均勻網(wǎng)絡(luò)上SIR模型三種不同逼近方法比較

王治萍

(朔州師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，山西 朔州 036000)

0 引言

考慮靜態(tài)均勻網(wǎng)絡(luò)上的SIR對(duì)逼近傳染病模型,即網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模N保持不變,網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)保持不變。其中節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)有三種狀態(tài),易感狀態(tài)S和染病狀態(tài)I以及恢復(fù)狀態(tài)R; 并且[S]表示網(wǎng)絡(luò)中處于易感狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)(即易感者)數(shù)量，[I]表示網(wǎng)絡(luò)中處于染病狀態(tài)節(jié)點(diǎn)(即染病者)的數(shù)量，[R]表示網(wǎng)絡(luò)中處于恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)(即恢復(fù)者)的數(shù)量。[SI],[SS],[SR],[II],[IR]表示網(wǎng)絡(luò)中二元組(對(duì))狀態(tài)為S-I,S-S,S-R,I-I,I-R的數(shù)量。[SSI],[ISI],[RSI]表示網(wǎng)絡(luò)中狀態(tài)為S-S-I,I-S-I,R-S-I三元組的數(shù)量。一個(gè)染病者和一個(gè)易感者的接觸傳染率為λ，染病者的恢復(fù)概率為γ0。應(yīng)用主方程可得關(guān)于[S],[I],[SI],[SS],[SR],[II],[IR]的微分方程組如下

(1)

[S]+[I]+[R]=N,

[SS]+2[SR]+2[IR]+[II]+2[SI]=n1N

(2)

1 三種研究方法對(duì)比

下面應(yīng)用三種不同的逼近方法封閉模型進(jìn)而研究這三種逼近方法的優(yōu)劣。

1.1 Poission分布下的SIS對(duì)逼近模型(P-PW)

當(dāng)節(jié)點(diǎn)的染病狀態(tài)I鄰居數(shù)服從泊松(Poission)分布時(shí)，存在以下的三元組逼近公式

結(jié)合(2)式可以對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行封閉和降維，然后得到染病鄰居數(shù)服從Poission分布時(shí)SIR對(duì)逼近傳染病模型(P-PW)如下

(3)

下面可得無(wú)病平衡點(diǎn)為P1(N,0,n1N,0,0,0)，其中染病倉(cāng)室為[I],[SI]運(yùn)用下一代再生矩陣的方法可得

1.2 多項(xiàng)式分布下的SIR對(duì)逼近模型(B-PW)

當(dāng)節(jié)點(diǎn)的染病狀態(tài)I鄰居數(shù)服從多項(xiàng)式分布時(shí)，存在以下的三元組逼近公式

同樣結(jié)合(2)式對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行封閉和降維，然后得到染病鄰居數(shù)服從多項(xiàng)式分布是SIS對(duì)逼近傳染病模型(B-PW)。

(4)

可得無(wú)病平衡點(diǎn)為P1(N,0,n1N,0,0,0)，其中染病倉(cāng)室為[I],[SI]運(yùn)用下一代再生矩陣的方法可得

1.3 平均場(chǎng)SIR對(duì)逼近模型(MF-PW)

Kiss基于平均場(chǎng)思想提出了三元組的另一種逼近公式

同樣結(jié)合(2)式可以對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行封閉和降維，然后得到相應(yīng)SIR對(duì)逼近傳染病模型(MF-PW)。

可得無(wú)病平衡點(diǎn)為P2(N,0,n1N,0,0,0),其中染病倉(cāng)室為[I],[SI]運(yùn)用下一代再生矩陣的方法可得

2 結(jié)論

由以上討論可知，節(jié)點(diǎn)的染病鄰居數(shù)服從泊松分布所得疾病的基本再生數(shù)大于染病鄰居數(shù)，服從多項(xiàng)式分布和基于平均場(chǎng)逼近方法得到的基本再生數(shù)；同時(shí)染病鄰居數(shù)服從多項(xiàng)分布和基于平均場(chǎng)逼近方法得到的基本再生數(shù)相同。