關(guān)于余撓三元組的periodic-模

何東林，李煜彥，彭康青

（隴南師范高等專科學(xué)校 數(shù)信學(xué)院，甘肅 隴南 742500）

1 引言與預(yù)備知識

Periodic-模在Artin代數(shù)表示論和Gorenstein同調(diào)代數(shù)中扮演著重要角色，其概念最早是由Happel等在文獻[1]中引入的.隨后，許多作者先后對其進行了研究[2-6]，得到了很好的結(jié)論.Bazzoni等[7]研究了關(guān)于遺傳余撓對的Periodic-模；2014年任偉等[8]討論了余撓三元組及其應(yīng)用；2017年狄振興等[9]提出并研究了Abel范疇上關(guān)于余撓三元組的傾斜子范疇.受此啟發(fā)，本文主要研究關(guān)于余撓三元組的Periodic-模.

本文中的環(huán)R均指有單位元的結(jié)合環(huán)，模指酉左R-模.R-Mod表示左R-模范疇，P和I分別表示投射左R-模類和內(nèi)射左R-模類.設(shè)C為R-模類，C的右正交類定義為對任意C∈C都有對偶地，C的左正交類定義為對任意C∈C都有特別地，記設(shè)X、Y、Z為3個R-模類.稱對子(X，Y)是一個余撓對，如果稱余撓對(X，Y)是完全的，如果對任意右R模M都存在正合列0CL→→→M→0和0→M→C′→L′→0，其中C，C′∈Y且L，L′∈X.稱余撓對(X，Y)是遺傳的，如果對任意如果(X，Y)和(Y，Z)均為余撓對，則稱三元組(X，Y，Z)為余撓三元組[8].進而，如果(X，Y)和(Y，Z)均為遺傳（完全）余撓對，則稱(X，Y，Z)為遺傳（完全）余撓三元組.例如：（P，R-Mod，I）為完全遺傳余撓三元組，當R是virtually Gorenstein環(huán)（該環(huán)的概念見文獻[10]）時；（GP，GP⊥=⊥GI，GI）為完全遺傳余撓三元組，其中GP和GI分別表示Gorenstein投射模組成的類和Gorenstein內(nèi)射模組成的類.稱左R-模短正合列是C-純的[11]，如果對任意C∈C，都有導(dǎo)出序列仍正合.此時稱f為C-純單同態(tài)，g為C-純滿同態(tài)且Imf為L的C-純子模.如果C是有限表示左R-模組成的類，則把C-純簡稱純，C-純子模簡稱純子模.設(shè)κ為基數(shù)，如果對任意小于κ的極限數(shù)λ都有則稱集合族是連續(xù)的.其余未涉及的概念和記號參見文獻[12-13].

2 主要結(jié)論

命題1設(shè)(X，Y，Z)為遺傳余撓三元組，M是Y-periodic 模，則以下結(jié)論成立：

1）對任意X∈X和任意非負整數(shù)n都有

2）對任意Z∈Z和任意非負整數(shù)n都有

證明由M是Y-periodic 模知，存在短正合列(ε):0→M→Y→M→0，其中Y∈Y.

1）對任意X∈X，用函子HomR(X，-)作用于(ε)可得：

因為(X，Y，Z)為遺傳余撓三元組，所以對任意非負整數(shù)n都有

2）對任意Z∈Z，用函子HomR(-，Z)作用于(ε)可得：

因為(X，Y，Z)為遺傳余撓三元組，所以對任意非負整數(shù)n都有

命題2設(shè)(X，Y，Z)為遺傳余撓三元組，M是Y-periodic 模，0→A→B→C→0是左R-模正合列，則以下結(jié)論成立：

1）如果A，B，C∈X，那么若A，B，C中有兩項屬于⊥M，則第三項也屬于⊥M；

2）如果A，B，C∈Z ，那么若A，B，C中有兩項屬于M⊥，則第三項也屬于M⊥.

證明因為(X，Y，Z)為遺傳余撓三元組，所以(X，Y)與(Y，Z)均為遺傳余撓對.

1）如果A，B，C∈X ，由(X，Y)是遺傳余撓對、M是Y-periodic模及文獻[7]中引理3.4可知，若A，B，C中有兩項屬于⊥M，則第三項也屬于⊥M.

2）如果A，B，C∈Z，由(Y，Z)是遺傳余撓對、M是Y-periodic模及文獻[7]中引理3.5可知，若A，B，C中有兩項屬于M⊥，則第三項也屬于M⊥.

定理1設(shè)(X，Y，Z)為遺傳余撓三元組，Y關(guān)于純滿同態(tài)像封閉且N是純子模的并，則

1）如果M是X-periodic 模且對任意α＜λ都有

2）如果M是Z-periodic 模且對任意α＜λ都有

證明1）由(X，Y，Z)為遺傳余撓三元組知，Y關(guān)于直和封閉.又由假設(shè)知Y關(guān)于純滿同態(tài)像封閉.根據(jù)文獻[11]中命題33.9易得，Y關(guān)于正向極限封閉.當α為后繼數(shù)時，令當α為極限數(shù)時，令易知考慮連續(xù)鏈N也是純子模的并.由文獻[11]中命題33.8知純子模的并仍為純子模.可見對任意α＜λ有Vα是N的純子模，不妨記下面用歸納法證明對任意α≤λ都有

當α為后繼數(shù)時，結(jié)論成立.

當α為極限數(shù)時，假設(shè)結(jié)論對小于α的數(shù)均成立.對任意β＜α，考慮如下短正合列：

其中，Vβ是N的純子模.又由文獻[11]中命題33.3知，Vβ是Vβ+1的純子模.因為Y關(guān)于純滿同態(tài)像封閉，所以由歸納假設(shè)知根據(jù)文獻[14]中引理6.2可得，對任意α≤λ都有特別地，

2）因為(X，Y，Z)為遺傳余撓三元組，所以(Y，Z)為遺傳余撓對.如果M是Z-periodic模且對任意α＜λ都有Nα∈⊥M∩Y，那么由文獻[7]中引理3.6可得N∈⊥M∩Y.

有了定理1易得如下推論.

推論1設(shè)(X，Y，Z)為遺傳余撓三元組，M既是X-periodic模又是Z-periodic模，Y關(guān)于純滿同態(tài)像封閉且K是純子模的并.如果對任意α＜λ都有Kα∈⊥M∩Y ∩M⊥，那么K∈⊥M∩Y∩M⊥.

推論2設(shè)(X，Y，Z)為遺傳余撓三元組，Y關(guān)于純滿同態(tài)像封閉，是一個正向系，其中Yi∈⊥M∩Z且I是一個有向集，M是Z-periodic 模，則正向極限

證明由文獻[7]中定理3.7及傾斜三元組的定義易得.

例1設(shè)R為任意環(huán)，則（P，R-Mod，I）為完全遺傳余撓三元組.如果M既是I-periodic模又是絕對純模，那么M是內(nèi)射模.