.將各力分別沿斜面方向和垂直斜面方向分解，由平衡條件得：

在垂直斜面方向上FN+Fsin-Mgcosθ=0，

式中FN是斜面對重物的支持力，其大小等于重物對斜面的正壓力.

沿斜面方向上 Fcos- f -Mgsinθ=Ma，

由摩擦定律f=μFN.

根據(jù)題意，重物剛好能被拉動，加速度a可近似認(rèn)為等于零，即a=0.

聯(lián)立解得M=F（cos+μsin）1g（μcosθ+sinθ）.

令μ=tanα，代入上式可得

M=Fcos（+α）1gsin（θ+α）.

要使該同學(xué)向上拉動的重物質(zhì)量M最大 ，上式中分子取最大值，即

cos（+α）=1，

Mmax=F1gsin（θ+α）.

由μ=tanα=313，可得α=30°，代入上式可得該同學(xué)向上拉動的重物質(zhì)量M的最大值

Mmax=F1gsin（15°+30°）=502 kg=70.7 kg.

點(diǎn)評這兩道從題圖上看很相似，都是斜面上物體受到一個拉力作用；從題目問題看，二者均為求極值，均需要運(yùn)用數(shù)學(xué)上三角函數(shù)求極值.兩道題的不同點(diǎn)主要有以下三方面：第一方面，典例1有兩問，典例2只有一問.典例1的第（1）問容易得出，命題者的目的使考生容易得分，提高其得分率，這是高考命題的要求.第二方面，典例1利用牛頓運(yùn)動定律，求拉力F的最小值；典例2利用平衡條件，求拉動的重物質(zhì)量M的最大值.第三方面，典例1涉及的知識主要是勻變速直線運(yùn)動規(guī)律、受力分析、力的分解、牛頓運(yùn)動定律、摩擦定律、數(shù)學(xué)上三角函數(shù)極值等.典例2涉及的知識主要是受力分析、力的分解、牛頓運(yùn)動定律、摩擦定律、數(shù)學(xué)上三角函數(shù)極值等.解答時要注意利用重物剛好能被拉動這一條件.要得出該同學(xué)向上拉動的重物質(zhì)量M的最大值，需要根據(jù)題述列出相關(guān)方程，解得M的函數(shù)表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)知識得到最大值.