對一道高考試題的推廣

王歷權(quán) 黨忠良

摘 要：據(jù)研究，較多高考圓錐曲線問題有深刻的知識(shí)背景，本文對江西省2013年理科的一道高考試題進(jìn)行研究并加以推廣，得到一個(gè)橢圓、雙曲線和拋物線共有的性質(zhì)，成為一座將三種曲線完美連接起來的橋梁.

關(guān)鍵詞：高考試題；圓錐曲線；推廣

先看江西省2013年理科第20題：

如圖1，橢圓C：+=1（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)P1，，離心率e=，直線l的方程為x=4.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在求λ的值；若不存在，說明理由.

圖1

這個(gè)問題的解法如下：

橢圓方程為+=1，計(jì)算過程略；設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），帶入橢圓方程+=1并整理，得（4k2+3）x2-8k2x+4（k2-3）=0. 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=①，

在直線AB方程中令x=4得，M的坐標(biāo)為（4，3k）. 從而k1=，k2=，k3==k-.

注意到A，F(xiàn)，B共線，則有k=kAF=kBF，即有==k.

故k1+k2=+=+-+=2k-·②.

①代入②得k1+k2=2k-·=2k-1.

又k3=k-，所以k1+k2=2k3. 故存在常數(shù)λ=2符合題意.

思考一：注意到點(diǎn)P1，的橫坐標(biāo)與右焦點(diǎn)F的橫坐標(biāo)相同，由此想到此結(jié)論是否對一般的橢圓方程也成立，即：Pc，，當(dāng)直線AB是經(jīng)過橢圓C：+=1（a>b>0）右焦點(diǎn)F（c，0）的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l：x=相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，那么上述結(jié)論是否也成立？

證明：此結(jié)論依然成立.設(shè)直線AB方程y=k（x-c），A（x1，y1），B（x2，y2），則M，，由前面的證明知==k，且k3==k-.

聯(lián)立橢圓方程+=1及直線AB方程y=k（x-c）得：

（b2+a2k2）x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0，則x1+x2=，x1x2=③，

故k1+k2=+=+-+=2k-·④.

③代入④得k1+k2=2k-·=2k-，

所以k1+k2=2k3. 故存在常數(shù)λ=2符合題意.

思考二：受圓錐曲線的阿基米得三角形性質(zhì)的啟發(fā)，當(dāng)直線AB經(jīng)過長軸上不與端點(diǎn)和原點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)Q（m，0）（此處不妨假設(shè)m>0）時(shí)，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，與直線l：x=交于點(diǎn)M，Pm，，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，上述結(jié)論是否也成立？

證明：此結(jié)論依然成立. 設(shè)直線AB方程y=k（x-m），A（x1，y1），B（x2，y2），則

M，，==k，且k3==k-.

聯(lián)立橢圓方程+=1及直線AB方程y=k（x-m）得：

（b2+a2k2）x2-2a2mk2x+a2m2k2-a2b2=0，則x1+x2=，x1x2=⑤，

故有k1+k2=+=+-+=2k-·⑥.

⑤代入⑥得k1+k2=2k-·=2k-，

所以k1+k2=2k3. 故存在常數(shù)λ=2符合題意.

思考三：將橢圓換成雙曲線-=1，當(dāng)直線AB經(jīng)過x軸上位于雙曲線內(nèi)部的任意一點(diǎn)Q（m，0）（此處不妨假設(shè)m>0）時(shí)，與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，與直線l：x=交于點(diǎn)M，Pm，，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，那么上述結(jié)論是否也成立？

圖2

？搖證明：依然成立. 設(shè)直線AB方程y=k（x-m），A（x1，y1），B（x2，y2），則

M，，==k，且k3==k+.

聯(lián)立雙曲線方程-=1及直線AB方程y=k（x-m）得：

（b2-a2k2）x2+2ma2k2x-（a2m2k2+a2b2）=0，則x1+x1=，x1x2=⑦，

故有k1+k2=+=+-+=2k-·⑧.

⑦代入⑧得k1+k2=2k+，所以k1+k2=2k3. 故存在常數(shù)λ=2符合題意.

思考四：將橢圓換成拋物線y2=2px（p>0），當(dāng)直線AB經(jīng)過x軸上位于拋物線線內(nèi)部的任意一點(diǎn)Q（m，0）時(shí)，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與直線l：x=-m交于點(diǎn)M，P（m，），記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，那么上述結(jié)論是否也成立？

圖3

證明：上述結(jié)論依然成立；如圖設(shè)直線AB方程y=k（x-m），A（x1，y1），B（x2，y2），則M（-m，-2mk），==k，且

k3==k+.

聯(lián)立拋物線y2=2px及直線AB方程y=k（x-m）得：k2x2-（2mk2+2p）x+m2k2=0，

則x1+x2=，x1x2=m2⑨，

故有k1+k2=+=+-+=2k-·⑩.

⑨代入⑩得k1+k2=2k+，所以k1+k2=2k3. 故存在常數(shù)λ=2符合題意.

令人驚喜的是，上述橢圓、雙曲線、拋物線的幾個(gè)結(jié)論中，當(dāng)直線A，B經(jīng)過曲線右焦點(diǎn)F時(shí)，k3有著驚人的相似程度：橢圓中k3=k-，雙曲線中k3=k+，拋物線中k3=k+1，這個(gè)問題將成為一座將三種曲線完美連接起來的橋梁. 在之后的一段時(shí)間里，筆者會(huì)繼續(xù)就這個(gè)問題展開更深入的研究，希望能使這三條結(jié)論有一個(gè)更加統(tǒng)一的形式.