特征標(biāo)三元組的本原誘導(dǎo)子

黃謙，王麗鳳

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

本文僅討論有限群和復(fù)特征標(biāo)，所采用的群論和特征標(biāo)的術(shù)語和符號(hào)分別取自Isaacs的經(jīng)典教材[1-2]。特別地，對(duì)任意群G，我們用Irr(G)表示G的所有不可約特征標(biāo)的集合。稱T=(G，N，θ)為一個(gè)特征標(biāo)三元組，如果G為任意群，N?G為G的正規(guī)子群，θ∈Irr(N)為N的一個(gè)不可約特征標(biāo)且為G-不變的。

特征標(biāo)三元組是群表示論中重要的研究對(duì)象，具有豐富的內(nèi)容和深刻的成果，以及重要而廣泛的應(yīng)用。例如，近年來關(guān)于群表示論中著名的McKay猜想取得了一系列重大進(jìn)展，在約化為單群的過程中，特征標(biāo)三元組的誘導(dǎo)子技術(shù)和上同調(diào)理論即發(fā)揮了核心作用，相關(guān)的具體內(nèi)容和前沿文獻(xiàn)可參考Navarro的最新專著[3]。關(guān)于特征標(biāo)三元組的最新研究成果可以參考相關(guān)文獻(xiàn)[4-6]。

本文將采用范疇的觀點(diǎn)，把特征標(biāo)三元組視為基本的研究對(duì)象，主要研究特征標(biāo)三元組的本原誘導(dǎo)子，特別是本原誘導(dǎo)子的次數(shù)問題。事實(shí)上，Dade在系列論文中[7-9]針對(duì)特征三元組的誘導(dǎo)子創(chuàng)立了穩(wěn)定子極限理論，并用之研究M-群的若干著名猜想。Isaacs簡化了Dade的誘導(dǎo)子定理[10]，并給出了關(guān)于不可約特征標(biāo)的本原誘導(dǎo)次數(shù)問題的一個(gè)應(yīng)用。此外，Loukaki也研究了一種新型的誘導(dǎo)子極限，即所謂的線性極限[11]，并與Dade等[12]對(duì)線性極限做了系統(tǒng)地探討?？傊?，研究本原誘導(dǎo)子的次數(shù)問題，不僅是一種新型的證明技術(shù)，而且可用來解決群表示理論中的相關(guān)重要問題。這些課題可以參考相關(guān)文獻(xiàn)[13-14]。

為敘述本文主要結(jié)果，我們先給出Dade和Isaacs在上述文獻(xiàn)中引入的若干基本概念。

固定一個(gè)特征標(biāo)三元組T=(G，N，θ)。如果R=(H，M，φ)也是一個(gè)特征標(biāo)三元組，使得G=NH，M=N∩H，并且φ在θ下方，即φ是限制特征標(biāo)θM的一個(gè)不可約分量，則稱R為T的一個(gè)子三元組，記為R≤T，如圖1所示。

圖1 子三元組Fig.1 Character subtriple

進(jìn)而，如果還有φN=θ，則稱R為T的一個(gè)誘導(dǎo)子；如果φ=θM，則稱R為T的一個(gè)限制子。特別地，如果T沒有真誘導(dǎo)子，即T不存在誘導(dǎo)子T′=(G'，N'，θ')使得G'＜G，則稱 T是本原的。方便起見，我們稱θ(1)為特征標(biāo)三元組 T=(G，N，θ)的次數(shù)，記之為degT=θ(1)。

有了以上準(zhǔn)備，本文所研究的具體問題，可概述如下：

研究問題設(shè)T=(G，N，θ)為一個(gè)特征標(biāo)三元組，探討在什么條件下T的任意兩個(gè)本原誘導(dǎo)子S1=(H1，M1，φ1)和S2=(H2，M2，φ2)均 有 相 同 的 次數(shù)，即φ1(1)=φ2(1)。

Isaacs在[10]中的主要結(jié)果即定理3.1，證明了當(dāng)N是冪零群時(shí)，則上述問題有肯定的解答，即T=(G，N，θ)的任意兩個(gè)本原誘導(dǎo)子均有相同的次數(shù)。

本文主要結(jié)果是減弱了上述Isaacs定理中N為冪零群的條件，通過定義特征標(biāo)三元組的正規(guī)子三元組和次正規(guī)子三元組的概念，給出了上述研究問題的一個(gè)解答，從而推廣了Isaacs的主要結(jié)果。本文主要結(jié)果如下：

定理A設(shè)T=(G，N，θ)為特征標(biāo)三元組，其中N為可解群。如果滿足下述兩個(gè)條件：

（1）T的每個(gè)本原的子三元組都是次正規(guī)的；

（2）T的每個(gè)本原的子三元組的所有極大正規(guī)限制子也都是本原的，則T的任意兩個(gè)本原誘導(dǎo)子均有相同的次數(shù)。

在上述定理A中，當(dāng)N是冪零群時(shí)，則條件（1）自動(dòng)滿足。事實(shí)上，我們將證明一個(gè)本原的三元組，如果是冪零的，則條件（2）也自動(dòng)成立。作為定理A的一個(gè)應(yīng)用，我們可簡化條件（2），在使用時(shí)可能更為便利些。我們稱一個(gè)特征標(biāo)三元組T=(G，N，θ)是冪零的，如果N/Z(θ)為冪零群。

定理B設(shè)T=(G，N，θ)為特征標(biāo)三元組，其中N為可解群。如果T的每個(gè)本原的子三元組都是冪零的和次正規(guī)的，則T的任意兩個(gè)本原誘導(dǎo)子均有相同的次數(shù)。

在特征標(biāo)的誘導(dǎo)理論中，我們還研究一個(gè)給定的不可約特征標(biāo)χ∈Irr(G)，何時(shí)具有相同的誘導(dǎo)次數(shù)，即如果χ=(ξ1)G=(ξ2)G均可以從子群Hi≤G的本原特征標(biāo)ξi∈Irr(Hi)誘導(dǎo)，其中i=1，2，研究在什么條件下總有ξ1(1)=ξ2(2)。作為特征標(biāo)三元組誘導(dǎo)子的一個(gè)應(yīng)用，Isaacs在[10]中的定理B，給出了一個(gè)充分條件，即χ在G的Fitting子群上限制不可約時(shí)，則誘導(dǎo)χ的所有本原特征標(biāo)均有相同的次數(shù)。

作為定理B的一個(gè)應(yīng)用，下述結(jié)果同樣推廣了Isaacs的定理B。

定理C設(shè)G為任意群，χ∈Irr(G)。如果G存在一個(gè)可解正規(guī)子群N，使得θ=χN不可約，并且特征標(biāo)三元組T=(G，N，θ)的每個(gè)本原的子三元組都是冪零的和次正規(guī)的，則誘導(dǎo)χ的所有本原特征標(biāo)均有相同的次數(shù)。

本文所需的預(yù)備知識(shí)和基本結(jié)果我們將在第1節(jié)給出，在第2節(jié)將證明上述三個(gè)主要定理。

1 預(yù)備知識(shí)

為了推廣Isaacs在[10]中的主要定理，我們引入下述概念。

定義1設(shè)S=(H，M，φ)為特征標(biāo)三元組T=(G，N，θ)的一個(gè)子三元組。

（1）如果M?N，則稱S為T的一個(gè)正規(guī)子三元組，記為S?T。

（2）如果存在一個(gè)子三元組序列：

則稱S為T的一個(gè)次正規(guī)的子三元組，記為S??T。

（3）如果N=Z(θ)M，則稱S為 T的一個(gè)覆蓋子。

Isaacs在[10]中還定義了特征標(biāo)三元組的擬本原性。設(shè)T=(G，N，θ)為一個(gè)特征標(biāo)三元組，如果對(duì)任意M≤N且M?G，均有θM為齊次的特征標(biāo)，即θM=eφ，其中e為正整數(shù)而φ∈Irr(M)，則稱 T是擬本原的。不難證明擬本原的特征標(biāo)三元組必然也是本原的，但反之一般不成立。

關(guān)于擬本原的特征標(biāo)三元組，我們有下面一個(gè)基本性質(zhì)。

引理1設(shè)T=(G，N，θ)為擬本原的特征標(biāo)三元組，如果N/Z(θ)是冪零群，則N/Z(θ)為交換群。

證明因?yàn)棣仁荊-不變的，故Kerθ為G的正規(guī)子群，從而所給條件和所證結(jié)論可以在商群G/Kerθ中考慮，不失一般性，可設(shè) Kerθ=1，就有Z(θ)=Z(N)。進(jìn)而N/Z(θ)=N/Z(N)。因?yàn)镹/Z(θ)是冪零的，故可得N冪零。任取A是N的特征子群且A是交換群，則A?G。又因?yàn)門=(G，N，θ)為擬本原，就有θA=eα齊次，其中e為正整數(shù)，α∈Irr(A)。但Kerα=A∩Kerθ=1，即α為A的一個(gè)忠實(shí)線性特征標(biāo)。顯然θ的G-不變性得出α亦如此，所以αg(a)=α(a)，對(duì)任意g∈G和a∈A均成立，據(jù)此可知α(gag-1a-1)=1，再從α的忠實(shí)性推出gag-1a-1=1，亦即ga=ag，于是有A≤Z(θ)=Z(N)，即Z(N)是N的唯一極大交換特征子群，從而N的冪零類小于等于2。等價(jià)于說N/Z(θ)為交換群。

在定理A的證明中，我們要用到下述關(guān)于誘導(dǎo)子和限制子的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。

引理2設(shè)T=(G，N，θ)為特征標(biāo)三元組，并且R=(H，M，φ)為 T的 一 個(gè) 限制子。如 果 T′=(G'，N'，θ')為 T的一個(gè)誘導(dǎo)子，則唯一對(duì)應(yīng) R的一個(gè)誘導(dǎo)子

使得R′也是T′的一個(gè)限制子，其中H'=H∩G'，M'=M∩N'且φ'=θ'M'。

證 明由 R=(H，M，φ)為T的限制子知θM=φ，由T′=(G'，N'，θ')為 T的誘導(dǎo)子知(θ')N=θ，即θ'M不可約，由Mackey公式得出N'M=N且(θ'M')M=φ，由此可推出(φ')M=φ不可約，如圖2所示。

圖2 對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.2 Correspondence relationship

驗(yàn)證M∩H'=M'且MH'=H。按定義，我們有：

因G=G'N=G'N'M=G'M，由模律有

下面驗(yàn)證 R′=(H'，M'，φ')為特征標(biāo)三元組。根據(jù)上述子群關(guān)系，從M?H知M'?H'，再從θ'是G'-不變的以及φ'=θ'M'，可知φ'也是H'-不變的，表明 R′=(H'，M'，φ')為一個(gè)特征標(biāo)三元組，按定義即為R的一個(gè)誘導(dǎo)子。

最后驗(yàn)證 R′=(H'，M'，φ')為 T′=(G'，N'，θ')的一個(gè)限制子。先證明N'∩H'=M'且N'H'=G'，按定義N'∩H'=N'∩(H∩G')=N'∩H=(N′∩N)∩H=N'∩M=M'此外，從G=NH=N'MH=N'H可 知N'H'=N'(H∩G')=(N'H)∩G'=G∩G'=G'由條件可知φ'=θ'M'，即證得R′=(H'，M'，φ') 為 T′=(G'，N'，θ')的一個(gè)限制子。

在定理B的證明中，我們需要[15]中定理2.4關(guān)于覆蓋子的一個(gè)結(jié)果。

引理3設(shè)S≤T=(G，N，θ)為一個(gè)覆蓋子，如果T是本原的，則S也是本原的。

2 主要結(jié)果

我們先證明本文定理A，為方便起見，重述如下：

定理1設(shè)T=(G，N，θ)為特征標(biāo)三元組，其中N為可解群。如果滿足下述兩個(gè)條件：

（1）T的每個(gè)本原的子三元組都是次正規(guī)的；

（2）T的每個(gè)本原的子三元組的所有極大正規(guī)限制子也都是本原的，則T的任意兩個(gè)本原誘導(dǎo)子均有相同的次數(shù)。

證明設(shè)Si=(Hi，Mi，φi)為T的任意兩個(gè)本原誘導(dǎo)子，其中i=1，2。我們將對(duì)|N|作歸納，證明degS1=degS2，即證φ1(1)=φ2(1)。

如果M1=N，則T=S1也是本原的，從而T沒有真誘 導(dǎo) 子 ，迫 使 T=S2，此 時(shí)φ1=θ=φ2，故 degS1=degS2，結(jié)論成立。同理可證如果M2=N，結(jié)論也成立。

以下設(shè)每個(gè)Mi＜N，即Si＜T。按假設(shè)T的每個(gè)本原誘導(dǎo)子均為次正規(guī)子組，所以每個(gè)本原三元組Si均包含在T的某個(gè)極大正規(guī)子三元組Ri中：

其中Ki?N且Ki＜N，Ti=KiHi，并且αi=(φi)Ki。因?yàn)镵i? Ti且NTi=G，故Ki?G。此時(shí)從 Ri為 T 的極大正規(guī)子三元組可知N/Ki均為G的主因子。此外，從定義可知每個(gè)Si都是Ri的本原誘導(dǎo)子，而每個(gè)Ri也都是T的誘導(dǎo)子，如圖3所示。

圖3 本原誘導(dǎo)子Fig.3 Primitive inductors

以下我們分兩種情形討論。

（1）假設(shè)K1=K2。

此時(shí)α1和α2都是θK1的不可約分量，因?yàn)镵1是N的正規(guī)子群，根據(jù)Clifford定理，可知α1和α2在N中共軛，故存在某個(gè)n∈N使得(α2)n=α1。簡單計(jì)，我 們 用R2的N-共 軛(R2)n=(T2n，K2n，α2n)替 代R2，相應(yīng)地用S2的N-共軛 (S2)n=(H2n，M2n，φ2n)替代S2，由于 deg(S2)n=α2n(1)=α2(1)=degS2并不會(huì)影響所證結(jié)論，故可以假設(shè)α2=α1。在此情形下，注意到(T1，K1，α1)和(T2，K1，α1)都是 T 的誘導(dǎo)子，考慮α1在G中慣性群IG(α1)。一方面，從(α1)N=θ不可約，可知N∩IG(α1)=IN(α1)=K1。另一方面，從α1都是 Ti-不變的，可知每個(gè) Ti≤IG(α1)。使用模律，我們有

所以T1=T2，亦即R1=R2。此時(shí)S1和S2均為R1的本原誘導(dǎo)子，但K1＜N，不難看出Ri的本原子三元組也都是T的本原子三元組，故定理的兩個(gè)條件對(duì)Ri均遺傳，根據(jù)歸納假設(shè)，我們有degS1=degS2，表明所證結(jié)論成立。

（2）假設(shè)K1≠K2。

記D=K1∩K2。因?yàn)镹/Ki都是G的主因子，并且K1＜K1K2≤N均為G的正規(guī)子群，只有K1K2=N。注意到(α1)N=θ=(α2)N，我們有

據(jù)此得出(α1)D和(α2)D有唯一共同的不可約分量γ，且重?cái)?shù)均為1。

令S=T1∩T2。因S固定α1和α2，也固定正規(guī)子群D，并且(α1)D和(α2)D有唯一的相同不可約分量γ，故S也固定γ，表明(S，D，γ)也是一個(gè)特征標(biāo)三元組，我們令

驗(yàn)證R0≤R1。因?yàn)棣迷讦?的下方，我們只需驗(yàn)證子群關(guān)系K1S=T1且K1∩S=D。事實(shí)上，從G=NT2=K1K2T2=K1T2，使用模律推出

進(jìn)而，可直接驗(yàn)證

再驗(yàn)證R0≤R2。因?yàn)棣靡苍讦?的下方，只需驗(yàn)證子群關(guān)系K2S=T2且K2∩S=D。

同樣地，由于G=NT1=K1K2T1=K2T1，使用模律又可得到

進(jìn)而，我們也有所需的子群關(guān)系：

相關(guān)子群和特征標(biāo)的位置關(guān)系如圖4所示。

為完成所證，我們?cè)賲^(qū)分兩種情形討論。

（a）假設(shè)γN不可約。此時(shí)γKi均不可約，其中i=1，2，因?yàn)棣羒均在γ上方，只有γKi=αi。上述已證 R0是每個(gè)Ri的子三元組，故R0均為Ri的誘導(dǎo)子。任取S0是R0的一個(gè)本原誘導(dǎo)子，則S0和S1均為R1的本原誘導(dǎo)子，但|K1|＜|N|，根據(jù)歸納假設(shè)，則degS0=degS1。同理，由于S0和S2均為R2的本原誘導(dǎo)子，但|K2|＜|N|，仍從歸納假設(shè)得到degS0=degS2。至此即證degS1=degS2，故結(jié)論成立。

（b）假設(shè)γN可約。我們先驗(yàn)證R0分別是R1和R2的一個(gè)極大正規(guī)限制子。注意到(αi)N=θ，故γKi必然是可約的，否則γKi=αi，導(dǎo)致γN=θ，與假設(shè)矛盾。因?yàn)镹/K1是G的主因子，而N是可解群，故N/K1為交換群，從而是一個(gè)單G-模。又因?yàn)镚=T2N，而N在N/K1上作用平凡，故N/K1也是一個(gè)單T2-模。但N/K1和K2/D同構(gòu)，該同構(gòu)顯然和T2交換，故K2/D也是T2的一個(gè)主因子。顯然D?K2，表明R0是R2的一個(gè)極大正規(guī)子三元組。由于[(α2)D，γ]=1且γK2≠α2，由特征標(biāo)的下降定理，只有(α2)D=γ，表明R0是R2的一個(gè)限制子。至此即證R0是R2的一個(gè)極大正規(guī)限制子，同理可證故K1/D也是T1的一個(gè)主因子，從而R0也是R1的一個(gè)極大正規(guī)限制子。

根據(jù)引理2，因?yàn)?R0=(S，D，γ) 是 R1=(T1，K1，α1)的限制子，而S1=(H1，M1，φ1)是R1的誘導(dǎo)子，故可唯一對(duì)應(yīng)R0的一個(gè)誘導(dǎo)子S1*=(H1*，M1*，φ1*)，并且S1*也是S1的一個(gè)限制子。此時(shí)degS1=degS1*，如圖5所示。

圖5 限制子和誘導(dǎo)子Fig.5 Restrictor and inductor

在此情形下，注意到DM1=K1且D∩M1=M1*，但D?K1，所以M1*?M1。又因?yàn)?T1=K1H1，上述已證K1/D為T1的主因子，而K1≤N也是可解群，故K1/D只能是初等交換群，表明K1在K1/D上的共軛作用平凡，所以K1/D是單H1-模。進(jìn)而，不難看出K1/D和M1/M1*是H1-同構(gòu)的，故M1/M1*也是H1-單模，等價(jià)于說S1*是S1的一個(gè)極大正規(guī)子三元組，從而是一個(gè)極大正規(guī)限制子。根據(jù)條件（2），從S1為T的本原誘導(dǎo)子可知S1*也是本原的，顯然是R0的一個(gè)本原誘導(dǎo)子。

再從S1和S2的對(duì)稱地位，同理可證S2存在一個(gè)極大正規(guī)限制子S2*，同時(shí)也是R0的一個(gè)本原誘導(dǎo)子。特別地，我們有degS2=degS2*。

因?yàn)镽0≤T，故R0的每個(gè)本原子三元組也都是T的本原子三元組，但|D|＜|N|，故從歸納假設(shè)可知R0的兩個(gè)本原誘導(dǎo)子S1*和S2*具有相同的次數(shù)，即degS1*=degS2*，從而degS1=degS2至此完成證明。

作為上述定理1的一個(gè)應(yīng)用，我們證明本文定理B。

定理2設(shè)T=(G，N，θ)為特征標(biāo)三元組，其中N為可解群。如果T的每個(gè)本原的子三元組都是冪零的和次正規(guī)的，則T的任意兩個(gè)本原誘導(dǎo)子均有相同的次數(shù)。

證明根據(jù)定理1，我們只需證明T的任意一個(gè)本原的子三元組S=(H，M，φ)的每個(gè)極大正規(guī)限制子S*=(H*，M*，φ*)也都是本原的。

按假設(shè)S是冪零的，即M/Z(φ)是冪零群，因?yàn)镾是本原的，故也是擬本原的，根據(jù)引理1，則M/Z(φ)為交換群，再從[1]中定理2.31推出φ在Z(φ)上完全分歧。特別地，我們有φ(M-Z(φ))=0。

因?yàn)镾*是S的極大正規(guī)子三元組，即M*?M且M/M*為H的主因子。但Z(φ)?H，故M*≤Z(φ)M*≤M。在此出現(xiàn)兩種情形：或者Z(φ)M*=M，或者M(jìn)*=Z(φ)M*亦即Z(φ)≤M*。

如果Z(φ)M*=M，則S*覆蓋S，根據(jù)引理3，此時(shí)從S的本原性可推出S*也是本原的，結(jié)論成立。

如果Z(φ)≤M*，上述已證φ(M-Z(φ))=0，則。根據(jù)[1]中引理2.29，由于φ是φ*的擴(kuò)張，我們有1=[φ*，φ*]=|M：M*|[φ，φ]=|M：M*|，故M*=M，表 明S*=S也是本原的，結(jié)論亦成立。

使用定理2可證明本文定理C。

定理3設(shè)G為任意群，χ∈Irr(G)。如果G存在一個(gè)可解正規(guī)子群N，使得θ=χN不可約，并且特征標(biāo)三元組T=(G，N，θ)的每個(gè)本原的子三元組都是冪零的和次正規(guī)的，則誘導(dǎo)χ的所有本原特征標(biāo)均有相同的次數(shù)。

證 明設(shè)χ=(ξ1)G=(ξ2)G，其中Hi≤G且ξi∈Irr(Hi)均為本原特征標(biāo)，i=1，2。我們將證明ξ1(1)=ξ2(1)。

令Mi=N∩Hi，則Mi?Hi。因?yàn)棣蝘也是擬本原的特征標(biāo)，可設(shè)φi是ξi在Mi限制的唯一不可約分量，則φi必然是Hi-不變的，從而Si=(Hi，Mi，φi)均為特征標(biāo)三元組。注意到((ξi)G)N=χN=θ不可約，根據(jù)特征標(biāo)的Mackey公式，則NHi=G，并且

也不可約，迫使(ξi)Mi=φi且(φi)N=θ，表明Si均為T的誘導(dǎo)子。但ξi∈Irr(Hi|φi)均為本原特征標(biāo)，不能從真子群誘導(dǎo)，根據(jù)特征標(biāo)的誘導(dǎo)對(duì)應(yīng)（見[16]中引理2.11（b）），可知Si也是本原誘導(dǎo)子。最后，再使 用 定 理 2 得 到 degS1=degS2，即ξ1(1)=φ1(1)=φ2(1)=ξ2(1)，結(jié)論成立。