全微分方法在動量定理的適應(yīng)性研究

張進(jìn)福 李建寬

（河北建筑工程學(xué)院 數(shù)理系 河北 張家口075000）

0 引 言

眾所周知，隨著國家“十一五”計劃的逐步實施，一大批優(yōu)秀高等教育的教材也應(yīng)運而生.由北京郵電大學(xué)出版的、趙近芳和王登龍教授編寫的《大學(xué)物理學(xué)》就是其中的一本.雖然這樣的好教材在一定程度上，體現(xiàn)了“高、寬、新、活、宜”的教材寫作風(fēng)格，更加適應(yīng)當(dāng)前教學(xué)改革的要求.但是，在追求反應(yīng)新科技發(fā)展的過程中，難免所新選的內(nèi)容與原版教材中的原理部分有些不融洽、不適應(yīng)，這種不適應(yīng)可能來自于教材作者和教材的講授者之間；也可能來自于教材本身的內(nèi)容銜接有些不足.

為了解決以上的問題，通過認(rèn)真思考和比較，我們在力學(xué)部分引入高等數(shù)學(xué)的全微分的思想，構(gòu)建二元函數(shù)全微分下的動量定理的對稱公式.以下我們圍繞這個問題進(jìn)行討論.

1 關(guān)于適應(yīng)性和二元函數(shù)的全微分

適應(yīng)性是生物與環(huán)境表現(xiàn)相適應(yīng)的現(xiàn)象，經(jīng)典的解釋就是達(dá)爾文的適者生存，不適者被淘汰.也就是說生物在長時間地與環(huán)境的應(yīng)激能力的不斷固化下形成的一種和環(huán)境相適應(yīng)的特征，但此回答同時不應(yīng)忽略環(huán)境的主動作用.

在學(xué)習(xí)的過程中，適應(yīng)性不僅僅是指學(xué)習(xí)者和學(xué)習(xí)環(huán)境相適應(yīng)，也應(yīng)該包括教材本身主動地不斷改編以適應(yīng)于學(xué)生更好地學(xué)習(xí).

對二元函數(shù)f（x，y）來說，如果在給定的單聯(lián)通區(qū)域，它的兩個對x和y偏導(dǎo)數(shù)存在，全微分的表達(dá)無非是把對其兩個自變量x和y分別求的那兩個一階偏導(dǎo)數(shù)求出，然后寫成如下形式即可.

更一般的討論是：根據(jù)二元函數(shù)的一階微分方程P（x，y）dx＋Q（x，y）dy＝0，方程的左端恰好表達(dá)的是一個二元函數(shù)u（x，y）的全微分.即：du（x，y）＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy.

根據(jù)對一個二元函數(shù)的全微分的要求，我們知道：存在一個開區(qū)域G，而且，是單聯(lián)通區(qū)域，在這個區(qū)域內(nèi)，P（x，y），Q（x，y）正好就是這個二元函數(shù)u（x，y）對x和y的一階偏導(dǎo)數(shù).

從以上的討論，可以看出：

1）這兩個一階偏導(dǎo)數(shù)，具有在G內(nèi)連續(xù)的的特征；

2）由于u（x，y）僅是x和y的二元函數(shù)，再由于兩個偏導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)對于x和y而進(jìn)行的數(shù)學(xué)運算，所以，相對具于變量x和y來說，全微分運算具有數(shù)學(xué)運算的完備性特征.

2 動量定理的相關(guān)討論和做法

2.1 利用動量定理的例題

從趙近芳，王登龍教授主編的《大學(xué)物理學(xué)》的第二章第六個例題中，可以看到如下的文字“如圖2.13所示，一輛裝礦砂的車廂以v＝4m／s的速率從漏斗下通過，每秒落入車廂的礦砂為k＝200kg／s，如欲使車廂保持速率不變，須施與車廂多大的牽引力（忽略車廂與地面的摩擦）.”

在該例題的解題過程中，書中先假設(shè)t時刻已落入車廂的礦砂質(zhì)量為m，經(jīng)過dt后又有dm＝kdt的礦砂落入車廂，這里取m和dm為研究對象，則系統(tǒng)沿x方向的動量定理為

在這本書的第二章第三小節(jié)第一部分內(nèi)容里，寫下了這樣的表述：

牛頓在研究碰撞過程中，所建立起來的牛頓第二定律的形式是：

只是因為在先前（高中階段物理課程）對牛頓力學(xué)的教學(xué)中，質(zhì)點質(zhì)量m是一個常數(shù).→F＝m→a在形式上與（2.10）等價，由近代物理的觀點看來，式（2.10）具有更廣泛的適應(yīng)性.

而動量定理的內(nèi)容是：在給定的時間內(nèi)，外力作用在質(zhì)點上的沖量，等于質(zhì)點在此時間內(nèi)動量的增量.

問題很明顯了，就是在本例題前面的章節(jié)里并沒有與li的動量定理例題中使用的有關(guān)動量定理的表達(dá)式.

我們以為，在此例題中所要使用的動量這一函數(shù)，已經(jīng)超出了一元函數(shù)的范疇，理應(yīng)使用二元函數(shù)的相關(guān)計算方法.

2.2 動量定理的進(jìn)一步討論

我們知道，牛頓本人將他的研究成果寫成（2.10）式時，并沒有意識到m不是常數(shù)，而是認(rèn)為“mv”是一個獨立的物理量.也就是說，mv是由質(zhì)量和速度聯(lián)合確定的.而不是由m和v之中的某一個單獨能夠確定的物理量.

這里，我們借用高等數(shù)學(xué)里有關(guān)全微分的公式，把上式進(jìn)一步寫成如下形式：

3 結(jié) 論

針對應(yīng)用動量定理的時候，可能會遇到變質(zhì)量和質(zhì)量不變的情形，而當(dāng)這樣的問題經(jīng)常地出現(xiàn)在的物理教學(xué)實踐中的時候，我們有必要借助高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識，調(diào)整原來動量理論部分，以適應(yīng)于各種動量改變的情形.

在上述例題或是不變質(zhì)量質(zhì)點系計算其動量變化的題目中，可以直接使用公式.

在近兩年擔(dān)負(fù)計算機(jī)專業(yè)和管理專業(yè)大學(xué)物理課程的教學(xué)中，收效不錯.

故此，我們在高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于全微分?jǐn)?shù)學(xué)運算的完備形式引導(dǎo)下，完成了關(guān)于質(zhì)點系變質(zhì)量體系和質(zhì)量相對不變體系的動量定理的完備形式的討論.

［1］趙近芳，王登龍.《大學(xué)物理學(xué)》［M］.北京郵電大學(xué)出版社，2011，（12）35～39

［2］何挺秀，胡向東.凍土帷幕平均溫度“成冰”公式的適應(yīng)性研究［J］.低溫建筑技術(shù)2009，（5）77～80