(1+1)維Maxwell-Chern-Simons-Higgs系統(tǒng)解的局部適定性

孟嘉樂

( 延邊大學(xué) 理學(xué)院, 吉林 延吉 133002 )

0 引言

1990年,Lee等[1]研究了同時(shí)具有Maxwell項(xiàng)和Chern-Simons項(xiàng)的(2+1)維Maxwell-Chern-Simons-Higgs(MCSH)自對(duì)偶模型,該模型的拉格朗日函數(shù)為:

其中:gμν=diag(1,-1,-1)是R3上的(2+1)維閔可夫斯基度量;φ是復(fù)函數(shù);N是實(shí)函數(shù);A=(A0,A1,A2)是實(shí)規(guī)范場(chǎng),滿足Fμν=?μAν-?νAμ,Dμ=?μ-ieAμ;e是電子的電荷;κ是Chern-Simons常數(shù)(κ>0).在該系統(tǒng)中,用希臘符號(hào)表示0,1,2,用拉丁符號(hào)表示1,2.對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行變分可分別得到(A,φ,N)對(duì)應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程,為:

1 系統(tǒng)性質(zhì)分析

假設(shè)系統(tǒng)(1)與變量x2無關(guān),并將變量A2重新定義為B,由此得到的(1+1)維MCSH模型的拉格朗日函數(shù)為:

其中:gμν= diag(1,-1).同理,對(duì)(1+1)維MCSH系統(tǒng)進(jìn)行變分可分別得到(φ,N,A,B)對(duì)應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程:

(2)

φ→φeiχ,Aμ→Aμ+?μχ,B→B,N→N.

其中χ:R1+1→R是一個(gè)光滑函數(shù).由上式可知,系統(tǒng)(2)的解可由規(guī)范等價(jià)對(duì)(φ,N,Aμ,B)組成.對(duì)系統(tǒng)(2)進(jìn)行積分運(yùn)算可得系統(tǒng)(2)的守恒能量為:

由上式可以看出,(φ,N,Aμ,B)有兩種自然漸進(jìn)條件可使能量有限,分別為:

(3)

在洛倫茲規(guī)范條件?0A0-?1A1=0下,(1+1)維MCSH系統(tǒng)的柯西問題可改寫為:

(4)

本文設(shè)系統(tǒng)(4)的初值為φ(0,·)=φ0, ?t(0,·)=φ1,Aμ(0,·)=a0μ, ?tAμ(0,·)=a1μ,B(0,·)=b0, ?tB(0,·)=b1,N(0,·)=n0, ?tN(0,·)=n1.且上述初值滿足約束方程:

(5)

2 結(jié)果及其證明

定理1假設(shè)系統(tǒng)(4)的初值φ0∈H2,φ1∈H1,a0μ∈H2,a1μ∈H1,b0∈H2,b1∈H1,n0∈H2,n1∈H1,且上述初值滿足約束方程(5),則MCSH系統(tǒng)(4)存在唯一的局部時(shí)間解,且滿足:

φ∈C([0,T],H2(R))∩C1([0,T],H1(R)),

Aμ∈C([0,T],H2(R))∩C1([0,T],H1(R)),

B∈C([0,T],H2(R))∩C1([0,T],H1(R)),

N∈C([0,T],H2(R))∩C1([0,T],H1(R)).

引理2[5]令(u0,u1)∈Hs×Hs-1,h∈L1([0,T],Hs-1),則線性波動(dòng)方程□u=h(x,t),u(x,0)=u0(x), ?tu(x,0)=u1(x)存在唯一解,且其滿足u∈C([0,T];Hs)∩C([0,T];Hs-1).即對(duì)于0≤t≤T,有如下能量不等式成立:

(6)

同理可得:

對(duì)其他項(xiàng)應(yīng)用同樣的估計(jì)方法并合并最終可得:

(7)

由上式可知F 為B→B上的壓縮映射.由此再通過不動(dòng)點(diǎn)定理即可得系統(tǒng)(4)存在唯一的解u∈C([0,T];H2(R))∩C1([0,T];H1(R)).

由上式可得□X=0為齊次線性波動(dòng)方程,因此X∈H2×H1且唯一.再由文獻(xiàn)[6]可知,對(duì)于任意的u(t)∈H3×H2始終有X∈H2×H1,因此有X=0,Y=0,即u(t)滿足約束方程.定理1證畢.