基于SEIR的一類(lèi)具有潛伏期的傳染病模型

◇成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 譚雙鳳 李 卓 楊曉芳

全球新發(fā)傳染病不斷出現(xiàn)，復(fù)雜且難以干預(yù)。具有潛伏期的傳染病更加復(fù)雜，影響更加重大，故對(duì)傳染病的干預(yù)措施十分重要。基于SEIR模型對(duì)具有潛伏期的傳染病建立病毒傳播微分方程模型，對(duì)其傳播機(jī)制進(jìn)行相應(yīng)的干預(yù)從而得到有效防控。以新冠肺炎病毒的傳播數(shù)據(jù)為例，建立新冠病毒傳播微分方程模型，應(yīng)用MATLAB進(jìn)行求解，分析其傳播機(jī)制和規(guī)律對(duì)病毒施行相關(guān)干預(yù)措施，從而得到有效防控。

全球新發(fā)傳染病不斷出現(xiàn)，復(fù)雜且難以干預(yù)。具有潛伏期的傳染病更加復(fù)雜，影響更加重大，故對(duì)傳染病的干預(yù)措施十分重要?；赟EIR模型對(duì)具有潛伏期的傳染病建立病毒傳播微分方程模型，對(duì)其傳播機(jī)制進(jìn)行相應(yīng)的干預(yù)從而得到有效防控。以新冠肺炎病毒的傳播數(shù)據(jù)為例，建立新冠病毒傳播微分方程模型，應(yīng)用MATLAB進(jìn)行求解，分析其傳播機(jī)制和規(guī)律對(duì)病毒施行相關(guān)干預(yù)措施，從而得到有效防控。

傳染病一般都具有一定的潛伏期，不同的傳染病潛伏期不同，傳染病的傳播途徑多種多樣，接觸面也十分廣，因此傳染病對(duì)人類(lèi)健康有著重大影響。對(duì)其進(jìn)行早期干預(yù)，并進(jìn)行防控研究，施行防控措施顯得尤為重要。2019年12月，一場(chǎng)突如其來(lái)的新型冠狀肺炎疫情打亂了人們的生活秩序。我國(guó)及時(shí)的干預(yù)措施將疫情的影響降到最低。由此，對(duì)傳染病的傳播研究和防控研究應(yīng)更加重視。要從多方面、利用多種方法建立對(duì)各種不同傳染病的病毒傳播模型，分析每種方法利弊，精確性等，從而制定出適合各種傳染病的干預(yù)措施，進(jìn)行早期干預(yù)。

1 SEIR模型的分析

1.1 SEIR模型符號(hào)定義

S、E、I、R模型分別代表以下四類(lèi)人群。S類(lèi)為易感者，指未得病者，但缺乏免疫力，與感染者接觸后容易受到感染；E類(lèi)為暴露者，指接觸過(guò)感染者，但暫無(wú)能力傳染給其他人的人；I類(lèi)為感染者，指感染了傳染病的人，可以傳播給S類(lèi)成員，將其變?yōu)镋類(lèi)或I類(lèi)成員；R類(lèi)為康復(fù)者，指被隔離或因病愈而具有免疫力的人。

1.2 SEIR模型適用原理

對(duì)于討論具有潛伏期的傳染病，顯然傳統(tǒng)的傳染病模型SIR模型已不再適用。在此基礎(chǔ)上，我們還需考慮一類(lèi)需要一段潛伏期才能判斷是否感染的人群，即暴露者。所以，對(duì)于存在易感者、暴露者、感染者和康復(fù)者四類(lèi)人群且有潛伏期的疾病，SEIR模型更為適用。

2 基于SEIR模型對(duì)具有潛伏期傳染病的模型建立

2.1 模型假設(shè)

影響模型的因素較多、較復(fù)雜，故對(duì)其做以下假設(shè)。假設(shè)人口總數(shù)為常數(shù)且足夠大；不考慮人口遷出與遷入率；不考慮人口自然出生率與死亡率；不考慮免疫期，即不考慮治愈者重新被感染；所涉及比例均小于等于1。

2.2 S、E、I、R四類(lèi)人群之間的關(guān)系

易感者接觸了未被隔離的感染者后，α比例會(huì)被感染變成感染者，γ比例會(huì)被暴露成為暴露者；感染者在接受隔離治療后，β比例會(huì)被治愈成為康復(fù)者，η比例會(huì)死亡。暴露者在接觸感染者后，μ比例會(huì)被感染成為感染者，λ比例不會(huì)被感染而成為易感者。

2.3 符號(hào)說(shuō)明

N為t時(shí)刻人群總數(shù)，s9為易感者初始人數(shù)，e0為暴露者初始人數(shù)，i0為感染者初始人數(shù)，r0為康復(fù)者初始人數(shù)，α為易感者被感染的概率，β為感染者康復(fù)的概率，η為感染者死亡的概率，μ為暴露者感染的概率，γ為易感者變?yōu)楸┞墩叩母怕剩藶楸┞墩咦優(yōu)橐赘姓叩母怕?，t為傳染病傳播天數(shù)。

2.4 病毒傳播模型微分方程

人口總數(shù)N始終不變，即第一個(gè)式子左邊N在任何時(shí)刻都等于右邊易感者、暴露者、感染者、康復(fù)者人數(shù)之和。第二個(gè)式子左邊為t時(shí)刻易感者變化人數(shù)，右邊為暴露者變?yōu)橐赘姓叩娜藬?shù)減去易感者被暴露變?yōu)楸┞墩叩娜藬?shù)，再減去易感者被感染的人數(shù)。第三個(gè)式子的左邊為t時(shí)刻暴露者變化人數(shù)，右邊為易感者被暴露變?yōu)楸┞墩叩娜藬?shù)，減去暴露者變?yōu)橐赘姓叩娜藬?shù)，再減去暴露者被感染的人數(shù)。第四個(gè)式子左邊為t時(shí)刻感染者變化人數(shù)，右邊為一部分易感者被感染的人數(shù)與一部分暴露者被感染之和，減去患病死亡人數(shù)，再減去康復(fù)者的人數(shù)。第五個(gè)式子左邊為t時(shí)刻康復(fù)者變化人數(shù)，右邊為一部分感染者康復(fù)人數(shù)。第六個(gè)式子表示暴露者要么被感染，要么會(huì)變?yōu)橐赘姓摺?/p>

3 以新冠肺炎數(shù)據(jù)佐證

3.1 各比例的確定

由相關(guān)文獻(xiàn)可知，感染率α為0.336，治愈率β為0.198，死亡率η為0.016。由相關(guān)文獻(xiàn)可知，暴露者有45%的概率變?yōu)楦腥菊?，則μ為0.45；暴露者有55%的概率變?yōu)橐赘姓?，則λ為0.55；易感者暴露的概率γ為0.55。某國(guó)2020人口總數(shù)N為143,964,709。

3.2 各初始值的確定

初始時(shí)刻沒(méi)有人感染該病毒，即初始感染者i0值為0，初始暴露者e0值為0，初始康復(fù)者r0值為0，即所有人初始時(shí)刻都未被感染，即初始易感者s0值為N。

3.3 模型求解

應(yīng)用軟件MATLAB解新冠病毒傳播微分方程組，代入新冠疫情下比例α、β、η、μ、γ、λ的數(shù)值，以及易感者、感染者、暴露者和康復(fù)者，對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)最終得到關(guān)于的函數(shù)。

數(shù)學(xué)角度分析該函數(shù)式，當(dāng)t在60天范圍內(nèi)時(shí)，其感染者人數(shù)在0-16天內(nèi)緩慢增長(zhǎng)（幾乎沒(méi)有增長(zhǎng)），對(duì)應(yīng)了新冠肺炎潛伏期為14天左右。之后感染者病癥開(kāi)始出現(xiàn)，隨后開(kāi)始被確診，感染者人數(shù)在17-36天內(nèi)快速增長(zhǎng)，并在36天左右達(dá)到峰值。隨后感染者人數(shù)急劇下降，說(shuō)明病毒得到干預(yù)，感染者人數(shù)得到有效控制。

4 對(duì)新冠肺炎的防控研究

據(jù)國(guó)家衛(wèi)健委報(bào)道，2019年12月8日是武漢衛(wèi)健委官方通報(bào)的最早發(fā)布日期。12月30日國(guó)家衛(wèi)健委專(zhuān)家組抵達(dá)武漢，要求及時(shí)追蹤統(tǒng)計(jì)救治情況。隨后全國(guó)各省市開(kāi)始施行并落實(shí)“早預(yù)防、早發(fā)現(xiàn)、早報(bào)告、早隔離、早治療”措施。加強(qiáng)重點(diǎn)時(shí)段、重點(diǎn)地區(qū)、重點(diǎn)人群疫情防控。在國(guó)家高度重視且大力落實(shí)防疫工作下，疫情得到有效控制。當(dāng)前，全球疫情仍處于大流行狀態(tài)，全國(guó)人民也沒(méi)有絲毫松懈，積極注射疫苗、出行戴好口罩、勤洗手等等?，F(xiàn)各省份也在落實(shí)各方面防控措施，全力防范風(fēng)險(xiǎn)人員輸入和輸出，加大風(fēng)險(xiǎn)人群排查工作力度，重點(diǎn)做好農(nóng)村地區(qū)疫情防控，進(jìn)一步強(qiáng)化早期監(jiān)測(cè)預(yù)警。