一道奧數(shù)不等式的推廣

俞謹 謝紅燕

摘 要：本文探究的是一道2010年瑞士數(shù)學奧林匹克競賽試題，它的求證及推廣有一定的啟發(fā)性，尤其該推廣對證明有關(guān)不等式的有著重要的作用.

關(guān)鍵詞：不等式；奧林匹克；啟發(fā)性

一道2010年瑞士數(shù)學奧林匹克競賽試題：

已知x，y，z>0，xyz=1，求證：++≥x+y+z.

《一道2010年瑞士數(shù)學奧林匹克不等式的證明》（蘇立志）一文加以了簡證，《一道競賽題的兩個加強》（侯典峰）一文又給出了兩個加強，本文也給出一種簡證并將對此題做進一步的思考.

證明：因為+z≥2（x+y-1），+x≥2（y+z-1），

+y≥2（z+x-1）. 又因為xyz=1，

所以++≥3（x+y+z）-6≥x+y+z.

推廣1：已知xi>0，i=1，2，…，n，n≥3，xi=λn，

求證：≥xi.

證明：設S=xi，由于xi=λn，

又因為=-2（S-λ）+xi，

所以

=（S-λ）2-2n（S-λ）+S=.

因為·（S-3λ）（S-λ）≥0？圳·（S-3λ）（S-λ）+S≥S，

即≥S，

因此≥xi.

當n=3，λ=1時，此題為奧賽試題.

推廣2：已知xi>0，i=1、2、…、n，n≥3，xi=λn，

求證：≥n3λ.

證明：設S=xi，由于xi=λn，則S≥nλ.

又因為=-2（S+λ）+xi，

所以=（S+λ）2-2n（S+λ）+S=+S≥n3λ.