一類雙線性SEIQS模型的定性分析

崔 寧

（河北建筑工程學(xué)院數(shù)理系，河北 張家口075000）

0 引 言

現(xiàn)實(shí)生活中人們面臨著許多傳染病的威脅，數(shù)學(xué)模型在分析疾病的傳播和控制措施的制定中起著非常重要的作用，而隔離一直作為有效的措施應(yīng)用于H1N1、HIV／AIDS、SARS［1－3］等疾病控制中.將總?cè)藬?shù)分為易感者類S、潛伏者類E、感染者類I和隔離者類Q，本文將研究具雙線性傳染率［4］的SEIQS模型

這里，易感者來源分為常數(shù)遷入率A和對(duì)潛伏者和感染者的有效治愈率μ1ω1E、μ2ω2I，其中，ω1和ω2分別代表對(duì)潛伏者和感染者的隔離率；各艙室類的自然死亡率為d；因病死亡率和潛伏期的發(fā)病率分別用α、ε表示.

顯然，我們只需考查（1.1）的子系統(tǒng)

由（1.2）可得

因此

所以系統(tǒng)（1.2）的不變集為

定義D的邊界和內(nèi)點(diǎn)集合分別為?D和°D，經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算可得系統(tǒng)存在兩個(gè)正平衡點(diǎn)：無病平衡點(diǎn)P0＝（A／d，0，0）∈?D和地方病平衡點(diǎn)P1＝（S1，E1，I1），其中

S1＝（d＋ε＋ω1）（d＋α＋ω2）／（εβ），I1＝I0（R0－1），E1＝（d＋α＋ω2）I1／ε，為系統(tǒng)（1.2）的基本再生數(shù)，由此可得結(jié)論

定理1R0≤1時(shí)，P0為D內(nèi)的唯一平衡點(diǎn)；R0＞1時(shí)，內(nèi)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)P1.

1 全局穩(wěn)定性

引理1 若R0＞1，選取充分大的t＞0，存在緊吸引集，當(dāng)t＞t時(shí)，沿系統(tǒng)（1.2）過初值（S（0），E（0），I（0））∈K的解（S（t），E（t），I（t））均有βS（t）＞μ2ω2成立.

證明 由系統(tǒng)（1.2）可得

若βS（t）≤μ2ω2，應(yīng)有S′（t）≥A－dS（t）≥A－dμ2ω2／β，注意到R0＞1，所以

可知（1.2）的所有解在無窮遠(yuǎn)處都經(jīng)過直線βS（t）＝μ2ω2并最終保留在直線之上，因此，對(duì)于充分大的t＞0，當(dāng)t＞t時(shí)，βS（t）≥μ2ω2對(duì)于過初值（S（0），E（0），I（0））∈K的解（S（t），E（t），I（t））均成立.證畢

定理2 （i）當(dāng)R0≤1時(shí)，D內(nèi)存在唯一的無病平衡點(diǎn)P0，且全局漸近穩(wěn)定；（ii）當(dāng)R0＞1時(shí)，°D內(nèi)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)P1，P0不穩(wěn)定.

證明 構(gòu)建函數(shù)

對(duì)函數(shù)沿著（1.2）的解求導(dǎo)數(shù)，當(dāng)R0≤1有

此外，當(dāng)且僅當(dāng)I＝0時(shí)，有V′＝0，在｛（S，E，I）∈D∶V′＝0｝上的最大不變集為單點(diǎn)集｛P0｝.因此，由LaSalle不變集原理［5］可知，當(dāng)R0≤1時(shí)P0全局漸近穩(wěn)定.同時(shí)I＞0時(shí)，有V′＞0，及可S＞A／（dR0）知結(jié)論（ii）成立.證畢

定理3 當(dāng)R0＞1時(shí)，°D內(nèi)唯一的地方病平衡點(diǎn)P1全局漸近穩(wěn)定.

證明 通過上述結(jié)果，可知系統(tǒng)（1.2）在可行集D的內(nèi)部滿足文獻(xiàn)［6］中的條件（H1），（H2），系統(tǒng)的加法復(fù)合矩陣為

定義函數(shù)

矩陣

經(jīng)計(jì)算得

將（u，v，w）定義為的向量，選擇R3中的范數(shù)，并把ρ記為該范數(shù)的Lozinskii測(cè)度，結(jié)合文獻(xiàn)［7］可估計(jì)ρ（B）≤sup（g1，g2），這里

由系統(tǒng)（1.2）可得

因此，選擇充分大的t使得

對(duì)t＞t成立.所以，存在一吸引集K，使得沿系統(tǒng)（1.2）過初值x0∈K的解有

從而可知q2≤－d／2＜0成立.所以°D內(nèi)唯一的地方病平衡點(diǎn)P1全局漸近穩(wěn)定.證畢

2 仿 真

接下來我們討論系統(tǒng)極限環(huán)的存在性，我們?nèi)?shù)值為

A＝0.1，μ1＝μ2＝w1＝w2＝0.0001，α＝ε＝0.1，d＝0.0001，β＝0.0011，

則系統(tǒng)存在地方病平衡點(diǎn)P1＝（3.6728，5.1087，25.4165）.經(jīng)計(jì)算得Jacobian矩陣的特征根為－0.684， －0.0337i， 0.0337i，

顯然，此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分支.所以，結(jié)合文獻(xiàn)［8］，當(dāng)β1＝0.001＜β時(shí)，系統(tǒng)在地方病平衡點(diǎn)P1附近出現(xiàn)極限環(huán)，如圖1.

圖1 系統(tǒng)極限環(huán)現(xiàn)象

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［2］Ram Naresh，Agraj Tripathi，Dileep Sharma，Modelling and analysis of the spread of AIDS epidemic with immigration of HIV infectives.Mathematical and Computer Modelling，49（2009）：880～892

［3］Ying－Hen Hsieh，Chwan－Chuan King，Cathy W.S Chen etc，Impact of quarantine on the 2003SARS outbreak：A retrospective modeling study.Journal of Theoretical Biology 244（2007）：729～736

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［5］J.P.LaSalle，The Stability of Dynamical Systems，SIAM，Philadephia，PA，1976

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