一類具有年齡結(jié)構(gòu)和接種干預(yù)的手足口病模型動(dòng)力學(xué)分析

袁 媛,范彥勤,林漢燕

(桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)院,廣西 桂林 541004)

0 引 言

手足口病是一種常見(jiàn)于兒童人群的傳染性疾病,多發(fā)于學(xué)齡前兒童,3歲以下嬰幼兒普遍易感.引起手足口病的腸道病毒有20多種,其中以柯薩奇病毒A16型和腸道病毒EV71最為常見(jiàn).由于該病缺乏有效的預(yù)防和治療措施,所以接種安全、有效的針對(duì)性疫苗成為防控該病的有效手段.手足口病有多種傳播機(jī)制[1-8],如文獻(xiàn)[1-2]提出了具有隔離措施的手足口病模型,文獻(xiàn)[3-4]考慮了接種對(duì)手足口病傳播機(jī)制與免疫策略的影響.

圖1 手足口病的傳播機(jī)制Fig.1 Transmission mechanism of hand-foot-and-mouth disease

本文以學(xué)齡前兒童作為研究對(duì)象,假設(shè):1)學(xué)齡前兒童作為一個(gè)獨(dú)立系統(tǒng),兒童接種后或患者治愈后一段時(shí)間內(nèi)具有一定的免疫力,因此將其分為三類人群:易感者、染病者和免疫者;2)由于不滿3歲的幼兒抵抗力低,容易受到病毒侵襲,3～6歲兒童在幼兒園內(nèi)容易存在交叉感染,所以染病者對(duì)這兩組人群的傳染率是不同的,按照年齡將易感者分為兩組:不滿3歲的幼兒組,3～6歲兒童組;3)在一段時(shí)間內(nèi),人口出生率和遷移率大體上是穩(wěn)定的,因此考慮人口輸入率與自然死亡率為常數(shù);4)雖然多數(shù)手足口病患者能治愈,但也有少數(shù)重癥者病情發(fā)展迅速,導(dǎo)致死亡,因此考慮因病死亡率為常數(shù).基于以上假設(shè),手足口病模型的傳播機(jī)制如圖1所示.

根據(jù)手足口病的傳播機(jī)制,建立具有年齡結(jié)構(gòu)與接種免疫的手足口病傳染病模型:

(1)

模型(1)滿足的初始條件為

S1(0)>0,S2(0)>0,I(0)>0,R(0)>0

.

(2)

其中:S1(t)、S2(t)、I(t)、R(t)分別表示t時(shí)刻不滿3歲組易感者、3～6歲組易感者、染病者和免疫者的個(gè)體數(shù)量;α表示單位時(shí)間內(nèi)人口的常數(shù)輸入率;k1、k2分別表示兩組易感者的接種率;σ表示從不滿3歲組易感者向3～6歲組易感者移出的比率;μ表示自然死亡率;β1、β2分別表示染病者對(duì)兩組易感者的傳染率;k表示隨著年齡增長(zhǎng)從3～6歲組易感者的移出率;γ表示染病者的治愈率;d表示因病死亡率;η表示免疫者的移出率.以上所有參數(shù)均為正數(shù).

記N(t)=S1(t)+S2(t)+I(t)+R(t),則

1 平衡點(diǎn)的存在性

I*滿足一元二次方程

(γ+μ+d)β1β2I2+[(γ+μ+d)β2(k1+σ+μ)+(γ+μ+d)β1(k2+μ+k)-β1β2α]I+

(γ+μ+d)(k1+σ+μ)(k2+μ+k)-β1α(k2+μ+k)-β2σα=0.

Δ=[(γ+μ+d)(β1(k2+μ+k)+β2(k1+σ+μ))-β1β2α]2-4(γ+μ+d)β1β2×

[(γ+μ+d)(k1+σ+μ)(k2+μ+k)-β1α(k2+μ+k)-β2σα]=

2 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

(3)

易得J(E0)有4個(gè)特征根:

易得特征方程有一個(gè)特征根λ1=-μ-η<0,其余特征根滿足

λ3+a2λ2+a1λ+a0=0

,

(4)

其中

a2=k1+σ+μ+β1I*+k2+μ+k+β2I*,

顯然a2,a1,a0>0,且

(k1+σ+μ+β1I*+k2+μ+k+β2I*)-

(k1+σ+μ+β1I*)(k2+μ+k+β2I*)(k1+σ+μ+β1I*+k2+μ+k+β2I*) +

(k1+σ+μ+β1I*)(k2+μ+k+β2I*)(k1+σ+μ+β1I*+k2+μ+k+β2I*) +

(k1+σ+μ+β1I*)(k2+μ+k+β2I*)(k1+σ+μ+β1I*+k2+μ+k+β2I*)+

由于

所以

3 結(jié)果分析