桃花潭水深千尺 不及數(shù)列送我情

邢碩煒

摘 要：數(shù)列問題是典型的數(shù)學(xué)問題.2014年江蘇高考20題是一道立意較高、能夠有效考查學(xué)生思維品質(zhì)的試題. 本文分析并拓展了這道高考數(shù)列題，給出了解決該問題的更一般的方法.

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列；H數(shù)列；分析；思考

在中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)過程中數(shù)列問題是典型的數(shù)學(xué)問題，在提出、探究和解決問題的思維活動(dòng)中，在考量分析問題和解決問題的能力時(shí)對(duì)數(shù)列問題又情有獨(dú)鐘.

2014年江蘇高考有一道與數(shù)列有關(guān)的壓軸大題.它定義一個(gè)新概念：若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=am，即若數(shù)列前任意項(xiàng)的和是此數(shù)列中的項(xiàng)，則稱{an}是“H數(shù)列”. 共設(shè)計(jì)了三個(gè)問題：一是在驗(yàn)證前n項(xiàng)和為Sn=2n（n∈N*）的特殊數(shù)列{an}是“H數(shù)列”；二是已知首項(xiàng)a1=1，公差d<0的等差數(shù)列是“H數(shù)列”，求d值；三是推理證明對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立.第三問即推證任意的等差數(shù)列是兩個(gè)“H數(shù)列”的和，是一個(gè)難度極高的數(shù)學(xué)問題. 它不但符合考試評(píng)價(jià)在推理論證能力的考查時(shí)提出的“能夠根據(jù)已知的事實(shí)和已經(jīng)獲得的正確的數(shù)學(xué)命題，運(yùn)用歸納、類比和演繹進(jìn)行推理，論證某一數(shù)學(xué)命題的真假性”的要求，更符合《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是學(xué)生自我探究、體驗(yàn)和經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的課程理念.

不妨我們一起來(lái)探討這個(gè)數(shù)列問題的思考與分析過程.

特例驗(yàn)證理解概念

第一問是驗(yàn)證前n項(xiàng)和為Sn=2n （n∈N*）的特殊數(shù)列{an}是“H數(shù)列”，較容易，意在熟悉理解怎樣的數(shù)列是“H數(shù)列”. 事實(shí)上當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1（當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2），由此可知n=1時(shí)，S1=a1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=an+1，即得數(shù)列{an}是“H數(shù)列”. 看似容易，但它的目的是理解“H數(shù)列”的實(shí)在內(nèi)涵.

概念理解驗(yàn)證特例

第二問是在已知首項(xiàng)a1=1，公差d<0的等差數(shù)列是“H數(shù)列”的條件下，求d值的設(shè)問，求解較容易，但它蘊(yùn)涵著為第三問的解決提供實(shí)現(xiàn)方法與知識(shí)鋪墊.

事實(shí)上等差數(shù)列{an}中有：Sn=na1+d=n+d=1+（m-1）d.

根據(jù)對(duì)于任意n∈N*，存在m∈N*，使得等式n+d=1+（m-1）d成立.

將n最特殊化，便有

當(dāng)n=1時(shí)，1=1+（m-1）d，由d<0及m∈N*可得，m=1；

當(dāng)n=2時(shí)，2+d=1+（m-1）d，由d=<0，m<2，再由m∈N*可得，m=1， d=-1.

下面證明d=-1時(shí){an}是“H數(shù)列”.

此時(shí)，an=-n+2，Sn=-+=--+2+2=-+2.

由于n2-3n+4>0，且n2-3n=n（n-3）為偶數(shù)，所以∈N*，即存在正整數(shù)m=使得Sn=am成立.

立足特殊合理構(gòu)造

第三問證明對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立，它是一個(gè)關(guān)于任意的正整數(shù)n都成立的命題，構(gòu)造推證不能漫無(wú)目的，往往嘗試從熟悉、特殊的等差、等比數(shù)列開始入手. 而特殊的等差數(shù)列有常數(shù)列、首項(xiàng)與公差有特殊關(guān)系的數(shù)列等. 顯然，常數(shù)列不是“H數(shù)列”，因此考慮首項(xiàng)與公差有特殊關(guān)系的數(shù)列. 不妨首先判斷首項(xiàng)a1與公差d相等的特殊等差數(shù)列是否是“H數(shù)列”.

此時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)為an=a1+（n-1）d=d +（n-1）d=nd，

前n項(xiàng)的和為Sn=na1+d=d.

考慮到∈N*，所以存在正整數(shù)m=，使得Sn=am，

因此，首項(xiàng)與公差相等的等差數(shù)列一定是“H數(shù)列”.

其次判斷首項(xiàng)a1與公差d互為相反數(shù)的等差數(shù)列是否是“H數(shù)列”.

此時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)為an=a1+（n-1）d=（n-2）d，

前n項(xiàng)的和為Sn=na1+=-d=-2d.

由于n2-3n+4>0，且n2-3n=n（n-3）為偶數(shù)，所以∈N*，

即？堝m=使得Sn=am.

因此，首項(xiàng)a1與公差d互為相反數(shù)的等差數(shù)列{an}也一定是“H數(shù)列”.

根據(jù)以上判斷可知，首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列{bn}與首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列{cn}都是“H數(shù)列”，且bn+cn=a1+（n-1）d=an，從而推證得，對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈ N*）成立.

歸納通性合理拓展

具有首項(xiàng)與公差絕對(duì)值相等性質(zhì)的等差數(shù)列一定是“H數(shù)列”，這是特殊情形，那么，有更一般情況嗎？

事實(shí)上，等差數(shù)列{an}為“H數(shù)列”，則有Sn=na1+，am=a1+（m-1）d，？搖

且對(duì)于？坌n∈N*，？堝m∈N*，使得Sn=am成立，

即有d=a1.

當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1；

當(dāng)n=2時(shí)，d=，d=-a1，a1，a1，a1，…

當(dāng)n=3時(shí)，d=，d=-a1，-a1，-2a1，2a1，a1，a1，a1，…

當(dāng)n=4時(shí)，d=，d=-a1，-a1，-a1，-a1，-a1，-3a1，3a1，a1，a1，a1，a1，a1，…

結(jié)論1 滿足條件公差d=a1的等差數(shù)列{an}是“H數(shù)列”.

事實(shí)上，等差數(shù)列{an}中公差d=a1，則an=a1+a1，

Sn=na1+×a1=a1=a1+a1=a1+-1a1，

由于n2+3n-2>0，且n2+3n=n（n+3）為偶數(shù)，所以∈N*.

即？堝m=，使得Sn=am.

結(jié)論2 滿足條件公差d=a1（λ∈{-1}∪N*）的等差數(shù)列{an}是“H數(shù)列”.

事實(shí)上，等差數(shù)列{an}中公差d=a1，則an=a1+（n-1）d=a1+（n-1）a1，

Sn=na1+d=na1+×a1=a1+（n-1）a1+a1=a1+λ（n-1）++1-1.

由于λ∈{-1}∪N*，則λ（n-1）++1∈N*，

即？堝m=λ（n-1）++1，使得Sn=am.

結(jié)論3 推證對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立更一般的方法.

列表1待定表中“H數(shù)列”{bn}的首項(xiàng)x.

由an=bn+cn（n∈N*）得，

x+（a1-x）=d，即x==（λ，μ∈{-1}∪N*，λ≠μ）.

由λ，μ取值的任意性可知，任意的等差數(shù)列可以有無(wú)數(shù)種表示為兩個(gè)“H數(shù)列”的和的形式. 如當(dāng)λ=1，μ=-1時(shí)，等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為，公差為，等差數(shù)列{cn}的首項(xiàng)為，公差為，都是“H數(shù)列”，且an=bn+cn.

總結(jié)回味認(rèn)識(shí)反思

英國(guó)著名數(shù)學(xué)家懷特海在《教育的目的》一書中提出：在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，你的結(jié)果越具體越好，而涉及方法時(shí)，則是越一般越好. 推理的基本過程是將特殊的東西一般化，將一般的東西特殊化，沒有一般化就沒有推理，沒有具體化則毫無(wú)意義.

利用所學(xué)知識(shí)和現(xiàn)有能力分析、解決一個(gè)全新的問題，應(yīng)該具有一定的閱讀理解、邏輯推理以及獨(dú)立獲取等能力. 文中分析并拓展了一道高考數(shù)列題，雖然是在新背景下研究的一道新概念題，但其解決問題的思維方式并不新. 還是立足于熟悉的基本數(shù)列——等差數(shù)列，立足于等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差的特殊關(guān)系，立足于基本的研究問題的方法——特殊到一般再?gòu)囊话愕教厥?，先猜想再證明方法. 還是常用發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的通性通法.