線性規(guī)劃考題探究

郭紅清

摘 要：高中數(shù)學中線性規(guī)劃的教學和考查充分凸顯了代數(shù)和幾何的結合，在教學中應突出線性規(guī)劃問題的基本特征和解題規(guī)律. 本文選取了近年來相關的優(yōu)秀試題進行針對剖析，從更高層次、更寬角度審視線性規(guī)劃的教學地位和思想方法.

關鍵詞：基本問題；平面區(qū)域；約束條件；目標函數(shù)；雙變量；轉化化歸

線性規(guī)劃的研究內容可歸納為兩個方面：一是系統(tǒng)的任務已定，如何合理籌劃，精細安排，用最少的資源（人力、物力和財力）去實現(xiàn)這個任務；二是資源的數(shù)量已定，如何合理利用、調配，使任務的完成數(shù)最多.

“線性規(guī)劃”在知識的整合、解題思路的拓展、方法的遷移等方面都有其鮮明的特點，有著豐富的思想內涵. 挖掘題中條件，不失時機地運用“線性規(guī)劃”的思想方法解題，將使我們觀察思考問題的立意更高，視野更加開闊.

“線性規(guī)劃”問題的教學現(xiàn)狀

在中學教材中，稱求目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題為線性規(guī)劃問題. “線性規(guī)劃”的教學分為三個層次：

（1）二元一次不等式表示的平面區(qū)域；

（2）二元一次不等式組表示的平面區(qū)域；

（3）線性目標函數(shù)在約束條件下的最值.

只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決.

例如：設實數(shù)x，y滿足0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，則z=2y-x+4的最大值是__________.

上述問題可轉化為一個平面區(qū)域與一條直線在有公共點的前提下，結合z的幾何意義來求解.

具體教學過程中，學生感覺有困難的部分是作圖環(huán)節(jié)，體現(xiàn)在速度慢，不夠準確. 如何準確有效地作出所需圖形，應給予學生充分的指導、訓練和體驗. 學生作圖時會出現(xiàn)過于細致的問題，如逐步描繪坐標系刻度；又或出現(xiàn)過于輕率的問題，連圖形的形狀和基本特征都無法抓住.這兩個問題都使解題的速度和準確性大打折扣.

當然，線性規(guī)劃是一個比較深入的課題，教材中也介紹了更多變量的線性規(guī)劃問題，可引導學生進一步學習.

線性規(guī)劃問題的考查特點與趨勢

1. 轉化成基本線性規(guī)劃問題

常規(guī)考題考查知識與技能，但還需要學生有一定的轉化和化歸意識，命題者會在行文敘述、符號變化、算式特征等方面設置一定障礙，需要解題者對得到的信息加工出熟悉的數(shù)學模型.

例1 （江蘇2013年9題）拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為D（包含三角形內部和邊界）. 若點P（x，y）是區(qū)域D內的任意一點，則x+2y的取值范圍是__________.

分析：本題以拋物線的切線為背景，以文字敘述的方式提供了可行區(qū)域，題中曲線切線利用導數(shù)可得.

解決：求導得y′=2x，切線方程為y=2x-1 ，轉化為等價的基本問題：約束條件為x≥0，y≤0，y≥2x-1，目標函數(shù)z=x+2y. 作出圖形，易知z的取值范圍為-2，.

例2 設實數(shù)x，y滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，則的最大值是__________.

分析：如何將其化歸成基礎問題，找到未知問題和基本題之間的橋梁是破解的關鍵.

解法一：整體代換，令xy2=m，=n，

那么==，轉化為等價問題：約束條件為3≤m≤8，16≤N≤81.目標函數(shù)為z=，z幾何意義為對應區(qū)域內動點與坐標原點連線的斜率，易得最大值為27.

解法二：將除法轉變?yōu)楹突虿?，題中代數(shù)式兩邊都取以2為底的對數(shù)，令log2x=A，log2B=y. 轉化為等價問題：約束條件為log23≤A+2B≤3，2≤2A-B≤2log23，目標函數(shù)為z=3A-4B，可行區(qū)域如圖，容易求得z的最大值為3log23，那么=2z的最大值是27.

圖2

點評：解法一采用了整體換元，解法二采用了取對數(shù)化積為和、化除為差，通過轉化和化歸轉化成已經解決過的基本問題.

2. 線性規(guī)劃問題的拓展延伸

（1）線性規(guī)劃問題中目標函數(shù)的拓展

熟悉線性規(guī)劃基本題還遠遠不夠，深刻把握它的數(shù)學特點和數(shù)學思想，在實際處理問題中將未知問題轉化為基本題才更重要. 那么該類問題的基本特點是什么，常見問題是什么？只有清楚這些，我們才能在實際處理過程中及時、敏銳地轉化問題，達到解決問題的目的.

以下提供最常見的基本類型；

約束條件：實數(shù)x，y滿足y≤x，y≥0，2x-y≤2，可行區(qū)域如圖3.

圖3

目標函數(shù)（1）：z=3x+y的最大值是__________，z的幾何意義即直線y=-3x+z的縱截距；

目標函數(shù)（2）：z=的最大值是__________，z的幾何意義即可行區(qū)域內動點P（x，y）與點（-1，0）所連直線的斜率；

目標函數(shù)（3）：z=的最大值是__________，z的幾何意義即可行區(qū)域內動點P（x，y）與點（0，1）之間的距離.

與線性規(guī)劃相關的問題普遍具有一些基本特征，主要表現(xiàn)為已知條件是含“雙變量”的不等關系，目標任務為代數(shù)式的最值或取值范圍問題. 可解決的目標函數(shù)也不一定是線性代數(shù)式，可以為其他類型.常見的可以為乘積或比值形式、二次或根式形式，甚至可以用向量等給出的代數(shù)式. 也不一定拘泥于目標函數(shù)的最值問題，也可成為以可行區(qū)域為背景的面積、向量、概率等問題.

（2）線性規(guī)劃問題中約束條件的拓展

我們可以將它的數(shù)學思想拓展得更寬. 約束條件不一定要是線性約束條件，相應的平面區(qū)域也可以為直線、圓、曲線等構成的復合形態(tài).

例如：實數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則x+y的最大值是__________.

此題可行區(qū)域可認為是圓，可視為曲線圓與直線x+y=m有公共點. 由此看來，約束條件的給出有了更大的空間，線性規(guī)劃這個知識點也更容易滲透到其他數(shù)學知識點中.

例3 若a>0，b>0且+=1，則a+2b的最小值為__________.

分析：題目涉及兩個變量的等量關系，可以考慮減元處理，已由代數(shù)式整理得a=-b++1，結合基本不等式解決a+2b的最小值；也可以考慮其幾何意義，視作以b為自變量的函數(shù)，那么P（b，a）為函數(shù)圖象上的每一個點.

圖4

解決：a=-b++1，令z=a+2b，z表示此直線的縱截距.當直線與曲線相切時z最小，此時a′=-2.求導a′=-1-，所以b=，a=-++1=+，所以a+2b=+.

例4 （江蘇2012年14題）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是__________.

分析：此題和基本問題的相似度極高，已知條件含有3個變量，而且目標函數(shù)為比值形式，有明確的幾何意義. 由代數(shù)式clnb≥a+clnc的邏輯計算知ln≥，由此得到轉化的突破口，可轉化為兩個變元.

圖5

解決：已知兩個不等式同除c得到5-3≤≤4-，ln≥.記=x，=y，

轉化為等價問題：

約束條件為x，y>0，5-3x≤y≤4-x，lny≥x？圳y≥ex，目標函數(shù)k==.

作出圖形，利用導數(shù)求出曲線y=ex過坐標原點的切線為y=ex，發(fā)現(xiàn)切點T（1，e）在可行區(qū)域內. 綜上，直線y=kx過C點時k最大，與曲線y=ex相切于點T時k最小. 所求取值范圍為[e，7].

圖6

點評：三變量的問題轉化為兩變量問題，該問題的解決具有一定的代表性.由已知代數(shù)式還可以考慮同除a或b進行轉化，不是每一個轉化都適合，但有些轉化又是相通和可行的，因此求解時需要一定的嘗試和觀察.

3. 線性規(guī)劃問題的知識遷移

有些數(shù)學問題并無明顯的線性規(guī)劃痕跡，卻也可以轉化成線性規(guī)劃的基本問題，比如解析幾何、函數(shù)、數(shù)列等含有多個變量的數(shù)學問題可采用線性規(guī)劃的方法來求解. 以下試題立足于課本，但高于課本，題目充分體現(xiàn)了命題教師的高瞻遠矚，而反過來又對高中的教學提出更高要求.

例5 （江蘇2011年14題）設集合A=（x，y）≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R，B={（x，y）2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠，則實數(shù)m的取值范圍是__________.

分析：兩集合為點集，交集非空.思考難度超越課本，類比線性規(guī)劃，將其轉化為兩個平面區(qū)域有公共點，同時本題的計算量大.

解決：集合A對應區(qū)域為D1，集合B對應區(qū)域為D2，D2容易認識為兩平行直線確定的帶狀區(qū)域. 由區(qū)域D1非空可知m2≥，求得m≤0或m≥.

（1）m=0區(qū)域D1收縮為一點，容易判斷不滿足要求；

（2）m≠0區(qū)域D1又分為兩種情況，當m<0時D1表示一個半徑為-m的圓，當m>0時表示兩個同心圓確定的環(huán)形區(qū)域.不論哪種情況，要滿足題意，只需要保證圓（x-2）2+y2=m2和直線x+y=2m或直線x+y=2m+1其中之一有公共點. 圓心到兩直線距離分別為d1和d2，且d1=，d2=. 所以d1≤r=m或d2≤r=m，容易解得m∈1-，2+，綜合以上分析，實數(shù)m的取值范圍是，2+.

點評：問題描述采用了幾何語言，解決思路和線性規(guī)劃有類似之處，同時解析幾何背景很強，充分考查了直線和圓的位置關系，而且分析時利用分類討論細化，處理時又不討論集中解決，思維跳躍度很大.

例6 已知a，b為常數(shù)，a≠0，函數(shù)f（x）=a+ex. 若f（2）<0，f（-2）

分析：此題僅僅從表象上看到已知條件對變量a，b作了限制，與線性規(guī)劃知識點的相關性相當隱蔽. 該題目變量的關系相互依賴性較強，關鍵從已知條件合理的抽離出最有效約束條件.

圖7

解決：由f（2）<0，f（-2）0，b<0，2a+b<0，2a-b<2，4a+b≥0，點（a，b）形成的平面區(qū)域如圖7為△OAB，面積易得為.

點評：g（x）=ax2+bx-b≥0恒成立分析較難，考慮不等式成立的必要條件攻克了這個難點，根據(jù)代數(shù)式的依存關系得到約束條件，畫出圖形，所求面積視為兩個三角形面積差.

以上可以看出這些問題和教材中很多知識點綜合，都需要學生具備良好的知識遷移能力. 包括高考在內的眾多考題都或多或少地含有線性規(guī)劃知識或思想的若干部分，這樣的考題都具備一定的難度，成為命題的熱點題型，在考試中層出不窮.

教學感悟與思考

高中數(shù)學教學中，“數(shù)形結合”的思想方法，是最常見和最行之有效的思想方法. 線性規(guī)劃是高中數(shù)學教學中滲透“數(shù)學結合”思想的有效載體，可以和函數(shù)、數(shù)列、向量、解析幾何等知識交匯，形成一些讓人耳目一新、具有創(chuàng)意的題目和解法.

因此在教學時，切忌操之過急，作圖過程中要肯投入時間，要讓學生有體驗. 在解決問題時要注重學生知識的建構，建立在理解的基礎上傳授知識，滲透數(shù)學思想，不能變成灌輸式的教學. 否則，學生只能解決數(shù)學課本上的基本問題，不能完成知識的遷移.