考慮媒體影響的一類時滯傳染病模型的分岔周期解

張子振, 張怡雪, 張偉詩, 宋志強(qiáng)

( 1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院, 安徽 蚌埠 233030;2.呼倫貝爾學(xué)院 工學(xué)院, 內(nèi)蒙古 呼倫貝爾 021008 )

0 引言

傳染病是嚴(yán)重威脅人類健康和生命的一類疾病.研究顯示,在傳染病暴發(fā)期間,網(wǎng)絡(luò)、電視等媒體對疾病的暴發(fā)情況進(jìn)行客觀準(zhǔn)確的宣傳報(bào)道,可以使公眾準(zhǔn)確了解疾病的傳播情況和提高對傳染病的防范意識,從而有助于控制疾病的傳播[1-2];因此,近年來考慮媒體影響的傳染病模型受到學(xué)者們的關(guān)注.例如:李錄蘋等[3]提出了一類考慮媒體報(bào)道效應(yīng)的SEIQR傳染病模型,并通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)研究了無疾病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.張雪妮等[4]研究了一類受媒體報(bào)道影響的離散傳染病模型,并分析了無疾病平衡點(diǎn)和有疾病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.張鈺倩等[5]和陽麗君等[6]考慮到媒體宣傳的滯后性,分別研究了不同類型的時滯傳染病模型,并針對其模型推導(dǎo)出了模型產(chǎn)生Hopf分岔的充分條件;但是,張鈺倩等和陽麗君等并未對其模型的Hopf分岔的性質(zhì)進(jìn)行研究.劉中凱等[7]建立了一類同時考慮媒體影響和疫苗接種影響的傳染病模型:

(1)

其中:Sn(t)、Sa(t)、I(t)和V(t)分別表示無意識易感者、有意識易感者、感染者和接種者在時刻t的數(shù)量,M(t)表示媒體在時刻t的報(bào)道信息量;A為無意識易感者的常數(shù)輸入率;λ為無意識易感者向有意識易感者轉(zhuǎn)化的比率;β0為無意識易感者的感染率;λ0為有意識易感者向無意識易感者轉(zhuǎn)化的比率;r為感染者的恢復(fù)率;p和q分別為感染者恢復(fù)后轉(zhuǎn)化為無意識易感者的比率和感染者恢復(fù)后轉(zhuǎn)化為有意識易感者的比率,p+q= 1;ω為接種者失去免疫力的比率;f和δ分別為接種者失去免疫力后轉(zhuǎn)化為無意識易感者的比率和接種者失去免疫力后轉(zhuǎn)化為有意識易感者的比率,f+δ= 1;θ為有意識易感者的接種率;a為感染者因疾病導(dǎo)致的死亡率;d為所有群體的自然死亡率;μ為媒體對疾病進(jìn)行宣傳的力度;μ0為媒體在宣傳過程中的信息耗散率.在文獻(xiàn)[7]中,劉中凱等研究了模型(1)的穩(wěn)定性,并通過數(shù)值模擬分析了公眾意識和疫苗接種率對疾病傳播的影響,但其研究未考慮媒體宣傳的滯后性.基于上述研究,本文研究如下時滯傳染病模型:

其中:ζ表示媒體對疾病進(jìn)行宣傳報(bào)道的滯后時間.

1 局部穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性

(3)

模型(2)在有疾病平衡點(diǎn)D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*)處的雅克比矩陣為:

其中:k11=-λM*-β0I*-d,k12=λ0,k13=-β0Sn*+rp,k14=ωf,k15=-λSn*,k21=λM*,k22=-λ0-β1I*-θ-d,k23=-β1Sa*+rp,k24=ωδ,k25=λSn*,k31=β0I*,k32=β1I*,k33=β0Sn*+β1Sa*-r-a-d,k42=θ,k44=-ω-d,k55=-μ0.

模型(2)在有疾病平衡點(diǎn)處D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*)的特征方程為:

ρ5+Θ4ρ4+Θ3ρ3+Θ2ρ2+Θ1ρ+Θ0+(Ξ2ρ2+Ξ1ρ+Ξ0)e-ρζ= 0.

(4)

其中:

Ξ0=-μ[(k15(k22k31k44-k24k31k42-k21k32k44)+k25(k11k32k44-k12k31k44+k14k31k42)],

Ξ1=-μ(k15k21k32-k15k22k31-k15k31k44-k25k32k44-k11k25k32+k12k25k31),

Ξ2=-μ(k15k31+k2k32),

Θ0=k44k55(k11k23k32+k12k21k33+k13k22k31-k11k22k33-k13k21k32-k12k23k31)+

k42k55(k11k24k33+k14k23k31-k14k21k33-k13k24k31),

Θ1=k44(k11k22k33+k13k21k32+k12k23k31-k11k23k32-k12k21k33-k13k22k31)-

k55[k11k23k32+k12k21k33+k13k22k31-k11k22k33-k13k21k32-k12k23k31-

k44(k11k22+k11k33+k22k33-k23k32-k12k21-k13k31)]-

k42[k11k24k33-k14k21k33-k13k24k31+k14k23k31-k55(k14k21-k11k24-k33k24)],

Θ2=k11k23k32+k12k21k33+k13k22k31-k11k22k33-k13k21k32-k12k23k31+

k44(k12k21+k13k31+k23k32-k11k22-k11k33-k22k33)-k55[k11k22+k11k33+k22k33-

k23k32-k12k21-k13k31+k44(k11+k22+k33)]-k14k21k42+k24k42(k11+k33+k55),

Θ3=k11(k22+k33)+k44(k11+k22+k33)+k55(k11+k22+k33+k44)+k22k33-

k12k21-k13k31-k23k32-k24k42,

Θ4=-(k11+k22+k33+k44+k55).

由上述特征方程可知,當(dāng)ζ= 0時,方程(4)變?yōu)?

ρ5+Δ4ρ4+Δ3ρ3+Δ2ρ2+Δ1ρ+Δ0= 0.

(5)

(6)

由式(6)可得:

χ10+α4χ8+α3χ6+α2χ4+α1χ2+α0= 0.

(7)

ε5+α4ε4+α3ε3+α2ε2+α1ε+α0= 0.

(8)

2 分岔周期解的穩(wěn)定性

令ζ=ζ0+l,l∈R,v1(t)=Sn(t)-Sn*,v2(t)=Sa(t)-Sa*,v3(t)=I(t)-I*,v4(t)=V(t)-V*,v5(t)=M(t)-M*,并對t作變換t→(t/ζ),由此模型(2)可以轉(zhuǎn)換為:

(9)

其中:

Yl(φ)=(ζ0+l)K1φ(0)+(ζ0+l)K2φ(-1),

(10)

(11)

根據(jù)上述計(jì)算,再利用文獻(xiàn)[8]中的方法即可求得中心流形系數(shù)v20、v11、v02和v21的表達(dá)式,由此再進(jìn)一步計(jì)算即可得模型(2)在ζ=ζ0處的分岔周期解的穩(wěn)定性系數(shù):

定理2當(dāng)Q1>0(Q1<0)時,模型(2)在ζ=ζ0處產(chǎn)生的Hopf分岔是超臨界(次臨界)的;當(dāng)Q2>0(Q2<0)時,模型(2)在有疾病平衡點(diǎn)D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*)處產(chǎn)生的分岔周期解是不穩(wěn)定的(穩(wěn)定的).

3 數(shù)值模擬

模擬參數(shù)選取A=2,λ= 0.9,β0= 0.06,λ0= 0.05,r= 0.08,p= 0.8,q= 0.2,ω= 0.15,f= 0.8,δ= 0.2,d= 0.128,β1= 0.03,θ= 0.9,a= 0.001,μ= 0.3,μ0= 0.1.在上述參數(shù)下模型(2)變?yōu)?

(12)

對式(12)進(jìn)行計(jì)算可知,基本再生數(shù)R0=4.4856>1,由此得模型(12)存在唯一有疾病平衡點(diǎn)D*(1.9368,3.0930,0.5878,10.0133,1.7634),且χ0= 0.9057,ζ0= 13.0471.為了驗(yàn)證模型(12)Hopf分岔的存在性,本文首先選取ζ=12.0675∈[0,ζ0).此時,模型(12)的狀態(tài)圖和相圖分別如圖1和圖2所示.由圖1和圖2可以看出,模型(12)是局部漸近穩(wěn)定的.其次,選取ζ=15.2625>ζ0.此時,模型(12)的狀態(tài)圖和相圖分別如圖3和圖4所示.由圖3和圖4可以看出,此時模型(12)失去穩(wěn)定性,并在有疾病平衡點(diǎn)D*(1.9368,3.0930,0.5878,10.0133,1.7634)附近產(chǎn)生了Hopf分岔.

圖1 ζ=12.0675∈[0,ζ0)時模型(12)的狀態(tài)圖

圖2 ζ=12.0675∈[0,ζ0)時模型(12)的相圖

圖3 ζ=15.2625>ζ0時模型(12)的狀態(tài)圖

圖4 ζ=15.2625>ζ0時模型(12)的相圖

4 結(jié)論

本文研究表明:當(dāng)媒體對疾病進(jìn)行宣傳報(bào)道的滯后時間足夠短時,模型(2)中的無意識易感者、有意識易感者、感染者和接種者的數(shù)量將趨于穩(wěn)定;而當(dāng)媒體對疾病進(jìn)行宣傳報(bào)道的滯后時間超過時滯臨界點(diǎn)ζ0時,模型(2)中的無意識易感者、有意識易感者、感染者和接種者的數(shù)量將在有疾病平衡點(diǎn)處產(chǎn)生周期震蕩.由此表明,媒體對疾病進(jìn)行宣傳報(bào)道的滯后時間對模型(2)穩(wěn)定性具有非常重要的影響.同時也說明,在疾病暴發(fā)前,若媒體在客觀條件允許的前提下能及時地對疾病進(jìn)行宣傳報(bào)道,則有助于控制疾病的傳播.本文在研究模型(2)的Hopf分岔時,僅研究了其局部Hopf分岔行為;因此,在今后的研究中我們將研究模型(2)是否存在全局Hopf分岔行為.