淺談數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)

艾華升

摘 要：數(shù)學(xué)歸納法的理解和運(yùn)用，歷來(lái)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，各種不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，在具體實(shí)施的過(guò)程中，都存在這樣那樣的困惑，究其原因，是我們對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)理解存在偏差. 數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是抽象概括. 在這樣一種認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)歸納法將不再存在理解困難的問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；理解；表征；數(shù)學(xué)史；抽象概括；教學(xué)設(shè)計(jì)

E.Fischbein和I.Engel在《理解數(shù)學(xué)歸納法原理的心理困難》一文指出：即使學(xué)生掌握了運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題，仍有可能對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的原理不理解. 具體來(lái)說(shuō)說(shuō)，也就是對(duì)“假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立”的理由不明白. 該文的發(fā)表，引起了數(shù)學(xué)教育界對(duì)數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的關(guān)注.

陳雪梅、王梅在《關(guān)注教學(xué)法表征的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)》一文中，對(duì)該教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并試圖解決學(xué)生在數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)中的理解困難；王科、汪曉勤在《基于NPM視角和DNR系統(tǒng)的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)》一文中，重構(gòu)數(shù)學(xué)歸納法的歷史演化過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷這一過(guò)程，以達(dá)到讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的目的.

筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，按照《關(guān)注教學(xué)法表征的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)》、《基于NPM視角和DNR系統(tǒng)的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)》的教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施教學(xué)，面臨著很多困惑.為了讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)歸納法，關(guān)鍵是教師要理解到：數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的思維形式不是歸納，而是抽象概括.

《關(guān)注教學(xué)法表征的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)》的教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)析

下面引用《關(guān)注教學(xué)法表征的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)》的教學(xué)設(shè)計(jì)：

問(wèn)題1：我們前面學(xué)習(xí)了數(shù)列，已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1，且an+1=，n∈N+，請(qǐng)大家思考，an的通項(xiàng)公式是什么？

問(wèn)題2：an=？你是怎樣發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律的？

評(píng)析：在實(shí)際教學(xué)中，如果提出上面兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生會(huì)很快回答：因?yàn)閍n+1=，n∈N+，所以=+1. 因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以1為公比的等差數(shù)列，所以=n，得an=.

至此，預(yù)定教學(xué)過(guò)程無(wú)法進(jìn)行下去.

再看《關(guān)注教學(xué)法表征的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)》中另一段教學(xué)設(shè)計(jì)：

問(wèn)題4：剛才我們根據(jù)幾個(gè)特例得出猜想，你如何證明a2=？如何證明a3=？如何證明a4=？它們有類似的過(guò)程嗎？如果要驗(yàn)證a9=是否成立，你怎么做呢？

預(yù)設(shè)：

第一步，a1=1成立；

第二步，把a(bǔ)1=1代入a2=，得a2=，命題對(duì)n=2成立；

第三步，把a(bǔ)2=代入a3=，得a3=，命題對(duì)n=3成立；

第四步，把a(bǔ)3=代入a4=，得a4=，命題對(duì)n=4成立；

…

第九步，把a(bǔ)8=代入a9=，得a9=，命題對(duì)n=9成立.

問(wèn)題5：在上述驗(yàn)證過(guò)程中，你認(rèn)為相同或類似的結(jié)構(gòu)是什么？

問(wèn)題6：你能否嘗試描述這些規(guī)律呢？

問(wèn)題7：怎樣證明命題an=（n∈N+）對(duì)所有自然數(shù)都成立呢？

預(yù)設(shè)：

第一步，當(dāng)n=1時(shí)，命題成立；

第二步，對(duì)任意自然數(shù)k，如果當(dāng)n=k時(shí)命題成立，一定可以推出n=k+1時(shí)命題成立.

評(píng)析：筆者觀察到，學(xué)生在求a9的過(guò)程中，都是依次先求a5，a6，a7，a8的，沒(méi)有人敢跳過(guò)求a5，a6，a7，而這直接設(shè)a8=.

通過(guò)上述分析，學(xué)生能明白“如果當(dāng)n=k時(shí)命題成立，一定可以推出n=k+1時(shí)命題成立”，但應(yīng)用到證題過(guò)程中，他們還是不能理解“假設(shè)n=k時(shí)命題成立”的理由，因?yàn)檫@是沒(méi)證明的.

《基于NPM視角和DNR系統(tǒng)的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)》的教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)析

《基于NPM視角和DNR系統(tǒng)的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)》的教學(xué)設(shè)計(jì)按照2課時(shí)來(lái)安排，首先列舉了識(shí)別假幣問(wèn)題、L型棋盤覆蓋問(wèn)題、設(shè)置梵天塔問(wèn)題、證明斐波納契數(shù)列中的整除問(wèn)題、平面被直線分割問(wèn)題. 作者設(shè)置這些問(wèn)題的目的，是“吸引學(xué)生興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中產(chǎn)生智力需求”.

不知道作者的意思是讓教師一道一道分析上面的問(wèn)題，先行解決這些問(wèn)題，還是僅僅介紹一下這幾個(gè)問(wèn)題. 如果是先行解決這些問(wèn)題，這其中用到的數(shù)學(xué)歸納法，教師怎樣教給學(xué)生的呢？如果僅僅是介紹這些問(wèn)題，學(xué)生可能真的興趣濃厚，但課堂上學(xué)生的思維總停留在這幾個(gè)問(wèn)題的欣賞上，無(wú)助于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)歸納法.

《基于NPM視角和DNR系統(tǒng)的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)》列舉了三道題給學(xué)生練習(xí)：

10. 證明：當(dāng)n≥1時(shí)，3（n3+2n）.

11. 證明：當(dāng)自然數(shù)n≥4時(shí)，2n

12. 證明：當(dāng)自然數(shù)n≥1時(shí)，+++…+=.

評(píng)析：把上面的第12題交給學(xué)生，不會(huì)有人用數(shù)學(xué)歸納法證明，因?yàn)橛昧秧?xiàng)相抵法解答很簡(jiǎn)單. 解答第10題、第11題正是要用到本課新學(xué)的數(shù)學(xué)歸納法.然而，作者是怎樣以這兩題為出發(fā)點(diǎn)教給學(xué)生數(shù)學(xué)歸納法的？文中不見(jiàn)闡述. 不至于說(shuō)弄懂了數(shù)學(xué)歸納法的歷史演變，或者說(shuō)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法有了興趣就自然而然地掌握了數(shù)學(xué)歸納法吧！

抽象概括是數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)

新課的引入例太易或太難都是不可取的， 《關(guān)注教學(xué)法表征的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)》的引入例不需要數(shù)學(xué)歸納法就能求解，不可取；《基于NPM視角和DNR系統(tǒng)的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)》的引入例（識(shí)別假幣問(wèn)題或整除問(wèn)題）因太難同樣不可取.提出問(wèn)題后，接著是探究解決問(wèn)題的辦法，在探究的過(guò)程中要達(dá)到揭示知識(shí)本質(zhì)的目的. 下面是本人的一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì).

題1 已知n∈N+且2≤n≤6，求證：12+22+…+n2=.

課堂上大多數(shù)學(xué)生的做法是：

當(dāng)n=2時(shí)，左邊=12+22=5，右邊==5. 因?yàn)樽筮?右邊，所以等式成立；

當(dāng)n=3時(shí)，左邊=12+22+32=14，右邊==14. 因?yàn)樽筮?右邊，所以等式成立；

當(dāng)n=4時(shí)，左邊=12+22+32+42=30，右邊==30. 因?yàn)樽筮?右邊，所以等式成立；

當(dāng)n=5時(shí)，左邊=12+22+32+42+52=55，右邊==55. 因?yàn)樽筮?右邊，所以等式成立；

當(dāng)n=6時(shí)，左邊=12+22+32+42+52+62=91，右邊==91. 因?yàn)樽筮?右邊，所以等式成立.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)到，有關(guān)自然數(shù)的命題，原本是要依據(jù)自然數(shù)取不同的值，一式一式證明的.

題2？搖 已知n∈N+且7≤n≤30，求證：12+22+…+n2=.

筆者請(qǐng)科代表分配任務(wù)，全班合作完成上述公式的證明.

學(xué)生甲證明n=10時(shí)等式成立，他寫道：

左邊=12+22+…+102=285+102=385，右邊==385.

教師：“你這里用到了12+22+…+92=285，你計(jì)算過(guò)嗎？”

學(xué)生：“我沒(méi)有計(jì)算，但同學(xué)乙計(jì)算過(guò)了”.

設(shè)計(jì)意圖：明確證明過(guò)的結(jié)論是可以運(yùn)用的，體現(xiàn)了小組合作在課堂教學(xué)中的作用.

接著教師指出：“其實(shí)，你是在已知‘n=9時(shí)，等式成立的前提下，證明了‘n=10時(shí)，等式也成立. 同學(xué)們都是這樣想的嗎？”

教師發(fā)現(xiàn)，學(xué)生都是這樣做的.

問(wèn)題3：已知n∈N+且1≤n≤30，求證12+22+…+n2=.

當(dāng)教師提出這個(gè)問(wèn)題后，學(xué)生感嘆：剛才全班同學(xué)做過(guò)的，現(xiàn)在叫我一個(gè)完成，是不是太為難人了！

我們知道，運(yùn)用歸納法得到的結(jié)論是不可靠的. 例如，數(shù)列{an}中，an=（n2-5n+5）2. 計(jì)算得知，a1=a2=a3=a4=1，但并不能得出an=1（n∈N*），因而也無(wú)意用歸納法得到什么結(jié)論. 但是，我們還是希望從全班學(xué)生的“工作”中，抽象概括出一般性的“工作方法”. 慢慢地，學(xué)生領(lǐng)悟到：除了證“n取較小的正整數(shù)時(shí)，等式成立”外，后面的等式可以用“已知n=k時(shí)等式成立的前提下，通過(guò)證明n=k+1時(shí)等式也成立”來(lái)概括. 按學(xué)生的說(shuō)法，在認(rèn)定班上已有同學(xué)證明了12+22+…+k2=的基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步推導(dǎo)：12+22+…+k2+（k+1）2=+（k+1）2==，這就完成了證明.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的思維過(guò)程，學(xué)會(huì)運(yùn)用“抽象概括”這一思維形式. 抽象概括正是數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

到此，教師可以順勢(shì)推出下題，完成數(shù)學(xué)歸納法的形式化表述.

問(wèn)題4：已知n∈N+，求證：12+22+…+n2=.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法證等式的格式及用詞.

為幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)歸納法證明等式，可以安排下面兩道練習(xí)讓學(xué)生嘗試解答.

練習(xí)1？搖 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，1×4+2×7+…+n（3n+1）=n（n+1）2.

練習(xí)2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，-1+3-5+…+（-1）n（2n-1）=（-1）nn.

設(shè)計(jì)意圖：體驗(yàn)新知應(yīng)用，提高解決問(wèn)題的能力，突破等式變形難點(diǎn).

小專題教學(xué)法

本人承擔(dān)廣東省教育科研第十二五規(guī)劃課題《高中數(shù)學(xué)小專題教學(xué)法》. 我們認(rèn)為，一節(jié)課應(yīng)該是一個(gè)專題，一切教學(xué)活動(dòng)要圍繞這個(gè)專題來(lái)進(jìn)行.作為數(shù)學(xué)歸納法的起始課，第一課時(shí)的教學(xué)目的一是理解數(shù)學(xué)歸納法原理；二是掌握數(shù)學(xué)歸納法的形式化表達(dá). 情境的引入要為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的服務(wù)，情境不但要引起學(xué)生對(duì)新知識(shí)的興趣，更重要的是促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解. 這就是本文以“已知n∈N+且2≤n≤6，求證：12+22+…+n2=”作為新授課引入例的原因. 對(duì)數(shù)學(xué)史的過(guò)度渲染，無(wú)助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解，客觀上還分散學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本身的關(guān)注.這些知識(shí)只能作為課外講座的素材.

我們也注意到，很多的教學(xué)設(shè)計(jì)安排了整除問(wèn)題、幾何問(wèn)題及不等式的數(shù)學(xué)歸納法證明. 無(wú)疑，新舊知識(shí)的結(jié)合有利于知識(shí)的同化，但是作為新授課的第一課時(shí)，新、舊知識(shí)的跨度不能過(guò)大. 否則，這些知識(shí)會(huì)喧賓奪主，影響學(xué)生對(duì)新識(shí)的關(guān)注和理解，而前述練習(xí)1和練習(xí)2就有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法，有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法的表達(dá)形式的.