極小素子模及其拓?fù)湫再|(zhì)

張國(guó)印

(金陵科技學(xué)院公共基礎(chǔ)課部，江蘇 南京 211169)

本文假定所涉及到的環(huán)都是帶單位元的結(jié)合環(huán),模都是酉模。一個(gè)環(huán)R的左純理想(理想)P被稱為是素左理想[1](素理想),如果a,b∈R且aRb?P,則a∈P或b∈P。設(shè)M是左R-模,M的左零化子記作M⊥={r∈R|rM=0},因此(M/N)⊥={r∈R|rM?N},其中N是M的子模。本文用Spec(R)、Max(R)分別表示R的所有素理想的集合、所有極大理想的集合。

設(shè)M是左R-模且K是M的純子模,如果滿足rRm?K,m∈M,r∈R,則r∈(M/K)⊥或m∈K,則稱K是M的素子模[2]。M的極大子模是素子模。顯然,環(huán)R的素左理想、素理想都是R作為左模RR的素子模。用Specl(M)、Maxl(M)、Minspecl(M)分別表示左R-模M的所有素子模的集合、所有極大子模的集合、所有極小素子模的集合。設(shè)R是任意環(huán),M是左R-模,如果對(duì)任意M的子模N,都存在R的理想I,使得N=IM,則稱M是左乘法R-模[3]。關(guān)于乘法模的研究見(jiàn)文獻(xiàn)[4-6]。本文證明(見(jiàn)命題1.5):如果M是左乘法R-模,對(duì)任意Q∈Max(R)且Q?M⊥,都有QM≠M(fèi),則:M一定存在極大子模和極小素子模,且極大子?？杀硎緸?Max(M)={QM|Q∈Max(R),Q?M⊥};進(jìn)一步若M是交換環(huán)R上的乘法模,則極小素子模與極小素理想的關(guān)系為:Minspec(M)={PM|P?M⊥,(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥)},且其所有素子?？杀硎緸?Specl(M)={PM|P∈Spec(R),P?M⊥}。

設(shè)M是左R-模,N是M的子模,Ul(N)表示所有不包含N的M的素子模的集合,且Vl(N)=Specl(M)Ul(N)。顯然Ul(0)=?,Ul(M)=Specl(M),文獻(xiàn)[2]給出了如下定義:對(duì)左R-模M,如果對(duì)任意M的子模L1,L2,都存在M的子模N,使得Ul(L1)∩Ul(L2)=Ul(N),則稱M是拓?fù)淠?。關(guān)于拓?fù)淠５难芯恳?jiàn)文獻(xiàn)[2,7-8]。

稱作f:X→Y是保核收縮映射(其中X是拓?fù)淇臻g且Y?X),如果f是連續(xù)映射,且f|Y是恒等映射,也稱作Y是X的保核收縮(Retraction)。Demarco與Orsatti在文獻(xiàn)[9]中表明如果R是交換環(huán)R,則Spec(R)是正規(guī)的拓?fù)淇臻g的充分必要條件是Max(R)是Spec(R)的保核收縮。本文將此結(jié)果推廣到非交換環(huán)上的左拓?fù)銻-模M上(見(jiàn)定理2.3):如果左R-模M是有限生成的拓?fù)淠?則Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規(guī)的拓?fù)淇臻g的充分必要條件是Maxl(M)是Maxl(M)∪Minspecl(M)的保核收縮且Maxl(M)是Hausdorff空間。關(guān)于環(huán)、模的一系列拓?fù)湫再|(zhì)的研究見(jiàn)文獻(xiàn)[1,2,5,7-12]。

1 極小素子模

引理1.1對(duì)任意環(huán)R,M是左R-模且Specl(M)≠?,則任意M的素子模都包含有極小素子模。

命題1.2如果R是環(huán)且M是有限生成的左R-模,則M一定存在極小素子模。

R是環(huán),M是左R-模,N是M的子模,定義(M/N)⊥為子模N的左乘理想,記作Il(N),即Il(N)=(M/N)⊥。特別是對(duì)M的任意元素m,Rm的左乘理想簡(jiǎn)稱為元素m的左乘理想,記作Il(m),即Il(m)=Il(Rm)=(M/Rm)⊥。如果M是左乘法R-模,對(duì)M的子模N,一定有N=(M/N)⊥M=Il(N)M。理由如下:M的子模N,一定有R的理想I,使得N=IM,顯然I?(M/N)⊥,因此N=IM?(M/N)⊥M?N。環(huán)R稱作左quasi-duo環(huán)[13]如果每一個(gè)左極大理想是雙邊理想。

命題1.3如果R是左quasi-duo環(huán),M是非零的左乘法R-模,且對(duì)R的任意極大理想Q和M的任意元素m的左乘理想Il(m)滿足QIi(m)=Ii(m)Q,則它一定存在極小素子模。

證明下邊只要證明非零乘法左R-模M一定包含一個(gè)極大子模,而極大子模一定是素子模,然后Specl(M)≠?,根據(jù)引理1.1,該命題即可證明。

設(shè)N是非零左乘法R-模M的一個(gè)純子模,則M/N也是非零左乘法R-模。設(shè)m∈M且m≠0,則l(m)={a∈R|am=0}是一個(gè)純左理想,因此l(m)一定包含在某極大左理想Q中。又因R是左quasi-duo環(huán),因此Q是極大理想。因M是左乘法R-模,故對(duì)m的左乘理想I=Il(m),一定有Rm=IM。反設(shè)M=QM,由命題條件知Rm=IM=I(QM)=Q(IM)=QRm=Qm,因此存在元素b∈Q,使得m=bm,即(1-b)m=0,因此1-b∈l(m)?Q,顯然b,1-b不能同時(shí)屬于極大理想Q中,這是矛盾的。因此M≠Q(mào)M。下證明QM是M的極大子模。假設(shè)存在M的一個(gè)子模N滿足QM?N?M且N≠M(fèi),由M是乘法模條件知,則一定存在R的理想J,使得N=JM,記作(M/N)⊥=P,顯然J?P,N=JM?PM?N,因此JM=PM=N。又因且QM?N?M,則Q?(M/N)⊥=P,因此Q=P,進(jìn)而N=QM,因此QM是M的極大子模。 證畢。

由命題1.3直接可得,交換環(huán)上乘法模一定存在極小子模。關(guān)于交換環(huán)上乘法模的研究見(jiàn)文獻(xiàn)[5-6]。

推論1.4如果R是交換環(huán),且M是非零乘法R-模,則它一定存在極小素子模。

如果R是環(huán)且M是左R-模,如果存在Q∈Max(R)且Q?M⊥,有QM≠M(fèi),則(M/QM)⊥=Q,由文獻(xiàn)[13]引理1.3知,QM一定是素子模,即有Specl(M)≠?,進(jìn)而由引理1.1知,Minspecl(M)≠?。

命題1.5如果R是環(huán)且M是左乘法R-模,對(duì)任意Q∈Max(R)且Q?M⊥,都有QM≠M(fèi),則:

1)M一定存在極大子模,且Max(M)={QM|Q∈Max(R),Q?M⊥};

2)M一定存在極小素子模;

3) 如果R是交換環(huán),則Spec(M)={PM|P∈Spec(R),P?M⊥};

4) 如果R是交換環(huán),則有:

Minspec(M)={PM|P?M⊥,(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥)}。

前邊已證明M存在極大左R-子模,對(duì)任意H∈Maxl(M)≠?,由于M是左乘法R-模,記(M/H)⊥=Q?M⊥,則H=QM。如果Q?Q1且Q1∈Max(R),則H=QM?Q1M≠M(fèi),因此H=QM=Q1M,因而Q1?(M/H)⊥=Q,因此Q=Q1,有Maxl(M)?{QM|Q∈Max(R),Q?M⊥}。反過(guò)來(lái)對(duì)任意Q∈Max(R),且Q?M⊥,下證明QM(≠M(fèi))是左極大子模。若存在H∈Maxl(M)使得QM?H,令Q1=(M/H)⊥?M⊥,則Q1≠R,Q?Q1,因此Q=Q1,進(jìn)而有QM=Q1M=H∈Maxl(M),即{QM|Q∈Max(R),Q?M⊥}?Maxl(M)。綜合上述有Maxl(M)={QM|Q∈Max(R),Q?M⊥}。

2) 以上1)中已經(jīng)證明M一定存在極大左R-子模,而每一個(gè)極大左R-子模都是左素子模,因此Specl(M)≠?,然后根據(jù)引理1.1知它一定存在極小素子模。

3) 如果R是交換環(huán),由文獻(xiàn)[6]的推論2.11知,R-模M的一個(gè)純的子模N是素子模,當(dāng)且僅當(dāng)(M/N)⊥是素理想,當(dāng)且僅當(dāng)存在R的素理想P?M⊥,使得N=PM。?):如果N是R-模M的素子模,則(M/N)⊥=P是R的素理想且N=PM≠M(fèi)。?):任意P∈Spec(R),P?M⊥,則存在極大子模Q?P,使得M?QM?PM,且M≠Q(mào)M,因此,由文獻(xiàn)[6]的推論2.11知,PM是R-模M的一個(gè)純的子模,因此PM是M的素子模。

4) 文獻(xiàn)[6]中有結(jié)果:N是極小素子模的充分必要條件是存在素理想P?M⊥且(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥),使得N=PM≠M(fèi),因此Minspec(M)?{PM|P?M⊥,(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥)};反過(guò)來(lái),任取P?M⊥,(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥),則存在極大子模Q?P,使得M?QM?PM,且M≠Q(mào)M,故PM是R-模M的一個(gè)純的子模,進(jìn)而有:{PM|P?M⊥,(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥)}?Minspec(M)。證畢。

Lu(1995,定理6)[14]表明:如果R是交換環(huán)且M是有限生成的乘法R-模,則映射ψ:Spec(M)→Spec(R/M⊥)是一一映射,且對(duì)任意K∈Spec(M),ψ(K)=(M/K)⊥/M⊥,因此對(duì)任意Q∈Max(R)且Q?M⊥,都有唯一的素子模K,使得(M/K)⊥=Q,因而由K=QM是素子模知QM≠M(fèi)。從而直接由命題1.5可得兩個(gè)限制映射:

ψ|Max(M):Max(M)→Max(R/M⊥)與ψ|Minspec(M):Minspec(M)→Minspec(R/M⊥)也是一一映射,且有如下結(jié)果。

推論1.6如果R是交換環(huán)且M是有限生成的乘法R-模,則有1) 對(duì)任意Q∈Max(R)且Q?M⊥,都有QM≠M(fèi);2)Max(M)={QM|Q∈Max(R),Q?M⊥};3)Spec(M)={PM|P∈Spec(R),P?M⊥};4)Minspec(M)={PM|P?M⊥,(P/M⊥)∈Minspec(R/M⊥)}。

2 極小素譜的拓?fù)湫再|(zhì)

稱作左R-模M是pm模[2,5],如果M的任意純子模都包含在一個(gè)極大子模之中,且M的任意素子模都包含在唯一的一個(gè)極大子模之中。

命題2.1如果左R-模M的任意純子模都包含在一個(gè)極大子模之中,則M是pm模當(dāng)且僅當(dāng)M的任意極小素子模都包含在唯一的一個(gè)極大子模之中。

證明:?):顯然。?):如果左R-模M的任意純子模都包含在一個(gè)極大子模之中,則Specl(M)≠?。任取K∈Specl(M),由引理1.1知,每一個(gè)素子模都包含一個(gè)極小素子模,不妨設(shè)K0∈Minspecl(M),使得K?K0,又因K0包含在唯一的一個(gè)極大子模之中,從而K必包含在唯一的一個(gè)極大子模之中。 證畢。

命題2.2如果左R-模M是拓?fù)淠?，M的任意純子模都包含在一個(gè)極大子模之中,且Maxl(M)是Maxl(M)∪Minspecl(M)的保核收縮,則M是pm模。

定理2.3如果R是任意帶單位元的結(jié)合環(huán),左R-模M是有限生成的拓?fù)淠?則Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規(guī)的拓?fù)淇臻g的充分必要條件是Maxl(M)是Maxl(M)∪Minspecl(M)的保核收縮且Maxl(M)是Hausdorff空間。

證明由于R-模M是有限生成的,由命題1.2知,M的極大子模與極小子模都存在。由于左R-模M是拓?fù)淠?故Specl(M)上定義了Zariski拓?fù)?因而Maxl(M),Minspecl(M),Maxl(M)∪Minspecl(M)上都有相應(yīng)的誘導(dǎo)拓?fù)浠蛳鄬?duì)拓?fù)洹８鶕?jù)文獻(xiàn)[8]知,Maxl(M)是緊致的拓?fù)淇臻g。

?):如果Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規(guī)的拓?fù)淇臻g,任取兩個(gè)不相等的極大理想H1,H2,{H1},{H2}是兩個(gè)不相等閉集,存在兩個(gè)互不相交的Maxl(M)的開(kāi)集,分別包含{H1},{H2},故Maxl(M)是Hausdorff空間。

對(duì)M的子模N1,N2,容易驗(yàn)證如下三條件等價(jià):1)N1+N2=M;2)Vl(N1)∩Vl(N2)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]=?;3)Vl(N1)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]?Ul(N2)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]。

Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規(guī)的拓?fù)淇臻g,即:如果兩不相交閉集Vl(N1)∩Vl(N2)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]=?,一定存在兩個(gè)不相交的開(kāi)集Ul(L1)∩Ul(L2)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]=?,使得Vl(Ni)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]?Ul(Li)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)],i=1,2。因此,Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規(guī)的拓?fù)淇臻g,當(dāng)且僅當(dāng),對(duì)左R-模M的子模N1,N2,如果N1+N2=M,則一定存在M的子模L1,L2,使得Ni+Li=M,i=1,2,且Ul(L1)∩Ul(L2)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]=?。

對(duì)K∈Maxl(M)∪Minspecl(M),定義集合AK表示所有滿足N+K=M的M的子模N的集合,則AK有如下性質(zhì)(1)如果N1∈AK且N1?N2,則N2∈AK;性質(zhì)(2)如果N1+N2∈AK,則N1∈AK或者N2∈AK;這是因?yàn)镹1+N2∈AK,即(N1+N2)+K=M=N1+(N2+K),由于Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規(guī)的拓?fù)淇臻g,則一定存在M的子模L1,L2,使得N1+L1=M,(N2+K)+L2=M且Ul(L1)∩Ul(L2)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]=?,若H∈Maxl(M)∪Minspecl(M),則H?L1或H?L2。因此對(duì)于上邊的K,K?L1或者K?L2,進(jìn)而N1+K=M或(N2+K)+K=N2+K=M,所以N1∈AK或者N2∈AK。

?):如果映射f:Maxl(M)∪Minspecl(M)→Maxl(M)是保核收縮映射,由命題2.2知,M是pm左R-模,對(duì)任意K∈Maxl(M)∪Minspecl(M),f(K)=H∈Maxl(M),H是唯一包含K的M的極大子模(看命題2.2的證明過(guò)程知)。對(duì)任意閉集Vl(N)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)],其中N是R-模M的子模,則有f{Vl(N)∩[Maxl(M)∪Minspecl(M)]}=Vl(N)∩Maxl(M)。如果B1,B2是Maxl(M)∪Minspecl(M)的兩個(gè)閉集且B1∩B2=?,由于Maxl(M)是緊致的Hausdorff空間,由文獻(xiàn)[15]的定理5.9知,Maxl(M)是正規(guī)的,因此對(duì)不相交的兩個(gè)閉集B1∩Maxl(M),B2∩Maxl(M),必存在不相交的兩個(gè)開(kāi)集U1,U2,使得B1∩Maxl(M)?U1,B2∩Maxl(M)?U2,因此f-1(U1),f-1(U2)是兩個(gè)不相交的開(kāi)集且B1?f-1(U1),B2?f-1(U2),因此Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規(guī)的拓?fù)淇臻g。 證畢。

左乘法R-模一定是拓?fù)淠?見(jiàn)文獻(xiàn)[3],因此直接可得如下結(jié)論。

推論2.4如果左R-模M是有限生成的乘法模,則Maxl(M)∪Minspecl(M)是正規(guī)的充分必要條件是Maxl(M)是Maxl(M)∪Minspecl(M)的保核收縮且Maxl(M)是Hausdorff空間。

3 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于存在素子模的左R-模M,盡管Maxl(M)∪Minspecl(M)?Specl(M),但∩{K∈Maxl(M)∪Minspecl(M)}=∩{K∈Specl(M)}都等于模M的素根,因此對(duì)拓?fù)淠；虺朔Ｉ贤負(fù)淇臻gMaxl(M)∪Minspecl(M)與Specl(M)的拓?fù)湫再|(zhì)(如正規(guī)性、連通性、譜空間性等)的比較研究,及其這些拓?fù)湫再|(zhì)與模的性質(zhì)的關(guān)系等,都有待進(jìn)一步研究。

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