一道貌似正確向量題錯解的剖析與反思

徐斌 吳甬翔

摘 要：平面向量具有集合與代數(shù)形式的雙重性，它是中學(xué)數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的重要交匯點，也是各類考試命題的重點和熱點內(nèi)容. 盡管教師對這塊知識的講解已經(jīng)十分詳盡了，但為什么學(xué)生在處理有關(guān)向量問題時，總會出現(xiàn)各種問題呢？對一道典型平面向量題的錯解進(jìn)行深入剖析和教學(xué)反思顯得十分必要.

關(guān)鍵詞：平面數(shù)量積；幾何代數(shù)形式；錯解剖析；教學(xué)反思

在教學(xué)中，如果適當(dāng)?shù)赝卣怪R，在解題之后引導(dǎo)學(xué)生研究、思考，，之間的關(guān)系與A，B，C三點共線的聯(lián)系，可得到一般性的結(jié)論：若A，B，C三點共線，O為線外一點，則=λ+（1-λ），反之也成立

這一結(jié)論在許多解題中得到應(yīng)用，這類依托教材例題的知識點挖掘拓展不僅使學(xué)生能打通前后知識間的聯(lián)系，更滲透了一種研究問題的方法；就考試層面而言，讓學(xué)生切實感受到某些高考題源于教材的特點，從而提高學(xué)生對教材的重視程度. 對于教師來說，在日常教學(xué)中，應(yīng)善于用聯(lián)系的觀點研究教材的例題和習(xí)題，發(fā)揮數(shù)學(xué)教材的內(nèi)在力量，使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué).

題目：已知向量m，n滿足：對任意λ∈R，恒有m-λ（m-n）≥，則

（ ）

A. m=n-m B. m=n

C. m=n+m D. m=2n

此題主要考查平面向量數(shù)量積的相關(guān)知識，但從學(xué)生解答情況看，對向量數(shù)量積相關(guān)運算掌握不好，將許多實數(shù)的結(jié)論與數(shù)量積運算相混淆.

錯解：原不等式等價于4（m-n）2λ2-8λm·（m-n）+4m2-（m+n）2≥0對λ∈R恒成立，所以Δ≤0，即64（m·（m-n））2-16（m-n）2[4m2-（m+n）2]≤0.

所以4m2·（m-n）2-4m2·（m-n）2+（m-n）2·（m+n）2≤0，

所以（m-n）2·（m+n）2≤0，即（m-n）2≤0. 所以m=n，選B.

錯因剖析：上述計算過程中，運用了（m·n）2=m2·n2，此等式并不一定成立，只有當(dāng)m與n共線時才成立，所以不能用這個結(jié)論. 在平面向量這一章中，我們不能把實數(shù)的結(jié)論想當(dāng)然地拿過來用，實際上，實數(shù)中的很多結(jié)論在向量中是不成立的，如：①若a·b=0，則a=0或b=0；②若a·b=c·b，且b≠0，則a=c；③若a·b=λb2，則a=λb；④a+ba-b=a2-b2；⑤（a·b）2=a2·b2；⑥若a=b，則a·c=b·c.

這些結(jié)論都是錯誤的. 在平面向量數(shù)量積知識運用時，我們要慎重對待課本上沒有出現(xiàn)過的結(jié)論、定理.如何求解此題呢？我們知道平面向量是數(shù)形結(jié)合的典型載體，它既有幾何的表示，又有代數(shù)的運算，針對本題，筆者試著從形的角度來突破.

解法一（數(shù)形結(jié)合）：原不等式即為（1-λ）m+λn）≥，對λ∈R恒成立.

記m=，n=，=（1-λ）m+λn，

即=（1-λ）+λ，故P，A，B三點共線.

如圖1，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，C為對角線交點，則==.

圖1

所以原題可等價轉(zhuǎn)化為，點C為△AOB中邊AB的中點，P是直線AB上任一點，若≥恒成立，則OA與OB之間滿足什么關(guān)系？

由圖易知，當(dāng)⊥時，≥恒成立，

所以△ABC為等腰三角形，即OA=OB，所以m=n，選B.

通過作業(yè)批改，發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生根據(jù)選擇題這一題型特點，結(jié)合數(shù)量積運算，采用特殊值法求解此題，筆者發(fā)現(xiàn)也不失為一個好解法.

解法二（特殊法）：當(dāng)λ=0時，原不等式即為m≥，化簡整理得3m2≥n2+2m·n恒成立，

所以cos≤恒成立，故3m2-n2≥2mn，即m≥n.

當(dāng)λ=1時，n≥，同上可得m≤n.

由λ的任意性知m=n，選B.

此解法雖然只取了λ=0，1，兩個特殊值求解，但在求解過程中，仍要求熟練應(yīng)用平面數(shù)量積的基本知識.

反思平面向量知識的教學(xué)，筆者認(rèn)為主要問題還是在于“教”，比如在課堂上講解向量的運算法則時，總覺得有點“輕視”向量運算法則成立的推導(dǎo)過程，“重視”運算法則的應(yīng)用技巧，從而使學(xué)生缺乏對向量運算本質(zhì)上的認(rèn)知，只從形式上直觀地認(rèn)為與實數(shù)運算相同，導(dǎo)致知識點混淆. 還有在平時教學(xué)中，有相當(dāng)多的教師不喜歡使用教材中的例題和習(xí)題，認(rèn)為教材中的例題和習(xí)題過于簡單，對提高學(xué)生的解題能力，訓(xùn)練學(xué)生的思維沒有太多幫助. 通過教學(xué)實踐，教材中的例題和習(xí)題具有很強(qiáng)的基礎(chǔ)性、典型性、示范性和遷移性，許多例題雖然簡單，但它們反映了相關(guān)數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)屬性，蘊涵著重要的數(shù)學(xué)思想方法. 這些數(shù)學(xué)思想方法對于解決其他數(shù)學(xué)問題有十分顯著的現(xiàn)實作用，比如（人教版《數(shù)學(xué)必修4》第89頁例6）已知任意兩個非零向量a，b，試作=a+b，=a+2b，=a+3b，你能判斷A，B，C三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？