概率語言術(shù)語集距離測度的改進(jìn)及其應(yīng)用

劉孟宇, 王惠文

( 云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 昆明 650500 )

0 引言

為了更好地通過定性的方式來描述實(shí)際生活中不能被定量表示的問題,1975年Zadeh[1]提出了模糊語言方法.由于模糊語言方法只能利用一個(gè)語言術(shù)語來評估語言變量,因此當(dāng)決策者面臨具有高度不確定性的問題時(shí),該方法存在較大的局限性.基于此,2011年Rodriguez等[2]提出了猶豫模糊語言術(shù)語集(HFLTS)的概念.由于該概念將猶豫模糊集[3]和模糊語言方法相結(jié)合,允許決策者使用多個(gè)語言術(shù)語同時(shí)評估語言變量,因此其很好地彌補(bǔ)了模糊語言方法的缺陷;但由于HFLTS將決策者給出的每個(gè)語言術(shù)語賦予了相等的權(quán)重,因而其決策結(jié)果存在一定的偏差.為了解決HFLTS存在的這一缺陷,2016年P(guān)ang等[4]提出了概率語言術(shù)語集(PLTS)的概念.由于PLTS允許決策者將每個(gè)語言術(shù)語賦予不同的權(quán)重,因此使用PLTS可以獲得更為準(zhǔn)確的決策結(jié)果.

近年來,學(xué)者們已對直覺模糊集、猶豫模糊集以及區(qū)間模糊集等的距離測度進(jìn)行了較多研究,但對PLTSs距離測度的研究相對較少.目前,對PLTSs距離測度進(jìn)行研究的文獻(xiàn)主要有:2016年,Pang等[4]給出了PLTSs偏差度的定義;同年,Zhang等[5]給出了概率語言術(shù)語集距離測度的定義;2019年,Mao等[6]基于PLTSs偏差度定義了一種新的PLTSs歐氏距離,但是該距離測度公式的計(jì)算精度需進(jìn)一步提高.基于上述研究,本文定義了一種新的PLTSs距離測度,并通過實(shí)例驗(yàn)證了該距離測度的有效性.

1 基礎(chǔ)知識

1.1 猶豫模糊語言術(shù)語集(HFLTS)

定義1[1]設(shè)τ是一個(gè)正偶數(shù),則LTS可表示為:

S={si|i= 0,1,…,τ}.

(1)

由式(1)可以看出,LTS是一個(gè)由固定數(shù)量的語言術(shù)語組成的有限參考集,其中,τ+1是S的基數(shù),si(i=0,1,…,τ)是語言術(shù)語,并且si(i= 0,1,…,τ)通常以下標(biāo)為基準(zhǔn)進(jìn)行升序排列.

例1給定τ=6,則LTS可表示為如下形式:

S={s0=極其慢,s1=非常慢,s2=慢,s3=中速,s4=快,s5=非常快,s6=極其快}.

定義2[2]若S={si|i= 0,1,…,τ}是給定的LTS,則HFLTS是S上的連續(xù)語言項(xiàng)的有序子集.

1.2 概率語言術(shù)語集(PLTS)

定義3[4]設(shè)S={si|i= 0,1,…,τ}是一個(gè)給定的LTS,則稱定義在S上的PLTS為:

(2)

其中:L(k)(p(k))是概率語言術(shù)語元(PLTE),L(k)(k=1,2,…,#L(p))是L(p)上的可能的語言術(shù)語,p(k)∈(0,1](k=1,2,…,#L(p))是與L(k)(k=1,2,…,#L(p))相對應(yīng)的概率信息,#L(p)是L(p)中的元素個(gè)數(shù).在下文中,僅考慮標(biāo)準(zhǔn)化的PLTS,即僅考慮概率語言術(shù)語元的概率之和等于1的情況.

2 概率語言術(shù)語集的距離測度

定義4[7]L1(p)和L2(p)是任意兩個(gè)PLTSs,定義它們之間的距離測度為d(L1(p),L2(p)),且d(L1(p),L2(p))滿足以下3個(gè)性質(zhì):①d(L1(p),L2(p))≥0;②若L1(p)=L2(p),則d(L1(p),L2(p))= 0;③d(L1(p),L2(p))=d(L2(p),L1(p)).

2.1 傳統(tǒng)PLTSs的距離測度

(3)

2.2 新的PLTSs的距離測度

(4)

其中:ω(ω∈(0,1))是權(quán)重參數(shù).

定理1定義6中的距離公式滿足定義4中給出的PLTSs距離測度的3個(gè)公理性條件.

證明本文以標(biāo)準(zhǔn)化的漢明距離為例(λ=1)證明式(4)滿足定義4中的3個(gè)公理性條件.

1)非負(fù)性顯然成立.

2)因當(dāng)L1(p)=L2(p)時(shí),#L1(p)=#L2(p),所以顯然有:

3)由

顯然知有dgnd(L1(p),L2(p))=dgnd(L2(p),L1(p)),故對稱性成立.綜上,定理1得證.

由于s0.5τ是最模糊的語言術(shù)語,因此本文將定義6中的L1(p)與s0.5τ之間的偏離程度作為模糊性的參考.由此得到的L1(p)與{s0.5τ(1)}之間的漢明距離為:

將上式代入模糊熵生成函數(shù)(f(x)=1-2x)[9]中可得概率語言術(shù)語集的熵測度公式:

E(L1(p))=1-2dnhd(L1(p),{s0.5τ(1)})=

(5)

由式(5)中的模糊熵可知,其與文獻(xiàn)[10]中的混合熵的形式完全一樣;但本文定義的熵測度更為簡單,即不用再將基于距離的熵測度和基于偽距離的熵測度進(jìn)行凸組合.以下舉例說明本文提出的距離測度的合理性和有效性.

例3L1(p)={s3(1)}、L2(p)={s5(0.2),s7(0.8)}、L3(p)={s1(0.2),s6(0.4),s8(0.4)}、L4(p)={s3(0.6),s7(0.4)}是定義在S={si|i= 0,1,…,10}上的PLTSs,請計(jì)算它們兩兩之間的漢明距離.

L1(p)={s3(0.2),s3(0.4),s3(0.4)};L2(p)={s5(0.2),s7(0.4),s7(0.4)};

L3(p)={s1(0.2),s6(0.4),s8(0.4)};L4(p)={s3(0.2),s3(0.4),s7(0.4)}.

由上式計(jì)算得:dnhd(L1(p),L2(p))= 0.36,dnhd(L1(p),L3(p))= 0.36,dnhd(L1(p),L4(p))= 0.16,dnhd(L2(p),L3(p))= 0.16,dnhd(L2(p),L4(p))= 0.20,dnhd(L3(p),L4(p))= 0.20.由以上結(jié)果可以看出,利用上述公式計(jì)算任意兩個(gè)PLTSs之間的距離時(shí)具有一定的缺陷性,即有時(shí)難以準(zhǔn)確區(qū)分出任意兩個(gè)概率語言術(shù)語集之間的距離.

方法2利用定義6中的距離公式計(jì)算例3.將公式中的λ和ω分別設(shè)為1、1/2,于是由此直接進(jìn)行計(jì)算得:dnhd(L1(p),L2(p))=0.36,dnhd(L1(p),L3(p))=0.32,dnhd(L1(p),L4(p))=0.16,dnhd(L2(p),L3(p))= 0.144,dnhd(L2(p),L4(p))= 0.216,dnhd(L3(p),L4(p))= 0.208.由上述結(jié)果可以看出,定義6中的距離測度能有效克服文獻(xiàn)[10]中距離測度所存在的不足.

3 實(shí)際應(yīng)用

為了證實(shí)本文提出的距離公式的合理性和有效性,本文采用TOPSIS方法對文獻(xiàn)[11]中的例子進(jìn)行分析.該實(shí)例解決的是可信網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)擴(kuò)張的問題,即:在新節(jié)點(diǎn){x1,x2,x3,x4}中選擇出最優(yōu)的一個(gè)節(jié)點(diǎn)加入社團(tuán).對新節(jié)點(diǎn)進(jìn)行綜合評判的屬性標(biāo)準(zhǔn)為態(tài)度、行為、意志、誠信、責(zé)任,其中屬性評價(jià)的語言術(shù)語集為S={s0,s1,s2,s3,s4}.專家基于各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)對每個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行評價(jià)的結(jié)果見表1.

表1 概率語言決策矩陣

步驟1根據(jù)專家提供的決策信息構(gòu)造決策矩陣,結(jié)果如表1所示.

步驟2 確定PLTSs的正、負(fù)理想解[12].

由以上可得PLTSs的正、負(fù)理想解分別為:x+=(s4(1),s4(1),s4(1),s4(1),s4(1)),x-=(s1(1),s1(1),s2(1),s1(1),s2(1)).

步驟3 確定各個(gè)屬性的權(quán)重.首先在式(5)中分別取ω為0.1、0.2、…、0.9來計(jì)算表1中的各PLTSs的熵測度.計(jì)算結(jié)果顯示,利用不同ω值計(jì)算得到的熵測度幾乎相同,因此本文在此取ω= 0.5對PLTSs進(jìn)行計(jì)算,所得結(jié)果為:

步驟4 計(jì)算各個(gè)備選方案與正、負(fù)理想解之間的加權(quán)距離,其計(jì)算公式為:

dnhd(xi,x+)=ω1dnhd(Li1(p),L1(p)+)+ω2dnhd(Li2(p),L2(p)+)+…+

ωndnhd(Lin(p),Ln(p)+).

(6)

dnhd(xi,x-)=ω1dnhd(Li1(p),L1(p)-)+ω2dnhd(Li2(p),L2(p)-)+…+

ωndnhd(Lin(p),Ln(p)-).

(7)

利用式(6)和式(7)計(jì)算得:dnhd(x1,x+)= 0.3605641,dnhd(x2,x+)= 0.1851517,dnhd(x3,x+)=0.3102368,dnhd(x4,x+)= 0.2103486;dnhd(x1,x-)= 0.2856572,dnhd(x2,x-)= 0.4610697,dnhd(x3,x+)= 0.3359845,dnhd(x4,x-)= 0.4358727.

步驟6 根據(jù)CI(xi)值的大小進(jìn)行方案排序.排序結(jié)果為x2?x4?x3?x1.

由排序結(jié)果可知,最優(yōu)節(jié)點(diǎn)為x2,并且該排序結(jié)果與文獻(xiàn)[11]的排序結(jié)果完全一致,由此表明基于改進(jìn)距離測度的TOPSIS決策方法是可行的.

4 比較分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的可行性,將本文方法與文獻(xiàn)[4]中提出的基于距離測度的TOPSIS方法進(jìn)行比較分析(仍以文獻(xiàn)[11]中例題為例),具體步驟如下:

步驟1 規(guī)范化表1中的數(shù)據(jù),結(jié)果如表2所示.

表2 規(guī)范化后的概率語言決策矩陣

步驟2 確定各個(gè)屬性的權(quán)重.為了便于比較分析,將各個(gè)屬性權(quán)重的取值與上述步驟3中的權(quán)重取值保持一致,即仍取:ω1= 0.1554,ω2= 0.2001,ω3= 0.1597,ω4= 0.2294,ω5= 0.2554.

x+=({s2,s1.5,s0.88},{s2.34,s1,s0.46},{s3,s0.88,s0},{s4,s0.78,s0.44},{s3,s1.5,s0.44}),

x-=({s1.04,s0.22,s0},{s1.5,s0.52,s0},{s2,s0,s0},{s1.08,s0,s0},{s2,s0,s0}).

步驟4 計(jì)算各個(gè)備選方案和正、負(fù)理想解之間的偏離度.計(jì)算公式為:

由上式可得:d(x1,x+)=0.88,d(x2,x+)=0.56,d(x3,x+)=0.73,d(x4,x+)=0.66,d(x1,x-)= 0.46,d(x2,x-)= 0.78,d(x3,x-)= 0.65,d(x4,x-)= 0.65.

步驟6 根據(jù)CI(xi)的值對方案進(jìn)行排序.排序結(jié)果為:x2?x4?x3?x1.

由以上結(jié)果可知,利用本文方法得到的最優(yōu)節(jié)點(diǎn)x2不僅與第3部分中所得的最優(yōu)節(jié)點(diǎn)完全一致,而且與文獻(xiàn)[4]中的方法(基于傳統(tǒng)距離測度的TOPSIS方法)所獲得的結(jié)果也完全一致.該結(jié)果說明,本文提出的基于改進(jìn)距離測度的TOPSIS方法不僅能有效保留原始的概率語言信息,而且還可有效提高排序的準(zhǔn)確度;因此,該方法可為解決模糊多屬性決策問題的排序方案提供良好參考.